概率论第一章习题课.pdf

1 1 随机现象和随机试验随机现象和随机试验 2 2 样本空间与事件样本空间与事件 3 3 事件的关系和运算事件的关系和运算 4 4频率与概率频率与概率 5 5等可能概型 古典概型 等可能概型 古典概型 6 6条件概率条件概率 事件的独立性 事件的独立性 第一章第一章 概率概率与随机事件与随机事件 返回主目录 1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算系及运算 2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质质 3 3 给出了古典概型的定义给出了古典概型的定义 会使用概率的加法公会使用概率的加法公 式及逆事件概率计算公式计算基本的等概问题式及逆事件概率计算公式计算基本的等概问题 4 4 给出了条件概率的定义及乘法公式 全概率给出了条件概率的定义及乘法公式 全概率 公式和贝叶斯公式公式和贝叶斯公式 5 5 给出了随机事件独立性的概念 会利用事件给出了随机事件独立性的概念 会利用事件 独立性进行概率计算独立性进行概率计算 第一章 习题课 返回主目录 6 6 理解理解Bernoulli概型及概型及n重重Bernoulli试验的概念 试验的概念 并会计算与之相关事件的概率并会计算与之相关事件的概率 1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算 要求 理解系及运算 要求 理解 第一章 习题课 返回主目录 10 包含关系包含关系 20 和事件和事件 30 积事件积事件 40 差事件差事件 50 互不相容互不相容 60 对立 互逆 事件对立 互逆 事件 BA BA ABBA BA BA SBABA 且 且 返回主目录 A发生必然导致发生必然导致B发生 发生 A B中至少有一中至少有一发生 发生 A与与B同时发生 同时发生 A发生但发生但B不发生不发生 A与与B不能不能同时发生 同时发生 ABBA 或或记记 事件间的关系与运算举例 事件间的关系与运算举例 返回主目录 A B C中至少有一中至少有一发生 发生 CBA A B C中至少有两中至少有两发生 发生 ACBCAB A B C中最多有一中最多有一发生 发生 CBACBACBACBA ACBCAB BABABABA De MorganDe Morgan定律定律 随机事件的运算规律随机事件的运算规律 第一章 习题课 2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质 要求熟练掌握概率的基本性质 质 要求熟练掌握概率的基本性质 返回主目录 010AP 非负性 非负性 1 20 SP 正则性或正规性 正则性或正规性 则是两两互不相容事件若 3 2 0 1 AA 2121 A P A P AA P 可列可加性 可列可加性 1 概率的 公理化 定义概率的 公理化 定义 第一章 习题课 返回主目录 则是两两互不相容事件若性质 2 21 AAAn 21 21 A P A P A P AAA P n n 有限可加性 有限可加性 3 APBP APBPABPBA 性质 包含可减性 包含可减性 非降性 非降性 1 4 AP性质 1 5APAP 性质 逆事件的概率公式 6ABPBPAPBAP 性质 2 概率的性质与推广概率的性质与推广 0 1 P性质 加法公式 第一章 习题课 返回主目录 1 ABCP BCPACPABP CPBPAPCBAP 加法公式 2ABPBPABPABP 重重 要要 推推 广广 常用公式常用公式 1 CBAPCBAPCBAP 第一章 习题课 特点是 特点是 样本空间的元素只有有限个 样本空间的元素只有有限个 有限性有限性 每个基本事件发生的可能性相同 等可能性 每个基本事件发生的可能性相同 等可能性 3 等可能概型 古典概型 等可能概型 古典概型 返回主目录 中基本事件总数中基本事件总数 包含的基本事件数包含的基本事件数 即 即 S A AP 随机事件的概率随机事件的概率 第一章 习题课 二 缩小样本空间法二 缩小样本空间法 适用于古典概型适用于古典概型 返回主目录 一 公式法一 公式法 0 AP AP ABP ABP 设事件A所含样本点数为样本点数为 事件AB所含样本样本 点数为点数为 则则 A AB n n ABP A n AB n 4 4 给出了条件概率的定义及乘法公式 全概率给出了条件概率的定义及乘法公式 全概率 公式和贝叶斯公式 要求掌握公式和贝叶斯公式 要求掌握 1 条件概率的定义 计算公式 条件概率的定义 计算公式 第一章 习题课 返回主目录 2 乘法公式乘法公式 ABPAPABP 0 1 121 21312121 0 2 nn n AAAAP AAAPAAPAPAAAP 0 121 n AAAP 0 AP 3 3 全概率公式 全概率公式 n i ii n i i BAPBPABPAP 11 已知原因 求结果 已知原因 求结果 第一章 习题课 返回主目录 ni n i i BP i BAP BPBAP AP ABP ABP kk k k 2 1 1 4 4 BayesBayes 逆概 公式 逆概 公式 已知结果 求原因 已知结果 求原因 第一章 习题课 1 两事件独立的定义两事件独立的定义 BPAPABP 2 两事件独立性的性质 两事件独立性的性质 事件事件A 与与 B 相互独立的充分必要条件为相互独立的充分必要条件为 0 AP BPABP 返回主目录 5 5 给出了随机事件独立性的概念 会利用事件给出了随机事件独立性的概念 会利用事件 独立性进行概率计算 独立性进行概率计算 0 1 若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立 则相互独立 则 BABABA与与 与与 与与也相互独立也相互独立 0 2 第一章 习题课 返回主目录 注意注意1 1 两事件 两事件相互独立与互不相容的区别相互独立与互不相容的区别 A与与B互不相容 指两事件不能同时发生 互不相容 指两事件不能同时发生 即即 P AB 0 A与与B相互独立 指相互独立 指A是否发生不影响是否发生不影响B 发生的概率 即发生的概率 即 P AB P A P B 或或 0 APBPABP 必然事件必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立 相互独立 不可能事件不可能事件 与任意随机事件与任意随机事件A相互独立 相互独立 0 3 第一章 习题课 注意注意2 2 设事件设事件 A 与与 B 满足满足 0 BPAP 即即 若事件若事件 A 与与 B 相互独立 则相互独立 则 AB 若若 AB 则则事件事件 A 与与 B 不相互独立 不相互独立 返回主目录 则互不相容与相互独立不能同时成立则互不相容与相互独立不能同时成立 第一章 习题课 3 三个事件的独立性三个事件的独立性 设设A B C是三个随机事件 如果是三个随机事件 如果 CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP 则称则称A B C是相互独立的随机事件 是相互独立的随机事件 返回主目录 第一章 习题课 注意注意3 3 在三个事件独立性的定义中 四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中 四个等式是缺一不 可的 即可的 即 前三个等式的成立不能推出第四等前三个等式的成立不能推出第四等 式的成立 反之 最后一个等式的成立也推不出式的成立 反之 最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立 前三个等式的成立 返回主目录 注意注意4 三个事件相互独立的性质三个事件相互独立的性质 若若A B C是相互独立的三个事件 则是相互独立的三个事件 则 相互独立相互独立与与 与与与与与与与与 CBACBACBABCA CBACBABCACBA 第一章 习题课 4 4 n个事件的相互独立性个事件的相互独立性 等式成立个随机事件 如果下列为 设nAAA n 21 个随机事件相互独立 这则称nAAA n 21 返回主目录 第一章 习题课 nn miiiiii kjikji jiji APAPAPAAAP niiiAPAPAPAAAP nkjiAPAPAPAAAP njiAPAPAAP mm 2121 21 1 1 1 2121 2 若独立重复地进行若独立重复地进行n次次Bernoulli试验 这里 重复 试验 这里 重复 是指每次试验中事件是指每次试验中事件 A 发生的概率 即每次试验中发生的概率 即每次试验中 成功 的概率 不变 独立 是指各次试验的 成功 的概率 不变 独立 是指各次试验的 结果相互独立 则称该试验为结果相互独立 则称该试验为 n 重重Bernoulli 试验 试验 返回主目录 第一章 习题课 6 6 理解理解Bernoulli概型及概型及n重重Bernoulli试验的概念 试验的概念 并会计算与之相关事件的概率并会计算与之相关事件的概率 1 如果随机试验如果随机试验 E 只有两个结果 则称只有两个结果 则称E为为Bernoulli试试 验验 成功 与 失败 分别称为与结果记作一般地 我们将这两个AA 3 n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率 设在一次设在一次Bernoulli 试验中试验中 qpAPpAP 1 现考虑事件现考虑事件 次次恰好发生恰好发生试验中事件试验中事件重重 kABernoullinB kn 的概率的概率 kPBP nkn 返回主目录 第一章 习题课 pqqpCkP knkk nn 1 nk 210 例例1 返回主目录 已知已知 A B C 是三个是三个两两独立的两两独立的事件 且事件 且 则则 CPBPAP 16 9 CBAP ABC 解解 ABCPBCPACP ABPCPBPAP 2 3 3APAP AP 16 9 CBAP 第一章 习题课 返回主目录 例例2 16 9 CBAPAP 4 1 AP 2 0 ABP 又又 1 BAPBAP 故故 4 1 4 3 APAP或 解之得解之得 已知已知 A B是两事件 且是两事件 且 4 0 AP 则则 BAP 第一章 习题课 返回主目录 1 BAPBAP解解 BP BAP BP ABP 1 BAPBPBPABP 知知 故故 BPAPABP 由由 1 BAPBAPBAP 从而从而 A B独立 独立 5 0 AP ABP BP ABPBPAPBAP 7 0 第一章 习题课 返回主目录 例例3 配对问题配对问题 某人写了某人写了n封不同的信 欲寄往封不同的信 欲寄往n个不同的地个不同的地 址 现将这址 现将这n封信随机的插入封信随机的插入n只具有不同通信地只具有不同通信地 址的信封里 求至少有一封信插对信封的概率 址的信封里 求至少有一封信插对信封的概率 加法公式的应用问题加法公式的应用问题 解解 2 1 ni B 至少有一封信插对信封至少有一封信插对信封 则则 n AAAB 21 n n nkji kji nji ji n i i n AAAPAAAP AAPAP AAAPBP 21 1 1 11 21 1 第一章 习题课 设设 第第 封信插对信封封信插对信封 i i A 返回主目录 例例3 续 续 i AP n ji AAP 1 n 2 1 ni n 1 n 2 n 1 1 n i i AP 1 nji 2 1 2 2 2 2 2 1 n n n n n n CAAP n nji ji 21 n kn AAAP k iii 1 1 nii k 第一章 习题课 返回主目录 例例3 续 续 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 n BP n 1 21 21 1 kn kn CAAAP k n niii iii k k 2 1 nk 第一章 习题课 例例4 将将A B C三个字母之一输入信道 输出为 原字母的概率为 而输出为其它字母的概率 都是 今将字母串AAAA BBBB CCCC之一输入信道 输入AAAA BBBB CCCC 的概率分别为 已知输出为 ABCA 问输入的是AAAA的概率是多少 设 信道传输的各个字母的工作是相互独立的 2 1 1 321321 pppppp 第一章 概率论的基本概念 ABCA 321 CCCC BBBB AAAA 表示输出令事件输入 输入分别表示输入令事件 A i A i 2 1 2 2 1 AAP 返回主目录 解 由已知条件及独立性知 2 1 3 32 AAPAAP 第一章 概率论的基本概念 1 1 AP AAP AAP 332211 11 AAPAPAAPAPAAPAP AAPAP 1 13 2 1 1 p p 返回主目录 由贝叶斯公式知 第一章 概率论的基本概念 那么那么 0 0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为 tyx 例例5 甲 乙两人相约在甲 乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内 在预定地点会面在预定地点会面 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人 经过经过 时间时间 t t T 后离去后离去 设每人在设每人在0 到到T 这段时间这段时间 内各时刻到达该地是等可能的内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时且两人到达的时 刻互不牵连刻互不牵连 求甲 乙两人能会面的概率求甲 乙两人能会面的概率 会面问题会面问题 解解 刻 乙两人到达的时分别为甲设yx 第一章 习题课 故所求的概率为故所求的概率为 正方形面积 阴影部分面积 p 2 22 T tTT 1 1 2 T t x o