线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第4章习题答案.pdf

第第 4 章习题答案章习题答案 思考题思考题 4 1 1 1 不对 我们现在遇到的向量都是自由向量 可以平行移动 a与b共线的意思是a与 b平行 a与b一开始并不一定在一条直线上 2 不对 我们现在遇到的向量都是自由向量 可以平行移动 a b c共面的意思是它 们平行于同一个平面 a b c一开始并不一定在一个平面上 3 不对 参考下图 水平方向的向量为c 2 一个向量的方向可用它的单位向量 方向角 方向余弦表示 习题习题 4 1 1 1 a b 2 a与b同向 3 a与b反向且ab 4 a与b为同向的非零向 量 2 证 证 因为 M 是线段 AB 的中点 所以AMMB 即 OMOAOBOM 因而 1 2 OMOAOB 3 abab abab 注 因为 a a 和 b b 都是单位向量 所以以它们为边的平行四边形是菱形 其对角线也是 角平分线 4 图略 点 A 关于Oxy面的对称点的坐标为 2 4 1 点 B 关于y轴的对称点的坐标为 2 4 1 5 A在第 II 卦限 B在第 V 卦限 C在第 VIII 卦限 D在第 III 卦限 6 1 点 a b c 关于Oxy面 Oyz面和Ozx面的对称点的坐标分别为 a bc a b c 和 ab c 2 点 a b c 关于x轴 y轴和z轴的对称点的坐标分别为 abc a bc 和 ab c 3 点 a b c 关于坐标原点 O 的对称点的坐标为 abc 7 1 从点 a b c 向x轴 y轴和z轴作垂线的垂足分别为 0 0 a 0 0 b和 0 0 c 2 从点 a b c 向Oxy面 Oyz面和Ozx面作垂线的垂足的坐标分别为 0 a b 0 b c 和 0 ac 8 234122 abcijk 9 因为ABBC 所以 2OBOAOCOB OCOBOA 求得 3 3 9 C 10 0 1 2 M 11 3 cos1 3 cos2 3 cos2 3 a 思考题思考题 4 2 1 1 不成立 2 不成立 3 成立 4 不成立 例如 0 ijji ijjijjijj 5 不成立 abccab 6 成立 因为 abc a b的混合积为0 2 ABC的面积等于 1 2 ABAC 3 四面体 1234 A A A A的体积等于 121314 1 6 A A A A A A 4 6 习题习题 4 2 1 1 解 解 2 cos8 5 cos20 3 a ba b 2 解 解 0a b 3 解 解 cos3 6 cos018a ba b 4 解 解 cos3 1 cos3a ba b 2 解 解 因为a b c互相垂直 所以0 a ba cb c 11 22 abcabc 1 222 222 2 abc 3 1 解 解 3 20 4 6 06 a b 611 cos arccos 559036 4 160 a b a b 2 解 解 3 6 3 ab b的方向余弦为 212 cos cos cos 333 a在b上的投影为 18 6 3 b a b a b 4 1 23 ababa b 2 22 abcabca ba c 3 235 ababa b 5 解 解 2 3 ABADababa b 平行四边形ABCD的面积为 115 sin5 3 622 ABADa ba b 6 解 解 110 120 ijk a bk 110 121 ijk acijk 110 001 ijk abcij 0012 121 ijk a bcij 7 解 解 ij jk 是同时垂直于ij 和jk 的向量 ij 110 011 ijk jkijk 1 3 uijk 8 解 解 2311055 113 ijk a bijk 设 1055 xijk 由 200 10 10 x c 得1 所以1055 xijk 9 解 解 22 2 2 2 c dababaa bb 8 2 cos258 2 525315 3 a b 所以当5 时 c与d垂直 10 解解 32 5 24 abijk 因为ab 与z轴垂直 所以 0abk 即240 2 11 解 解 abbccaabacb cca 2 4abcbcaa b c 12 解 解 112 1104 121 a b c 13 解 解 1 4 324ABijk BCijk 因为AB与BC不成倍数 所以AB与BC不平行 这三点不共线 2 2 242ABijk BCijk 因为BC是AB的2倍 所以AB与BC平行 这三点共线 14 证证 45 2 527 ABijk ACijk ADijk 因为 145 2110 527 AB AC AD 所以这四点共面 15 证 证 设AB和AD的夹角为 222222 222 sin 1 cos SABADababab 222222 22 cos abababa b 16 证证 设ab 与c的夹角为 1 a与b的夹角为 2 22222 2 2 s i n ababab 2222222 2 222 1 cosa b cabcab cab cab c a b c 17 证 证 由 00 aabca 得 abacca 由 00 babcb 得 babc abbc 所以 abb cca 18 证 证 由于bc 和ca 都与c垂直 所以 0 0 bcccac 由0 abb cca 得 0 abbccac 整理 得 0a b c 所以a b c共面 19 证 证 因为 abcd acb d 所以 ad bc 0abacdbdcabacb dcd 故ad 与bc 共线 思考题思考题 4 3 1 平面的截距式方程的形式是唯一的 平面的点法式方程 一般式方程 三点式方程 的形式不是唯一的 2 有 找出交线上的两点通过三点式方程来求也很简便 3 都是线性方程 变量的个数与其所在空间的维数有关 空间解析几何中的平面方程 是三元一次方程 平面解析几何中的直线方程是二元一次方程 4 过x轴的平面的方程的特点是x的系数和常数项都为 0 垂直于z轴的平面就是平行 于oxy面的平面 其方程的特点是x和y的系数都为 0 习题习题 4 3 1 1 3 2 5 T n 2 1 1 0 T n 2 0 1 0 T n 2 解 解 所求方程为2 2 9 9 6 6 0 xyz 即296121 xyz 3 解 解 利用三点式方程来求 所求方程为 11 1 21212 1 0 1 11 12 1 xyz 即 320 xyz 4 解 解 所求平面方程为3 3 7 0 5 1 0 xyz 即 3754xyz 5 解 解 该平面的法向量为 2113 110 ijk nabijk 所求平面方程为 1 0 3 1 0 xyz 即34 xyz 6 略 7 解法解法 1 设所求平面方程为0ByCzD 将 4 0 2 和 5 1 7 代入上式 得 20 70 CD BCD 求得2 9DC BC 所求方程为920 yz 解法解法 2 所求平面平行于两已知点连线所得向量及x轴 利用叉乘积可求得该平面的法 向量 1199 100 ijk njk 该平面的方程为9 0 2 0 yz 即920yz 8 解 解 设所求平面方程为0AxBy 代入所过点的坐标 得 20 2 ABAB 所求平面方程为20 xy 9 解 解 两已知平面的法向量分别为 1 1 1 1 T n和 2 3 2 12 T n 利用叉乘积可求得该平面的法向量为 12 11110155 3212 ijk nnnijk 所求平面方程为10 1 15 1 5 1 0 xyz 即2360 xyz 10 证 证 不在同一条直线上的三点 111 x y z 222 xy z和 333 x y z所确定的平面 方程为 111 212121 313131 0 xxyyzz xxyyzz xxyyzz 将 111 222 333 1 1 0 1 1 xyz xyz xyz xyz 中行列式的 1 3 4 行分别减去第二行 再按第一列展开 得 到的就是上式 习题习题 4 4 1 1 解 解 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 13 12 312 22 xt xyz yt zt 和 2 解 解 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 2 231 3 100 1 xt xyz y z 和 3 解 解 该直线的方向向量为AB 它的坐标向量为 0 1 4 T 其参数式方程和对称式 方程分别为 1 11 014 14 x xyz yt zt 和 4 解 解 该直线的方向向量为 1 3 4 T 其参数式方程和对称式方程分别为 2 235 33 134 54 xt xyz yt zt 和 5 解 解 两条已知直线的方向向量分别为 1 1 1 1 T s和 2 2 3 1 T s 先通过叉乘 积来求该直线的方向向量 该直线的方向向量为 12 11143 231 ijk sssijk 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 14 11 3 431 1 xt xyz yt zt 和 6 解 解 两个已知平面的法向量分别为 1 1 1 1 T n和 2 0 1 1 T n 先通过叉乘积 来求该直线的方向向量 该直线的方向向量为 12 1112 011 ijk snnijk 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 12 123 2 211 3 xt xyz yt zt 和 7 解解法法 1 设过点 0 3 1 2 P向直线 1 1 2 xt yt zt 所作垂线的垂足为 1 1 2 Qttt 则 0 PQ与已知直线的方向向量垂直 它们的数量积等于0 2 1 1 22 20ttt 解得1 t Q点的坐标为 2 0 2 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 3 312 1 110 2 xt xyz yt z 和 解解法法 2 过点 0 3 1 2 P且与直线 1 1 2 xt yt zt 垂直的平面的方程为 1 3 1 1 2 2 0 xyz 即 260 xyz 将 1 1 2 xt yt zt 代入上式 得11460ttt 1 t 过点 0 3 1 2 P向直线 1 1 2 xt yt zt 所作垂线的垂足的坐标为 2 0 2 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 3 312 1 110 2 xt xyz yt z 和 8 解 解 已知平面的法向量为 1 1 1 T n 已知直线的方向向量为 1 1 1 2 T s 先通 过叉乘积来求该直线的方向向量 该直线的方向向量为 1 11132 112 ijk snsijk 该直线的参数式方程和对称式方程分别为 3 12 1 312 22 xt xyz yt zt 和 2 1 85 431 xyz 2 21 33 134 xz y 3 1 提示 在所给直线上找两个点 利用三点式来求 该平面的方程为2450 xyz 2 提示 先利用叉乘积求出所给直线的方向向量 它也是所求平面的法向量 该平面的方程为10 xyz 3 提示 该平面的法向量为直线 1 l和 2 l的方向向量的叉乘积 该平面的方程为20 xyz 4 提示 通过同轴平面束来做 该平面的方程为48210 xyz 思考题思考题 4 5 1 121212 0AABBCC 2 成立 cossin sn s n 3 先求出过已知点P与已知直线垂直的平面 再求出该平面与已知直线的交点Q 则点 P到已知直线的距离等于点P与点Q的距离 先求出过已知点M与已知平面垂直的直线 再求出该直线与已知平面的交点N 则点 M到已知平面的距离等于点M与点N的距离 习题习题 4 5 1 1 当6C 且 5 2 D 时 这两个平面平行 2 当6C 且 5 2 D 时 这两个平面重合 2 1 相交 交点为 3 1 2 2 相交 交点为 7 37 8 33 3 直线在平面上 3 解 解 在直线 3260 40 xyz xyzD 中 令0 0 xy 得 3z zD 所以3 D 4 证证 直线 1 l过点 1 7 2 1 P 方向向量为 1 3 2 2 T s 直线 2 l过点 2 1 2 5 P 方向向量为 2 2 3 4 T s 因为 1212 644 3220 234 PP s s 所以 1 l和 2 l共面 根据三个向量共面的条件 可求得它们所在平面的方程为 721 3220 234 xyz 即21613310 xyz 5 解 解 12 1 1 2 2 1 1 TT nn 12 12 31 cos 266 nn n n 这两个平面的夹角为 3 6 解 解 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 TTTT nijk 设平面2250 xyz 与 oxyoyzozx面面面的夹角分别为 123 11 11 cos arccos 33 n k n k 22 32 22 cos arccos 33 22 cos arccos 33 n i n i n j n j 7 解 解 直线 30 0 xyz xyz 的方向向量为242sijk 平面10 xyz 的法 向量为nijk 设直线 30 0 xyz xyz 与平面10 xyz 的夹角为 则 s i n0 0 s n s n 8 解 解 这两条直线的方向向量分别为 12 1 1 1 1 1 2 TT ss 设这两条直线的夹角为 则 12 12 22 cos arccos 33 ss s s 9 解 解 点 1 2 1 到平面2210 xyz 的距离为 222 1222 1 10 1 122 d 10 解 解 因为这两个平面平行 所以它们之间的距离等于平面 1 上的一点到平面 2 的 距离 在平面 1 上取一点 12 0 0 所求距离为 222 1220206 2 1 2 2 d 11 解 解 设所求平面的方程为22xyzD 在已知平面上取一点 1 0 0 则 222 12020 2 12 2 D 即 1 2 3 D 5D 或7 D 所求平面的方程为225xyz 或227 xyz 1