7.2闭区间上连续函数性质的证明.doc

数学分析教案 第七章 实数的完备性 7.2 闭区间上连续函数性质的证明教学目标：证明闭区间上的连续函数性质教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性教学建议： (1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明,对较好学生可布置这方面的习题教学过程：在本节中,将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章2中给出的闭区间上连续函数的基本性质.一、有界性定理 若函数f在闭区间上连续,则f在上有界证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅3P106107. 证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.证明 如若不然,在上无界,N,使得,对于序列,它有上下界,致密性定理告诉我们使得,由在连续,及有 ,矛盾.证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 参阅1P168169证明 （应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（th4.2）对每一点都存在邻域及正数使考虑开区间集 虽然H是的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在H的一个有限点集 覆盖了,且存在正整数使对一切有,令则对,必属于某,即证在上有上界二、最值性: 命题2 , 在上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 令, 如果达不到,则恒有.考虑函数,则,因而有界,即,从而,这与是上确界矛盾,因此,使得.类似地可以证明达到下确界.三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题3 （零点存在定理或根的存在性定理）设函数在闭区间上连续即且与异号（）,则在内存在一点使得.即方程在内至少存在一个实根. 证法 一 ( 用区间套定理 ) .设,.将二等分为、,若则即为所求；若,当时取否则取为,有，.如此继续,如某一次中点有终止（即为所求）；否则得满足： ； ； 由闭区间套定理知,唯一的,且由在处的连续性及极限的保号性得、 #证二( 用确界原理 ) 不妨假设（从图1看,是使得的的下确界）,令,要证（存在否？）.因为,有界,故存在.令 ,下面证如若不然,则（或）（从图形上可清楚看出,此时必存在使）.首先,即；在连续,由连续函数的局部保号性使得有,特别应有即 ,这与矛盾,故必有. 证法 二 ( 用确界原理 ) 不妨设 .令, 则非空有界, 有上确界. 设,有. 现证 , ( 为此证明且 ). 取 且. 由在点连续和, , . 于是. 由在点连续和, . 因此只能有. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).介值性定理 设f在闭区间上连续,且之间的任何实数或,则存在使证明 (应用确界定理) 不妨设 则g也是上连续函数, ,于是定理的结论转为:这个简化的情形称为根的存在性定理(th4.7的推论) 记显然E为非空有界数集故有确界定理, E有下确界,记有连续函数的局部保号性, ,使在内,在内由此易见,即 下证倘若,不妨设, 则又由局部保号性,存在使在其内,特别有=0,但此与矛盾,则必有几何解释 直线与曲线相交.把轴平移到,则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数,把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？ 从几何上,启示我们作； 从结果着手.利用零点定理证：令,则,往下即转化为零点存在问题. #这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊,最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法,以后会经常用到.推论 如为区间上的连续函数,则值域也是一个区间（可以退化为一点）.证 为常量函数,则退化为一点.非常量函数,则当然不是单点集.在中任取两点（只要证）,则在中必有两点,使得,.于是对,必存在,介于与之间,使,即因而是一个区间.二、一致连续性: 命题4 ( Cantor定理 ) , 则在上一致连续. 证法 一 ( 用有限复盖定理 ) 参阅1P171 证法一 证明 (用有限覆盖定理) 由f在闭区间上连续性,对每一点,都存在,使当时,有考虑开区间集合 显然H是的一个开覆盖,由有限覆盖定理的一个有限子集对,必属于中某开区间,设,即,此时有 故有（2）式同时有 由此得 . 证法 二 ( 用致密性定理). 参阅1P171172 证法二 证明 如果不然,在上不一