《数学分析》(华师大二版)课本上的习题16.doc

第十六章 多元函数的极限于连续P.120 1平面点集与多元函数1 判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点： （1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2.试问集合与集合是否相同？3证明：当且仅当存在各点互不相同的点列PnE,PnP0.时，P0是E的聚点。4.证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。5证明：点列收敛于的充要条件是和6求下列个函数的函数值： （1），求 （2），求； （3），求f(tx,ty).7.设F(x,y)=ln xln y,证明：u0,v0,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v);8.求下列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：（1） ； （2）（3）f(x,y)=; (4) (5) (6) (7) (8) (9)(10)9.证明：开集与闭集具有对偶性若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集。10证明：（1）若F1，F2为闭集，则都为闭集； （2）若E1，E2为开集, 则都为开集； （3）若F为闭集，E为开集，则FE为闭集，EF为开集。11试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之。12证明定理16.4（有限覆盖定理）2二元函数的极限1 试求下列极限（包括非正常极限）：（1）； （2）；（3） （3）；（5）； （6）（7）2.讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限。 (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) 3.证明：若1o存在且等于A，2oy在b的某邻域内，存在有4试应用定义证明。5叙述并证明：二元函数极限存在的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。6试写出下列类型极限的精确定义： （1） （2）7试求下列极限： （1） （2）（3） （4）8试作一函数f(x,y)使当时，（1） 两个累次极限存在而重极限不存在；（2） 两个累次极不限存在而重极限存在；（3） 重极限和累次极限都不存在；（4） 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在。9证明定理16.5及其推论3。 3二元函数的连续性1 讨论下列函数的连续性：（1） （2） (3)0 y=0 (4) 0 0 x为无理数(5) y x为有理数 （6）0 （7） （8）2 叙述并证明二元连续函数的局部保号性。3 设 0 讨论它在（0，0）点处的连续性。4 设定义于闭矩形域S=a,bc,d.若f对y在c,d上处处连续，对x 在a,b上（且关于y）为一致连续，证明f在S上处处连续。5 证明：若是有界闭域，f为D上连续函数，则f(D)不仅有界（定理16.8），而且是闭区间。6 设在集合上对x连续，对y满足利普希茨条件： ，其中（x,y）,(x,y),L为常数，试证明f在G上处处连续。7 若一元函数在a,b上连续，令=，（x,y）试讨论f在D 上是否连续，是否一致连续？8 设 =，证明f在D上连续但不一致连续。9 设f在R2上连续，且证明（1）f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。10设f在R2上分别对每一个自变量x和y是连续的，并且每当固定x时对y是单调的，证明f是R2上的二元连续函数。总练习题1 设是有界闭集，d(E)为E的直径，证明：存在P1,P2E,使得。2 设=，r=. 试分别讨论 i =1,2时极限是否存在？为什么？3 设且在（附近有4 设f为定义在R2上的连续函数，是任一实数，证明E是开集，F是闭集。5 设f在有界开集E上一致连续，证明：（1） 可将f连续延拓到E的边界。（2） f在E上有界。6 设与在xy平面中的点集E上一致连续；把点集E映射为