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三棱锥中一个有用的结论陕西宝鸡渭滨中学 彭宏伟一、一个有用的结论三棱锥A-EFG的三侧棱AE、AF、AG两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角分别记为，则有 证明：如图1，O是A在底面EFG上的射影，连EO、FO、GO并延长分别交三边与P、Q、R，连AP、AQ、AR，AE、AF、AG两两垂直，由三垂线定理得是二面角A-FG-E的平面角，记为，同理另两侧面与底面所成二面角分别是，记为，三侧面AFG、AGE、AEF及底面EFG的面积分别记为，同理 ， 把代入得，二、应用（一）这样一道文科高考题：在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则 .”刚拿到这道题，真不知道从什么地方下手.这道题是要考查学生的类比推理能力.在平面几何里，三角形是以最少的边围成的封闭图形，直角三角形中三边满足勾股定理.拓展到空间，三棱锥是以最少的面围成的封闭几何体，题目要我们写出三侧面两两互相垂直的特殊三棱锥，它的三侧面面积与底面面积间的关系.勾股定理中，两直角边的平方和等于其斜边的平方，三边满足的是平方关系.这里也可能是平方和关系吗？即.这只是猜想.可取三侧面两两互相垂直的特殊三棱锥，使侧棱长取不同的几组值验证，发现都是正确的.这个结论的证明方法较多，但用很容易得证.给这个式子两边同乘以底面面积的平方，再逆用式即得.（二）已知一个棱长为1的正方体，求它在某一个平面上的射影的面积的最大值.如果从射影图形的形状考虑，很难回答这个问题.因为射影图形的形状不确定，可以是正方形、矩形、正六边形等.但是直观的猜想，射影可能是如图3的正六边形时，其面积最大.这是因为，对正方体而言，无论从外部那个角度看，最多只能看到三个面，所以可只考虑共顶点的三个面在某一个平面上的射影的面积的最值就足够了.正方体共顶点的三个面在某一个平面上的射影的面积可记为，这三个面与给定的某一平面所成二面角分别记为，则 问题转化为在条件下求式的最大值，利用均值不等式，由平方得，3当且仅当时，等号成立，此时正方体在某一个平面上的射影是如图3的正六边形，其面积最大为. （三）已知正方体的12条棱与某一平面都成等角，则这个角的正弦值为 . 考虑正方体的12条棱可分为3组，每组4条都平行，所以只考虑共顶点的3条棱.由图1易得，正方体共顶点的3条棱与某
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