三角函数第二章 任意角的三角函数.doc

RD辅导 Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存梦想 心存希望主题二 三角函数第二章 任意角的三角函数复习结构图任意角的三角函数三角函数的定义单位圆与三角函数线同角三角函数的基本关系式三角函数在各象限的符号正弦线余弦线正切线角与的三角函数间的关系角与的三角函数间的关系角与的三角函数间的关系角与的三角函数间的关系诱导公式一、三角函数的定义1、任意角的三角函数的定义设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，如图，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；有时我们还用到下列三个函数（4）角的正割：；（5）角的余割：；（6）角的余切：。这就是说，分别是的余弦、正弦、正切的倒数。正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。我们重点研究正弦函数、余弦函数、正切函数。例1：已知角的终边经过点，求的六个三角函数值。例2：已知角的终边落在直线上，求的值。2、三角函数的定义域三角函数定义域例：求函数的定义域3、三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即：第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同。例1：填空：（1）如果，且，则是第 象限的角；（2）如果，且，则是第 象限的角；（3）如果，且，则是第 象限的角；（4）如果，且，则是第 象限的角；例2：的值（ ）A、小于0 B、大于0 C、等于0 D、不存在二、单位圆与三角函数线一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴的交点分别为，而与轴的交点分别为。设角的顶点在圆心，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点，过点作垂直轴于，作垂直于轴于点，则点，分别是点在轴、轴上的正射影（简称射影）。由三角函数的定义可知，点的坐标为，即。其中。这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。以为原点建立轴与轴同向，轴与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则（或）。我们把轴上向量，和（或）分别叫做的余弦线、正弦线和正切线。当角的终边在轴上时，点与点重合，点与点重合，此时正切线和正弦线都变成了一点，他们的数量为零，而余弦线或。当角的终边在轴上时，正弦线或，余弦线变成一点，它表示的数量为零，正切线不存在。例1：在直角坐标系中，作出角的正弦线、余弦线、正切线。例2：已知角，且，请利用三角函数线比较的大小。例3：在单位圆中画出适合下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合（1）；（2）。三、同角三角函数的基本关系式两个最基本的关系式1、同角三角函数的平方关系，称为同角三角函数的平方关系。其变形形式有：，其他平方关系有，“1”的代换：根据解题的需要有时可以将1用代替2、同角三角函数的商数关系和倒数关系，称为同角三角函数的商数关系。其变形形式有，其它商数关系有。切割化弦：利用商数关系把切割化为正弦和余弦，减少函数名称，从而统一变量。，称为同角三角函数的倒数关系。例1：化简，且是第二象限角，则的值为 。已知，则 ， 。已知，且是第二象限角，求角的正弦值和余弦值。已知，求的值。例2：已知，求下列各式的值；例3：已知，求下列各式的值（1） （2） （3） （4）例4：，且，求的值例5：已知，求的值。总结：在三角函数变换求值中，已知，中的任何一个，都可利用方程的思想求出另外两个的值。解题时，要特别注意开方后正负的取舍，这要根据已知条件确定和的大小关系及其正负。四.诱导公式常用知识补充：（1）终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为。（2）终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为（或）； 终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为。（3）终边与角的终边关于直线对称的角可以表示为。1、角与的三角函数间的关系在直角坐标系中，与的终边相同，根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等。 （一）例1：求下列各三角函数值：（1） （2） （3）2、角与的三角函数间的关系 （二）例2：求下列各三角函数值（1） （2） （3） （4）3、角与的三角函数间的关系 （三）由公式（一）和（三）可以看出，角与加上的偶数倍的所有三角函数值相等；角与加上的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角与加上的奇数倍的正切值相等。即 当为奇数时当为偶数时 当为偶数时当为奇数时 以为任意角都可以化为的形式，并使，利用公式（一）（二）（三），我们可以把任意角的三角函数求值问题转化为至之间的三角函数求值问题。公式（一）（二）（三）叫做诱导公式。例3：求下列各三角函数值：（1） （2） （3） （4）例4：求下列各三角函数值：（1） （2） （3） （4）例5：化简:4、与的三角函数间的关系（四）在公式（四）中，以替代，可得另一组公式由三角函数之间的关系又可得 ； ；因为任意一个角都可表示为（其中）的形式。这样有四组诱导公式就可把任意角的三角函数求值问题转化为之间角的三角函数值问题。当为偶数时，得的同名三角函数值；当为奇数时，得的异名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指的奇偶。五、本章相关题目1、已知角终边上一点且，求，的值。2、（1）确定的符号； （2）确定的符号 （3）已知：，求证：。4、已知点在第四象限，则在内的取值范围为（ ）A、 B、C、 D、5、已知，那么 。6、下列结论成立的是（ ）A、且 B、且C、且 D、且7、已知且