第2章 张量分析(6.8).doc

第2章 张量分析第2章 张量分析2.1矢量空间、基、基矢1线性矢量空间设有个矢量，它们构成一个集合，其中每个矢量称为的一个元素。如唯一地确定的另一个元素，及（为标量）也给定内唯一确定的元素，则称为线性（矢量）空间。中的零元素记为，且具有.2空间的维数设为个标量，若能选取，使得且不合为零，则称此个矢量线性相关，否则，称为线性无关。 例1 位于同一平面内的两个矢量和（如图）是线性无关的，即若和为任意值，且不全为零。例2 位于同一平面内的三个矢量，是线性相关的，则恒可找到,（不全为零）使如图： 集合内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设的维数为，则记为，欧氏空间为。3空间的基和基元素中任意个线性无关元素的全体称为的一个基。基的每个元素称为基元素，由于的确良基元素是线性无关的。于是内任一个元素可表示成基元素的线性组合。设为的任选的基，则有：，为任意的不全为零的标量但总可选取及不全等于零，使得或者不全等于零，所以不全等于零，且为有限值。 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为内至少只有个元素是线性无关的。设及是的两个基，则中的每个基元素都可用的线性组合来表示；反之亦然，因此，中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。对于同一个元素，采用不同的基时，其系数不同甘共苦。因为与间有确定的变换关系，因此，与间亦有确定的变换关系。空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，其中则是矢量在基或坐标方向的分量值。空间的元素如为矢平日里，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。正交基：基内各基矢相互正交的基，称为正交基。标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。现以欧氏空间为例，这是三维空间。在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作，在此坐标系内，任一矢量（位矢）为是不因坐标位置而改变的 当只一个坐标有变化时，例如有变化此时，因此，为单位矢量。都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作，用表示坐标值，则基矢定义之随坐标位置而变化，因此是正交基，但不是标准正交基。例如：在极坐标系内 其中，因此，令（拉梅系数）及则为正交曲线坐标系的标准化正交基。因此，显然有2.2 字母指标法1字母标号法：（标号：index or suffix）点位置：（矢径）矢量：（位移） （速度） 应力（张量）：应变（张量）：微分符号：约定：英文字母下标表示三维指标，取值1，2，32求和约定：矢量点积：两矢量分别记为哑标：在表达式式中等项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为“哑标”或“伪标”哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）线性变换：上式中，为哑标表示求和，而在每项中只出现一次，称为自由指标。自由指标表示，若轮流取该指标取值范围内的任一值，关系式恒成立。自由指标仅表示为轮流换值，因此也可以换标，如，上式可写为 （同时换标）注意：自由指标必须整个表达式换名同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如：哑标只能成对出现。否则要如求和号或特别指出（就书中标下加“-”）由 不能得出 若重复出现的标号不求和，应特别声明2.3 符号和1符号（kronecher delta）定义为性质：对称性 应用：2排列符号（置换符号）（Permutation Symbol）123循环方向定义： 性质：下标改变奇次位置时改变正、负号，下标改变偶数次位置时不改变符号。应用：3之关系（恒等式） 矢量恒等式设 而 又 根据矢量恒等式，有：（矢量恒等则矢量的各分量应相等）由于对任意的上式均成立，则：进一步，有：2.4 坐标变换：老坐标系：新坐标系（坐标轴夹角的方向余弦：构成一个二阶张量 （与一般不同，它是两个坐标系的基矢构成的）称为转移张量（shifter）（总是新坐标在前，老坐标在后）性质： 不是对称张量 而 是正交张量 （*）又新老坐标系基矢量的关系式：上面第一式两边乘以 则 上面第二式两边乘以 则 则：代入（*）式，有 证毕张量的应用：i）矢量的坐标变换：又 则： 或 矢量形式为：ii）二阶张量的坐标变换：与上同样：张量写法为：2.5 张量的代数运算1张量的坐标系不变性及其记法客观量都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工具），如长度是不变的，但测量长度可用不同的工具），（若张量与坐标系选择无关，则张量反映了一个客观量）。矢量（小写字母） 笛卡儿坐标系基矢（为标准化的正交曲线坐标基矢）则 与与有一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基矢的变换来导出它们之间的变换关系。称为一阶基（由三个矢量构成的基）矢量可用一个方向来确定，在方向，应力矢为在方向，应力矢为但有些量不利用一个方向来确定，如应力：它与两个方向有关，常用的单元体也如此（和作用面的法矢）。这样引入二阶基：从数字上说，可引入 阶基，个基矢与阶基相关连的量称为阶张量：标量 ：矢量 ：二阶张量（简称张量）张量的记法：直接记法（抽象记法）分量记法矩阵记法（0阶、一阶、二阶张量）标量/矢量二阶张量T,直接记法与坐标系选择无关，只用于描绘公式、不能进行计算。分量中标量称为伪标量，与坐标选择有关，这里能以分量记法变直接记法，反之亦然。2张量的外乘（并乘），外积（并积），用记号 不适于交换率，与秩序有关。个张量外乘，结果仍为张量，新张量的阶数为个张量阶数之和分量的组合有9个，该9个为二阶张量的分量。3张量的内乘（点乘）内积（点积），用记号“ ”）张量的内乘法结果仍为张量，其阶数为二个张量的阶数之和再减去点乘的次数乘2。4张量的缩并 （不能变换顺序）张量的缩并仍为张量，其阶数等于原张量的阶数减去缩并数惯用的缩并：表示缩并，表示缩并次数，惯用为最靠近的缩并。要求： （称为双点乘，设为二阶张量）5若干结论商法则 张量识别定理设已知和为张量，且满足：则亦为张量，且为阶，（的阶数减去的阶数） 特别是，当 即的指标与的指标全部依次相同，则的阶数为的阶数加上的阶数。如右图：（是一阶张量（点的位置矢）根据上面分析，知为二阶张量分量（单位张量）记为。的矩阵记法为单位矩阵 则为三阶张量，记为“” 二阶张量可视为一个变换，把一个矢量变换为另一个矢量。与的大小不同、方向不同（一般下）一阶、二阶张量的运算，可用矩阵的运算方法（下面均指二阶张量）求迹（trace） （矩阵）则定义： 类似 特别地a) b) 则 c) 则 且 进一步：2.6 特殊张量 张量函数（二阶张量）1对称和反对称张量 （与矩阵的对称和反对称定义同）定义：设为对称张量，若有，则称为对称张量设为反对称张量，若有；，则称为反对称张量特性： 证：又 总为标量，则 一般张量 设为反对称张量，则可找一个矢量，使 （为量换张量） （*）则：任意矢量与置换张量的点乘积为一个反对称张量求解张量方程（*），即 ，求出将（*）式两边的点乘，有 则 称与互为对偶。设和均为反对称张量，和分别为它们的对偶矢量，则以上为矢量恒等式。证明：定理：反对称张量与反对称张量点积是一个张量，但不一定为反对称张量。证：则 2偏（斜）张量和球张量定义：设为张量，若，则称为偏斜张量设为张量，若，则称为球张量特性：证：任何张量，都可分解为偏斜张量和球张量之和弹性力学中：。3正交张量（代数中正交矩阵 ）定义：设有张量与任意矢量，作一个变换。如果 （即）则称为正交张量（的变换称为正交变换或刚体变换）。特性：又由于为任意的，则 则 对于基矢量的变换 若为正常正交张量，则与之间转换（仍为右手坐标系）若为非常正交张量，则与之间镜射，将右手系变为左手系） 则 保角变换（既是刚体转动，应是保角的）（该等式成立，保证角度不变，两矢量的夹角不变）证明： （）4相似张量定义：设有二个张量，和矢量，则有 （*）如果，为任意，又则称与为相似张量。特性：同之间的关系：则 又由于为任意的，则有 又 （上式两边右乘）设 又设 （）又 则 （与（）式比较）相似张量之一存在新基上的分量等于各一相似张量在原基上的分量。矢量正交变换 张量正交变换 证：又 证明：上两个特性证明了不变量与坐标选择无关一次： 二次：， 三次证：特别地： 即：定义：的范数 记为则 两相似张量的范数相等。5张量函数以张量为变量的函数称为张量函数如： 功为张量函数 或 本构关系也是张量函数 应变能为张量函数（1）标量值的张量函数a）表达法 ，设为二阶张量例：，此处为给定的二阶张量（相当于函数的系数）b） 线性函数：c） 求导：根据缩并定理， 则 为张量分量。定义：，的阶数等于变量的阶数（2）张量值张量函数：a）定义：为具体化，称和为二阶张量。例：，为给定的四阶张量（相当于函数系数）b） 线性函数：。c） 求导：同样根据缩并定理 为四阶张量分量。定义：为一个四阶张量。导数的阶数=函数的阶数+变量的阶数。例：弹性张量（四阶）6各向同性张量函数对于，其中为任意阶张量，设为和的正