8.1空间几何的结构及其三视图和直观图(待用).doc

空间几何体的结构及其三视图和直观图知识点睛一、空间几何体的结构特征（1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2.2圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。3.1棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.二、空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。4.斜二测法：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半例题讲解【例题1】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【答案】B【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题【例题2】 (1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的() (2) 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A2B4C. D2【答案】D.【解析】(1)由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A(2)依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2【例题3】【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A2B.C. D1【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形S(11)22【例题4】【题干】已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原ABC的面积【解析】建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高 把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OC a a，所以原三角形ABC的高OCa.所以SABCaaa2.随堂练习课堂练习1如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()ABC D解析：选A的三个视图都是边长为1的正方形；的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形2一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选CC选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.5.如图ABC是ABC的直观图，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析：选B由斜二测画法知B正确3一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的_(填入所有可能的图形前的编号)锐角三角形；直角三角形；四边形；扇形；圆解析：如图1所示，直三棱柱ABEA1B1E1符合题设要求，此时俯视图ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABCA1B1C1符合题设要求，此时俯视图ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCDA1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有，故排除.答案：4正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为_解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正视图的周长为22.答案：22【巩固】1底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()A2 B3C. D4解析：选A当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2.2已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体3已知正三棱锥VABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)三棱锥的直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC226.【拔高】1有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是()A1 B.C. D.解析：选D如图所示是棱长为1的正方体当投影线与平面A1BC1垂直时，面ACD1面A1BC1，此时正方体的正投影为一个正六边形设其边长为a，则a，a.投影面的面积为62.此时投影面积最大，故D正确2已知正三棱柱ABCABC的正视图和侧视图如图所示，设ABC，ABC的中心分别是O，O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为_；最小正周期为_(说明：“三棱柱绕直线OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大此时俯视图为一个矩形，其宽为tan 3022，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为.答案：8课程小结1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面是正多边形(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体2对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线3对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图课后作业1有下列四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中真命题的个数是()A1 B2C3 D42如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()3一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A2 B1 C22 D44一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_5如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面ABE，已知AB2，AEBE，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AMMNNB的最小值为_6正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)7如图，ABC与ACD都是等腰直角三角形，且ADDC2，ACBC.平面ACD平面ABC，如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥DABC的三视图的面积和为_2一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形 (1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积检测卷一一、选择题1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆2. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C）（D）3. 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是()A BC D4一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.a2 B2a2 C.a2 D.a25将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()6如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可能是()7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()二、填空题8利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_9一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_10. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为_，最小值为_11如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_12如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为_三、解答题、13如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 14正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？15. 已知，如图一个空间几何体的三视图 (1)该空间几何体是如何构成的？(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积16一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长检测卷二一、选择题1、 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A2、 给出下列命题： 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体； 如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台其中正确命题的个数是（）3、 利用斜二测画法得到： 三角形的直观图是三角形； 平行四边形的直观图是平行四边形； 正方形的直观图是正方形； 菱形的直观图是菱形以上结论，正确的是（）4、 如图1所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图2中的（）图2图15、 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（）圆柱三棱柱圆锥球体6、. 下列说法中正确的是（）互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线梯形的直观图可能是平行四边形矩形的直观图可能是梯形正方形的直观图可能是平行四边形7、 如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）第7题 第8题 第9题8、 如图中斜二测直观图所示的平面图形是（）直角梯形等腰梯形不可能是梯形平行四边形9、 下图中直观图所表示的平面图形是（）正三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形10、 三视图均相同的几何体有（）球正方体正四面体以上都对11、 已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）12、 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（）圆柱三棱柱圆锥球体13、 在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）平行且相等平行不相等相等不平行既不平行也不相等14、 如图所示，空心圆柱体的正视图是（）图15、 如图所示，是水平放置的三角形的直观图，是的边的中点，那么三条线段长的大小关系是（）16 已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如右图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱上部是一个三棱锥，下部是