二倍角公式的运用.doc

学科：数学教学内容：导数的应用（一）【学习目标】利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值、函数在连续区间a，b上的最大（小）值，培养数学思维能力【高考试题剖析】1曲线y在点（3，3）处的切线倾斜角_【解析】y，y|x3|x31，【答案】2函数f（x）exex在（0，）上的单调性是_【解析】f（x）exexex（e2x1），当x（0，）时， f（x）0f（x）在（0，）上是增函数【答案】增函数3函数y13xx3有（）A极小值1，极大值1B极小值2，极大值3C极小值2，极大值2D极小值1，极大值3【解析】f（x）33x20，x1f（1）3， f（1）1【答案】D4函数y2x33x212x5在0，3上最大、小值是（）A5，15B5，4C4，15 D5，16【解析】y6x26x126（x2）（x1）令y0，得：x2或x1（舍）检验知，当x2时，y极小15又f（0）5， f（3）2273912354y最大值5， y最小值15【答案】A5下面说法正确的是（）A函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B函数在闭区间上的最大值一定是极大值C对于f（x）x3px22x1，若|p|，则f（x）无极值D函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值【解析】极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，因此，极大值不一定是最大值，A错由于函数的最值可能在端点取得，因此最大值不一定是极值，B错对于C，f（x）3x22px2，方程3x22px20，当|p|时无实根，而f（x）在R内可导，因此f（x）无极值【答案】C【典型例题精讲】例1研究函数f（x）ax3bx2x1的单调性，其中a0【解】f（x）3ax22bx当a0时， f（x）0，则x或，f（x）0时，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减当a0时，同样可得f（x）在上单调递增，在（，）上单调递减例2偶函数f（x）ax4bx3cx2dxe的图象过点P（0，1），且在x1处的切线方程为yx2，（1）求yf（x）的解析式；（2）求yf（x）的极值【解】（1）f（x）是偶函数，bd0又图象过点P（0，1），则e1，此时f（x）ax4cx21y4ax32cx，y|x14a2c1 又切线的切点（1，1）在曲线上，ac11 由得，（2）f（x）10x39x0，x0或x通过列表可知：当x时， f（x）极小当x0时， f（x）极大1例3曲线yx6上哪一个点的法线在y轴上截距最小?（所谓法线是指：过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）【解】在曲线yx6上任取一点（x，y），过该点切线的斜率为k2x5法线的斜率为法线的方程为Yy（zx）令z0，得法线在y轴上的截距：则令Y0，得x1当x1时，Y0，则Y单调减小；当1x0时，Y0，则Y单调增加；当0x1时，Y0，则Y单调减小；当x1时，Y0，则Y单调增加；从而当x1时，Y取得最小值为，此时点（1，）为所求例4已知f（x）ax3bx2cx（a0）在x1时取得极值，且f（1）1，（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x1是函数的极大值还是极小值，并说明理由【分析】考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f（x）0的根建立起由极值点x1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值（1）【解法一】f（x）3ax22bxc，x1是函数的极值点x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知： 又f（1）1，abc1 由、解，得：【解法二】由f（1）f（1）0，得：3a2bc03a2bc0 又f（1）1，abc1由、解得：（2），f（x）当x1时f（x）0，当1x1时， f（x）0，f（x）在（，）上是增函数又当x0时， f（x）0，方程2xsinx有惟一实根x0【注】本题体现了函数思想的应用【达标训练】1函数y（x21）31在x1处（）A有极大值 B有极小值C无极值 D无法确定极值情况【解析】y3（x21）22x，令y0，得：x0或x1或x1，但当x（，1）时，y0，当x（1，0）时，y0，因此当x1时无极值【答案】C2设y（2xa）2，且y（2）20，则a等于（）A1 B1C0 D任意实数【解析】y4（2xa），y|x220，a1【答案】B3函数ysin2xx，x上的最大值是_，最小值是_【解析】y2cos2x10，x而端点所以y的最大值是，最小值是【答案】 4如果函数f（x）ax3x2x在（，）上单调递增，则a_【解析】y3ax22x10a0且412a0，即a【答案】5求证：当|x|2时，|3xx3|2【证明】设f（x）3xx3f（x）33x23（1x2）当x1时， f（x）0当x1时， f（x）0当1x1时， f（x）0当x1时，f（x）0从而f（x）的极小值为f（1）2， f（x）的极大值为f（1）2，又f（2）2， f（2）2，所以当x2时，3xx326设f（x）x3x22x（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；（2）当x1，2时， f（x）m恒成立，求实数m的取值范围【解析】（1）令f（x）3x2x20，得x或x1函数的单调增区间为（，）、（1，），单调减区间为（，1）（2）原命题等价于f（x）在1，2上的最大值小于m由f（x）0，得x或1，又，f（2）7mf（x）max77求函数yx2lnx的极值【解析】定义域D：（0，），y2xlnxx2x（2lnx1）令y0，得：xe，当0xe时，ye时，y0，y在（e，）上是增函数xe时，y有极小值（e）2（）【解题指导】掌握求给定函数的单调区间、极值、最值的一般方法，会求已知曲线在指定点处的切线的斜率【拓展练习】备选题1求yexcosx的极值【解】yex（cosxsinx），令y0，即cosxsinx0，得x2k或x2k，kZ当x（2k，2k）（kZ）时，y0， f（x）为增函数，因此，当x2k（kZ）时，y有极大值（kZ）当x2k（kZ）时，y有极小值（kZ）2已知f（x）2x36x2m（m为常数），在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值为（）A37 B29 C5 D11【解析】f（x）6x212x6x（x2），由f（x）0，得x0或2f（0）m， f（2）8m， f（2）40m，有f（0）f（2）f（2）m3，最小值为f（2）37【答案】A3函数y3x22lnx的单调增区间为_；减区间为_【解析】函数的定义域为：（0，）y6x，令y0，得x，单调增区间为（，），由y0，得0x0）上与定点P（0，2）距离最近的点【解】设曲线y4x2上任意一点为Q（x，y），则|PQ|设f（x）|PQ|2x43x24，则f（x）4x36x2x（2x23）令f（x）0，x0，x，又当0x时， f（x）时， f（x）0，f（x）在x时取极小值，因为f（x）只有一个极值点，因此该极小值也是最小值，相应地|PQ|也取得最小值，这时Q点坐标为（），即与点P（0，2）最近的点是Q（）注：如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点（单峰函数），那么极小值即为最小值，极大值即为最大值学科：数学教学内容：导数的应用（二）【学习目标】利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力【高考试题剖析】1函数f（x）lg（x）的单调性是_【解析】y，所以f（x）在R上是增函数【答案】增函数2已知一直线切曲线yx3于x2，且交此曲线于另一点，则此点坐标_【解析】kyx2（x3）x21.2又切点为（2，0.8），切线方程为6x5y80联立解得所以另一交点为（4，6.4）【答案】（4，6.4）3等边三角形当高为8 cm时，其面积对高的改变率是_【解析】Sh2，Sh S|h8【答案】4函数yx33x224x12的极小值是_【解析】y3x26x243（x22x8）3（x4）（x2）令y0，得x4或x2，检验知：当x2时，y取极小值16【答案】16【典型例题精讲】例1当x0时，证明ln（1x）xx2【证明】设f（x）ln（1x）x2x，其定义域为（1，），f（x）f（x）在（1，）上是增函数由增函数定义知：当x0时， f（x）f（0）0即ln（1x）x2x0所以当x0时，ln（1x）xx2例2设f（x）ax3x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间【解】f（x）3ax21，若a0，则f（x）0， x（，），此时f（x）只有一个单调区间，矛盾；若a0，则f（x）10，此时f（x）仍只有一个单调区间若a0， f（x）3a，综上可知a0）公里/小时，燃料费是Q元，则Qkx3，由6k103得：k，Qx3，总费用y（x296），y，令y0，得x20，由于该函数在（0，）内有惟一的极值点是极小值点，所以该极小值是最小值因此，当船速为20公里/小时时，航行每公里的费用总和最小例5直线ya与函数f（x）x33x的图象有相异三个交点，求a的取值范围【解】f（x）3x233（x1）（x1），由f（x）0得单调增区间为（，1），（1，），由f（x）0得单调减区间为（1，1），检验知x1时， f（1）2是极小值，当x1时， f（1）2是极大值，结合图象知：当2a2时，ya与yx33x的图象有三个相异交点【达标训练】1证明双曲线xya2上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值【证明】设y上任一点为Q（x0，y0），则，切线方程为：yy0（xx0）令y0，则令x0，则S|x|y|2a2（定值）2当0x时，证明xsinx0，yxy，由得0x2设f（x）xy（0x0，y0）设x1cos， ysin（0）xysin（1cos），设f（） sin（1