第一部分动量传输(第二章流体动力学).doc

第一章 流体动力学(6学时)要求重点掌握内容：连续性方程、欧拉方程、纳维尔斯托克斯方程、理想流体和实际流体的伯努利方程及应用、稳定流的动量方程及应用。要求一般掌握内容：流体运动的描述难点：理想流体和实际流体的伯努利方程及应用 流体动力学（包括运动学）是研究流体在外力作用下的运动规律，内容包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转角等随空间与时间的变化，以及研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量方法。流体动力学的基础是三个基本的物理定律定律方程式1 物质不灭定律（质量守恒定律）2 牛顿第二运动定律（F=ma）3 热力学第一定律（能量守恒定律）连续性方程能量方程（纳维尔-斯托克方程、欧拉方程）能量方程（伯努利方程）第一节 流体运动的描述2.1.1研究流体运动的两种方法： 2.1.11 连续介质、质点、微团、控制体 连续介质及质点连续介质：将流体视为整体，内部不存在空隙的介质，由流体密度的定义加以说明。 流体看成是由质点在空间连续排列而无空隙。质点：定义流体密度的最小体积单元，均性特征。 流体微团及控制体流体微团 ( 元体、微元体 ) ：由质点组成、比质点稍大的流体单元，均性特征。微团：建立微分方程，微分解法。控制体：流场中某一确定的空间区域由微团组成，非均性特征控制体建立积分方程，积分解法或近似积分解法。2.1.12 流体运动的研究方法1流场：充满运动流体的空间；“运动参数”：用以表示流体运动的一切物理量（如速度、加速度、密度、重度、压力和粘性力等）动力学：研究流体质点在流场所占有的空间的一切点上，运动参数随着时间和空间位置的分布和连续变化的规律。 流场的研究方法拉格朗日法、欧拉法 1) 拉格朗日法 基本原理：是力学中质点运动描述方法在流体力学中的推广。它研究流场中个别流体质点在不同的时间其位置、流速、压力的变化。 即把流体细分为大量的流体质点，着眼于流体质点运动的描述，设法描述出每个质点自始至终的运动状态。所有质点的运动规律知道后，整个流场的运动规律就清楚了。 特点：分析流体各个质点的运动，来研究整个流体的运动。 假定：在t0时，某一点（a，b，c）点的名称，不同的质点，位置不同（即坐标不同），点的名称也不同；在t1时，这一质点到另一个位置上x，y，z。 所以： x=x（a，b，c，t）y=y（a，b，c，t）z=z（a，b，c，t）这一质点的速度在三个坐标轴的分量： （a，b，c）随时间变化吗？ 不，因为它是质点的名称。所以位置X，Y，Z仅是时间t的函数这一质点的加速度在三个坐标轴的分量： 拉格朗日法是描述各个质点在不同时刻的参量变化，它是追踪个别质点描述，用于表达有限个数目质点的运动是方便的。 但在流体运动过程中，质点的位置变化很大，质点量多，因而在一般情况下，要追随每一个质点的运动就很困难，而实际，在应用中，只要表达每一时刻流场中每一个空间点上流体质点的运动特征参数（不必知道它的过去和未来），就能了解流体的运动，因此，一般不用“拉法”。 2).欧拉法 它是研究流场特征的最广泛应用的方法。它不是着眼于流场中某个质点的运动行为，而是整个流场的运动状态。即：研究整个流场内不同空间位置上，各个流体质点的运动参量随时间的变化。 不同空间位置有 （x，y，z）；运动参量有 V、P、T、；时间t；对某个空间位置来说，不同时间可能为不同质点所占据，以欧拉法所表示的流场： 同一瞬间，各个不同位置上流体质点的参量特征（即整个流场的特征）。 V=Fv（x，y，z，t） 整个流场中的速度分布速度场； P=Fp（x，y，z，t） 整个流场中的压力分布压力场； =F（x，y，z，t） 整个流场中的密度分布密度场； T=Ft（x，y，z，t） 整个流场中的温度分布温度场； C=Fc（x，y，z，t） 整个流场中的浓度分布浓度场。 由于连续介质概念成立，所以描述流场内流体质点运动参量（V、P、T、C），对空间坐标（x，y，z）和时间（t）的函数也是连续函数。 可以写成：X=f（x，y，z，t） 与t无关时，称稳定场（或定常场）； 与t有关时，称不稳定场（或不定常场）； 与（x，y，z）无关，均值场； 与（x，y，z）有关，非均值场。 在流体力学中，一般用欧拉法描述流体运动。流体运动可表示为速度场，在直角坐标系中，x,y,z三个坐标轴方向的速度分量为： 流体质点的加速度为： ：哈密顿算子 式中： 称时变加速度（当地加速度）由速度场随时间而变化引起的，当 时，速度场稳定流动； 称迁移加速度（位变加速度）由速度场的不均匀性引起的，当=0时，速度场均匀流动。 在直角坐标系中，x,y,z三个坐标轴方向的加速度分量为 举例： 例2-1 设流场的速度分布为 试求：（1）当地加速度的表达式； （2）t=0时，在M（1，1）点上流体质点的加速度。 解： （1）根据当地加速度的定义，求得（2）根据质点的加速度的表达式 2.1.2 稳定流与非稳定流时间空间非稳定流改变改变稳定流不变不变对于非稳定流，流场中速度和压力分布可表示：对于稳定流，上述参数可表示：因此稳定流的条件：（用图说明：稳定流与非稳定流）1）稳定流动在流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间改变而只是坐标的函数，这种流动为定常流动。表示为，流体运动与时间无关。即p = p(x,y,z) ，u = u(x,y,z)；当经过流场中的A点的流体质点具有不变的和时，则为定常流动。对离心式水泵，如果其转速一定，则吸水管中流体的运动就是定常流动。 图3.2.1 定常流动 图3.2.2 非定常流动2)、非定常流动运动要素是时间和坐标的函数，即 p = p(x,y,z,t) u = u(x,y,z,t) 213 迹线与流线 除去研究流体质点的流动参量随时间变化外，为了使整个流场形象化，从而得到不同流场的运动特性，还要研究同一瞬时质点与质点间或同一质点在不同时间流动参量的关系，即质点参量的综合特性。前者称为流线研究法，后者为迹线研究法。1、迹线： 对于每个流体质点，它在流场运动过程中的轨迹点连线称为迹线。特点：对于每一个质点都有一个运动轨线，所以迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而不同，与时间无关。例如：某一流场的欧拉表达式：由于 Ux=dx/dt； Uy=dy/dt； Uz=dz/zt 所以有：即迹线微分方程 注意！：在迹线微分方程中，t是一个自变量。由迹线的定义就可知。 2.流线 流线是在同一瞬时流场中连续的不同位置质点的流动方向线。即某时刻在流场中所画的一条曲线，在这条曲线上任一点的切线方向就是该点上流体质点的速度方向。 例如：如图2-1，该曲线代表了在同一瞬时的流体质点的速度矢量。由定义： 在流线上任一点M（x，y，z）处的速度为U，速度在三个坐标轴的分量为：Ux，Uy，Uz，速度与三个坐标轴之间的夹角的方向余弦： COS（U，x）=Ux/U ；COS（U，y）=Uy/U ；COS（U，z）=Uz/U 在M点的切线T与坐标轴间的夹角的方向余弦： COS（T，x）=dx/ds ；COS（T，y）=dy/ds ；COS（T，z）=dz/ds 由定义： 与磁场的电磁线相比Ux/U=dx/ds ；Uy/U=dy/ds ；Uz/U=dz/ds 得到： 即流线微分方程 注意！：流线微分方程中的t是固定值，迹线微分方程中的t是变量。 流线的性质： 1）通过流场内的任何空间点都有一条流线，在整个空间就有一流线族； 2）流线是不能相交的，通过流场中的任何空间点只能有一条流线； 3）不稳定流动时，流线与迹线不重合，稳定流动时，两者重合。 流线应用：描绘闸门下液体的出流（P20-图3-4a）；经突然放大的流体流动；绕球体运动的流线运动。 在流线分布比较密集处流速大，流线分布称疏处流速小，因此流线分布的疏密程度就表示了流体运动的快慢程度。214 流管、流束、流量1流管：在流场内任取封闭曲线，通过曲线上每一点连续地作流线，则流线族构成一个管状表面即为流管。 因为流管是由流线作成的，所以流管上各点的流速都与其相切，流管中的流体不可能穿过流管侧面流到流管外，而外面的也不能流到内，只能从一端流入，另一端流出。 2流束：在流管内取一微元曲面积dA，在dA边界上的每一点作流线，这族流线称为流束。 断面为无穷小的流束微小流束。微小流束的断面面积0时，微小流束变为流线。3、总流无数微小流束的总和称为总流。水管中水流的总体，风管中气流的总体均为总流。总流四周全部被固体边界限制，有压流。如自来水管、矿井排水管、液压管道。按周界性质：总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触无压流。如河流、明渠 总流四周不与固体接触射流。 如孔口、管嘴出流4流量：通过微小流束的流体数量。 dQ=VdA 式中：V速度；dA微元面积。 工程上引用平均流速的概念，根据流量相等的原则，单位时间内匀速流过有效断面的流体体积应按与实际通过同一断面的流体体积相等通过流管的流量： （Q=AV dA）工程上： 式中：举例： 例2-2：有一流场的欧拉表达式：Vx=x+t Vy=-y+t Vz=0 ，求迹线方程。 解： Vx=x+t=dx/dt Vy=-y+t=dy/dt Vz=0=dz/dt 分析：常微分方程求解 对应本题 x，-x=t P（x）=1 Q（x）=t 所以 解出迹线方程 ：例2-3 已知平面流动的速度分布为 试求：t=0和t=1时，过M（1，1）点的流线方程。 解： 该平面流动的流线微分方程为： 因t与x、y无关，故可直接积分得 当t=0，x=1，y=1时，C=1；当t=0时过M（1，1）点的流线方程为xy=1当t=1，x=1，y=1时，C=0 则t=1时过M（1，1）点的流线方程（x+1）（y-1）=0可见，该非定常流动的流线形状是随时间而改变的。 补充：梯度、散度、旋度 梯度定义：表示各物理量随空间位置变化的程度，场中某一物理量在空间上取值最大的方向导数(单位距离上的变化量，即最大变化率)。流场中流体物理量（V，T，C）在空间上的变化程度常以梯度的概念来表示。 其定义为：取值最大的方向导数，即： 定义式： 式中 f(u)速度、温度、浓度L式中 n过某点等值面的法线方向； f（U）场中的点函数，代表某一物理量 方向规定为等值面的法线方向，并指向函数值增大的一侧。 梯度是矢量，增值方向为正。 分析：如图 理解为： 流场中某一物理量在某一方向，单位距离上的变化量（变率）。 过P0点使方向导数取值最大的方向，称为梯度的方向。 各分速度的速度梯度，只存在于其它2方向，如 但流体在变形及流动中，也存在有本方向的速度变率，如等，这是下面散度的概念。 散度定义：散度是表示流体体积膨胀或收缩速率，即单位体积流体的体积流量。定义：在流场中取包围某点a的封闭曲面，曲面所包围的流体体积为V（如图2-4）；当V0时，对单位体积、在单位时间内通过曲面流过的流体体积，即：单位体积的流体体积流量。 从封闭曲面流过的体积流量相当于体积V的膨胀量（或收缩量）。 现假定流场中包围a点的封闭曲面有一个六面体的微团，体积为dxdydz，各方向均有流体的流入及流出。 在单位时间内，且在X方向仅有dx增量，所以 定义式：，通量说明： 散度是标量 各方向分速度在该方向上的变率之和 ，连续性方程 判断流场是否连续（存在）的依据。 旋度流体的流动除具有一定方向和大小的运动速度外，还存在有旋转运动。 定义：表示流体旋转强度的一个运动参量，即单位面积上的环量(涡量)。旋度是说明流体旋转强弱的一种运动参量。 旋转运动：是对流体质点所组成的微团而言。当流体质点以大小均等、方向一致的速度流动时，流体微团不会旋转。当流体质点的速度不等时，不管流动的方向是否一致，流体的微团均有旋转运动。 定义式：，环量(角速度)说明： 旋度是矢量。 判断流动是否有旋的依据。二维 第二节 连续性方程质量传输过程：物质的传递与转移过程，它是动量传输的基础，质量传输就是质量平衡。质量平衡或物质平衡 ( 质量守恒 ) 的含义：流体流过一定空间时，流体的总质量不变，两种情况： 稳定流动： 物质的流入量 = 物质的流出量 （3-2） (A) 不稳定流动： 物质的流入量 - 物质的流出量 = 物质的蓄积量 （3-2） (B)建立质量平衡方程的方法：元体平衡法（微元控制体）。当流入量与流出量相等，即空间无物质蓄积时，为稳定流动，否则为不稳定流动。 在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为dx、dy、dz，如图3-1： 单位时间内流过A面、B面的流体质量：A： B： 或x方向：流入量与流出量之差为 (1)同理y方向：流入量与流出量之差为 (2)z方向：流入量与流出量之差为 (3)总的流入量与流出量之差为(1) + (2) + (3)公式（3-2）的右边：流入的流体使流体微团的质量发生变化，分析： 单位时间内元体质量的蓄积：质量在单位时间内的变化，即 按质量平衡(B)得：在直角坐标系中： 可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。讨论：稳定流动时 即 可压缩流体、稳定流动的连续性方程对不可压缩流体，=常数：则 不可压缩流体的连续性方程，流体作为连续介质是否连续分布的条件。管流：由无数流管组成，根据质量守恒定律，则稳定流动、可压缩流体的一维管流连续性方程。则稳定流动、不可压缩流体的一维管流连续性方程。一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个不可压缩流体运动的一个基本规律）结论：稳定流动的管流流体流过任一截面的体积流量()或质量流量不变补充： 在柱坐标系连续性方程可表示为： 当为常量的不可压缩流体，可简化为： 例3-1 已知速度场Vx=6（x+y2），Vy=2y+z3，Vz=x+y+4z；试分析此流场是否存在？ 解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程 第三节 理想流体动量传输方程欧拉方程理想流体：指无粘性的流体。 虽然实际流体均有一定的粘性，但处理某些流动问题时，可以近似的视为理想流体。 如：1）在流场中速度梯度很小时，流体虽然有粘性，但粘性力的作用不大。 2）简单流动中的阻力，可以先假定为理想流体进行解析，而后再对流体粘性造成的能量损失给以补正。 对粘度=0的无粘性流体简化得到理想流体的动量平衡方程，即欧拉方程。 在直角坐标系统中： 作用在某一流体块或微元体积的力可分为两大类：表面力、质量力或体积力。表面力：作用于流体块外界面的力，如压力和切应力。质量力：直接作用在流体块中各质点的非接触力，如重力与惯性力等。质量力与受力流体上承受的质量成正比，也叫体积力。单位质量流体上承受的质量力称为单位质量力mnA在流体流场中取一个微元六面体：边长为：dx,dy,dz，微元体积中心A（x,y,z）处的静压力为P，流速沿各坐标轴的分量分别为：vx,vy,vz，密度为在X轴方向：压力P：M点压力：其中为压力P沿着X轴的变化率或称为压力梯度。由于m点相对中心A点只有（）的位移量，故m点相对于A点的压力变化量为，因此m点的压力为同理可得：n点的压力为质量力F的作用：设单位质量力在x轴的分量为X，则微元体的质量力在x轴的分量根据牛顿第二定律（F=ma），作用在微元六面体的诸力在任一轴投影的代数和应等于该微元六面体的质量与该轴上分加速度的乘积。于是对于x轴即有：欧拉方程等式两边除以微元体质量，则单位质量流体运动方程为：同理：Y轴与Z轴的单位质量流体运动方程分别为： ；上式即为理想流体的动量平衡方程（即欧拉方程）说明：欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。适用于可压缩及不可压缩理想流体的稳定或非稳定流。由第一节，在直角坐标系中，x,y,z三个坐标轴方向的加速度分量为 上式代入欧拉方程可得这就是详细的欧拉运动方程！第四节 实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）粘性流体动量平衡方程，表达了流体流动条件下的动量及作用力之间的平衡与转换关系，为流体在运动中能量守恒的特征关系式。描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。 以公式表示为： 系统的动量收支差量+系统其它作用力总和 =系统的动量蓄积 （3-10） 对于稳定流动系统，不存在动量蓄积，（3-10）式中的等号右边为0。 粘性流体的动量传输有两种基本方式： 由流体粘性所引起的物性动量传输； 在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。 一、推导： 作用在微元体六面体除了在推导欧拉方程中的压力与质量力外，还有因粘性产生的剪切力，法向力除了压力与质量力产生的，还有由于剪切变形而引起的附加法向力，各个方向的切向应力有：，和（脚注：前一个字母表示受力面垂直的轴，后一个字母表示和应力指向相平行的轴。）设微元体中心的坐标为x,y,z，其应力为，则垂直于x轴的AB面的应力为：x轴的ABCD面的应力法向应力： （x方向）切向应力： （y方向） （z方向）垂直于y轴的ADEH面上应力为：y轴的ADE面的应力（y方向）（z方向）（x方向）垂直于z轴的CDGH面上应力为：z轴的cdgh面的应力（z方向）（x方向）（y方向）其它三个面应力如图所示，由牛顿第二定律：可沿x方向写出如下方程：上式两边各项除以 dxdydz，整理可得：式3-32同理： 由粘性动量通量与变形率之间的关系：，以及法向力与压力P关系，可进一步对上式进行推导：沿X方向的动量传输方程：对于不可压缩流体，根据连续性方程，则上式变为：又因为：，得：同理： 由拉普拉斯（Laplace）运算子可得：； ； （式3-34）或： （为压力梯度）实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体的动量传输方程，N-S方程。（牛顿粘度定律另一种表达形式）当质量加速度=压力（）+粘滞力（）+质量力（）（本章主要采用一般力学推导出实际流体的运动方程，也可以用动量传输的角度出发来推导）如果流体是无粘性的，即等于零，则式3-34可简化为欧拉方程：欧拉方程 ；第五节 理想流体和实际流体的伯努利方程一 理想流体的伯努利方程本节主要讨论理想流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式伯努利方程，它表述了运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律，是流体动力学的重要理论。积分是在下述条件下进行的：（1）单位质量力（X，Y，Z）是定常而有势的，势函数的全积分是：（2）流体是不可压缩的，即（3）流体运动是稳定流的，即：，且流线与迹线重合，也即对流线来讲，符合，由欧拉方程：欧拉方程 ；将各方程分别乘以dx,dy,dz，然后相加可得： （式3-35）因为：因此式（3-35）变为： 又因为， （式3-37 ）将（式3-37）沿流线积分：得 （C=const）（式3-38），此式即理想流体运动微分方程的伯努利积分。说明了在有势质量力的作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，函数值（）是沿流线不变的。 因此，如沿同一流线，取相距一定距离的任意两点1与2，可得，式中1与2表示在某一条流线上的1点与或2处的势能、压力与流速。2 实际工程中的伯努利方程 当作用在流体上的质量力只有重力时（即实际工程问题），X=0，Y=0，Z=-g（重力加速度），则势函数W的全微分为：则（式3-38）简化后，由则上式变为：（式3-40）对处在同一流线的任意两点1和2来说，式3-40也可改写为：这表示对于只有重力场作用的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线的运动方程式的积分形式，也称为伯努利方程式（Bernoulli equation）。流线上的任何点的。3. 实际(粘性)流体的伯努利方程在实际流体中我们只讨论有势质量力作用下实际流体（粘性流体）的运动微分方程的积分问题。由实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体的动量传输方程，N-S方程：； ；（式3-34） 如果流体是定常流动，流体质点沿流线运动的微元长度dl在各轴上的投影分别为dx,dy,dz，而且，将式（3-34）的各个方程分别对应乘以dx,dy,dz，然后相加可得： （式3-43）由N-S方程可知：，为单位质量粘性流体所受切向应力在相应轴上的投影。因此（式3-43）中的为这些切应力在流线微元体长度dl上所作的功，又因为由于粘性而产生的这些切向应力的合力总是与流体运动方向相反的，故所作的功应为负功。因此（式3-43）中的可表示为（式3-44），式中为阻力功； 将（式3-44）代入（式3-43）可得：，沿流线积分可得：（式3-45），此式即为实际流体运动微分方程的伯努利积分。它表明：在质量力为有势，且作定常流动的情况下函数值是沿着流线不变的。如在同一流线上取1和2点，则当质量力只有重力时，则，代入上式 式中为单位质量粘性流体自点1运动到点2的过程中内摩擦力所作的功的增量，其值总是随着路程的增加而增加的。令表示单位质量的粘性流体沿流线从点1到点2的路程所接受的摩擦阻力功（或摩擦阻力损失）则上式可写为：或（粘性流体运动的伯努利方程）4 伯努利方程的几何意义与物理意义（实际流体微小流束的伯努利方程）一、物理意义（能量意义） 与静力学基本方程对照讲理想流体的束伯努利方程中的三项分别表示单位重量流体的三种不同形式的能量。Z比位能；（单位质量流体经该项点时所具有的位置势能）比压能；（单位质量流体流经该点时所具有的压力能）比动能；（单位质量流体流经该点时所具有的动能）比势能；总比能。 由伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的。对于粘性流体，单位质量粘性流体沿着流线运动，不但各项能量能相互转化，且它的总机械能也是有损失的。图3.6.1理想流体伯努利方程的几何意义二、几何意义z位置水头；曲线AB位置水头线；压强水头；曲线CD测压管水头线。速度水头。直线EF总水头线。图3.7.1实际流体伯努利方程的几何意义理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远是相等的。如果用H表示各项水头之和，即总水头，则 伯努利方程写为H=常数或 实际流体伯努利方程式的几何意义：根据“粘性流体运动的伯努利方程”绘出的实际流体总流的几何图形，可以看出，在粘性流体运动中，因为形成水头损失，故：即沿着流向总水头必然降低，所以其总水头线是一条沿流向向下倾斜的曲线。上述的所建立的伯努利方程均属于实际流体微小流束的伯努利方程。5、实际流体总流的伯努利方程区别：微小流束：很小，在同一上，各流体质点的、等物理量可以看作是相同的;总流：A为有限大，在同一A上，各流体质点的、等物理量之值变化较大。微小流束总流 急变流和缓变流急变流流线的曲率半径r很小， 图3.7.2急变流与缓变流图3.7.3 缓变流断面流线之间的夹角很大的流动。 缓变流流线的曲率半r无限大，流线之间的夹角无限小，即流线接近于平行直线流动。在缓变流段中，过水断面上压强的分布遵循重力场中流体静力学规律，即 （证明略）所以，应将伯努利方程中的过水断面取在缓变流段中。在不同的缓变流过水断面上有不同的常数值，即 实际流体总流的伯努利方程讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程总流的缓变流断面上实际流体总流的伯努利方程。 假定：流体是不可压缩的实际流体，并且作定常流动，其中任一微小流束的伯努利方程为 单位重量流体能量的变化关系。如图所示，假设单位时间内流过微小流束断面11和22的流体重量为dQ ，用dQ乘上式各项，得其能量关系为又根据