二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论(三稿).doc

二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论幸克坚 （遵义师范学院贵州遵义）摘要：非数学专业常微分方程中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。但在非数学专业使用的不少高等数学教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，使学生不易于理解和接受。本文是针对上述问题，在对非数学专业学生的教学中，引导学生就特解的求法所进行的分析和讨论。关键词： 常系数 线性 微分方程 特解 讨论中图分类号：O171 文献标识码：E 文章编号：1009-3583（2004）03-00 On Special Solution to 二阶常系数Linear 非齐次Differential Coefficient EquationXin Kejian( Zunyi Normal College Zunyi Guizhou 563002 )Abstract: In “Differential Coefficient Equation” for non-mathematics majors, 二阶常系数linear differential coefficient equation is generally taught as an individual module. However, in the textbook “Advanced Mathematics”, introduction to special solutions is often sudden and incomplete, which is not easy for students to understand. This essay is to guide students to analyze special solutions on the above-mentioned problem.Key words: 常系数 linear differential coefficient equation special solutions debate一、问题的提出“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的常微分方程教材中已得到较完美的解决，但由于专业所限，非数学专业高等数学内容中常微分方程不可能系统介绍，往往只是将“二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。一般是先求出二阶常系数线性齐次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程： （1）的一个特解，最后按照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通解。这两个环节比较而言，难点在第二步求非齐次方程的特解。虽然非数学专业的高等数学侧重于应用而不在于推导，但鉴于数学教育的目的不单纯是为了介绍数学知识点作为工具，而应潜移默化的进行逻辑思维的训练。所以，知识点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。而见诸于教材市场以及各种渠道的非数学专业使用的高等数学教材以及各种教案、教学辅导之类材料中，特解的引入常常比较突然并且不够完整，知识点较为零散，让学生无法理解和接受，难以形成清晰完整收稿日期：2004-11-作者简介：幸克坚（1954-），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究的印象。如一篇高等数学教案中一段为：二阶常系数非齐次线形微分方程常见的两种形式及其解为：“1、型如果，则二阶常系数非齐次线形微分方程（1）具有形如 （4）的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线形微分方程，但要注意（4）式中的是特征方程含根的重复次数（即若不是特征方程的根，取为0，若是特征方程的重根，取为）2、型如果，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设为 ， （5）其中、 是次多项式，= , ，而按不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（5）式中的是特征方程中含根的重复次数。”结论来得相当突然，学生根本无法理解，只能机械的“接受”和死记硬背。又如笔者使用的这本教材中也仅从一个十分具体的例子：例1、求方程 (2) (3) (4)的特解来引出。很突然地用：“我们设想方程（2）具有一次式形式的特解： ；显然，一次式不是方程（3）的解，设想它的特解为： ；显然，不是方程（4）的解，设想它的特解为：”，最后又说：“情况是这样的：方程（2）对应的特征方程无零根；方程（3）对应的特征方程以零为单根；方程（4）对应的特征方程以零为重根”。之后就依据这一具体例子，给 “二阶常系数线性微分方程”的整个求解问题作了结论，显得比较玄乎和片面。这样取材和讲解，很容易产生下列疑问：仅用一个系数这么简单的具体例子能得出可靠的普遍结论吗？方程的解的这三种设法是通过什么思路得到的？ 除了这三种形式之外是否还应该有更为普遍的其它形式？ 解的这三种形式与特征方程有无零根的联系如何体现？产生了上述疑问，学生就不能真正理解，也无法形成清晰完整的印象。为了避免这种不良结果，笔者在教学中，针对非数学专业学生的具体情况，引导学生结合教材所介绍的知识点，就特解的求法问题进行了如下的分析和讨论，较好地解答或澄清了上述问题。 二、特解的求法分析讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为： (1)其中y项的系数为1，p、q为常数，f(x)为初等函数。因此， y 、y、y也只能是初等函数。而且能作为初等函数的微商或导函数出现的最常见的是多项式函数、三角函数和指数函数。所以，f(x)=ax+b、f(x)=asinx(或f(x)=acosx)、f(x)=aebx（注：这三种函数本来比较简单，从适用范围来说有一定的局限性，但本教材只介绍如此）是最简单而常见的情况，我们就着重讨论f(x)的这三种形式。（一）首先考虑：中为一般的非零多项式的情形：设非零多项式的次数为，并设为（1）的解。因为（1）式右边为非零多项式，所以左边也必为非零多项式，而初等函数中有且仅有多项式函数的微商才为多项式，所以也必为非零多项式：不失一般，设，并设的次数为。下面分别根据（1）中系数情况来讨论与之间的关系：根据 中系数有下列三种不同情况：1） 当0时(1)为：。因为方程右边的次数为，将代入左边，由于的次数为，的次数为m1，的次数为m2，所以，方程左边的次数为max，1，2= ，应与方程右边的次数相等。即： =；2） 当=0而0时(1)为： 。此时，方程右边的次数仍为，将代入左边后方程左边的次数为max1，2= 1，所以有： 1=n，即=+1；3） 当p=q=0时(1)为： 。此时，方程右边的次数仍为，将代入左边后方程左边的次数为2，此时即： 2=，即=+2；这就是（1）中为非零多项式时得出的特解y*与次数的关系。如果为一次多项式时即，的次数为=1，即若仍设为（1）的特解：1） 当0时(1)为： ，由上面的分析，的次数，故可设)为一次多项式，将代入（1）式并比较系数得（1）特解为： 2）当=0而0时(1)为： ，由上面的分析，的次数=+1=1+1=2， 故可设为二次多项式将代入（1）并比较系数得（1）特解为： 3）=0时，同理可设代入（1）并比较系数得（1）特解为： 以上三种情况体现在特征方程：中，正好就是与特征方程的根的三种情况，即得如下结论：1） 当时， 不是特征方程的根，方程特解为一次多项式：；2） 当而时，是特征方程的单根， 方程特解为二次多项式：；3） 当时， 是特征方程的重根， 方程特解为三次多项式：；并且，特解中待定系数、可以由原方程的系数、唯一确定（至于为什么不设为二次和三次式的一般形式，可留给学生自己思索）。（二）其次考虑：中 (或)的情形： 即： （不失一般，取即可）因为复角“”的正、余弦函数的微商（或导数）仍然是复角“”的正、余弦函数，并且、与中与总是交替出现的。因此，要使方程的特解代入原方程后等式成立，应该形如： 将代入原方程求导整理并比较系数得： 所以当且时，特解中待定系数、可以由原方程的系数、通过关系式： = =唯一确定。而p=0与q2=0正好与：（i）2+p（i）+q=0 等价，即 i 是特征方程：2+p+q=0 的根所以，当i 不是特征方程 2+p+q=0 的根时，原方程的特解由原方程的系数p、q、a、通过上式唯一确定。但当i 是特征方程： 2+p+q=0 的根时，p=0与q2=0，此时，若再设： y*= cosx+sinx将无法确定 、之值。考虑到这一结果正好是由 “cosx+sinx”及其微商导致的，故可参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑试设： y*= （cosx+sinx）x则： （y*）= （cosx+sinx）x）=（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）（y*）=（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）=（2cosx 2sinx）x+2（sinx+cosx）代入原方程整理后比较系数，并考虑到p=0与q2=0，得：2+ p = ap+2=0由此二式解得： = = 所以，当i 是特征方程：2+p+q=0 的根时，、可由原方程的系数通过上式得出。综上所述，对于：y+py+qy= asinx 形式的非齐次方程，其特解为：1） 当i 不是特征方程 2+p+q=0 的根时，则原方程的特解是：y*= cosx+sinx，其中、由原方程的系数p、q、a、通过 ： = = 唯一确定。2） 当i 是特征方程：2+p+q=0 的根时，原方程的特解是：y*= （cosx+sinx）x，其中、可由原方程的系数通过： = = 唯一确定。（三）最后考虑： y+py+qy=f(x) 中f(x)=aebx 即 y+py+qy=aebx的情形： 由于ebx的各阶微商均为ebx的常数倍，所以，方程y+py+qy=aebx 的特解也应该形如： y*=ebx将其代入原方程求导整理并约去ebx（0）得： （b2+ pb + q）= a所以，当 b2+ pb + q0，即 b 不是特征方程： 2+p+q=0 的根时， =方程的特解为： y*=ebx=ebx而当b2+ pb + q=0，即b是特征方程2+p+q=0的根时，由此式不能确定的值，但若仍参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑试设： y*=xebx 代入原方程求导整理并比较系数得： b2+ pb + q=0 且 (2b+ p)=a前一式说明b是特征方程： 2+p+q=0 的根，于是，在2b+ p0，即b只是特征方程 2+p+q=0的单根，而不是重根的情况下有： = 即原方程的特解为：y*=xebx = xebx在2b+ p=0，即b是特征方程2+p+q=0的重根的情况下，由上式无法确定之值，但也参照f(x)为多项式时的情形，可考虑试设 y*=x2ebx 代入原方程求导整理得：= 即原方程的特解为：y*=x2ebx = x2ebx综上所述，在f(x)=aebx的情况下：1） 若b 不是特征方程 2+p+q=0 的根，则特解为： y*=ebx=ebx2） 若b 是特征方程 2+p+q=0 的单根，则特解为： y*=xebx = xebx3） 若b 是特征方程 2+p+q=0 的重根，则特解为： y*=x2ebx = x2ebx以上讨论，只是局限于笔者所使用这本教材介绍的知识点来进行的，其中所取的三种形式都比较简单，如果学生仅限于这三种形式，使用中将会不太方便。作为对这个问题解决得比较好的教材，是同济大学高等数学教材，就：1、与2、两种形式作了比较详尽的推导，不象上述“教案”一样只是突然引入结论。有兴趣的学生可以参考此教材。笔者认为，鉴于非数学专业学生数学基础特别是数学思维习惯较之数学专业的学生要差一些，不在理论推导上严格要求是合理的，但正因为如此，更有必