（基础数学专业论文）jacobsonwitt代数的不可约表示.pdf

摘要 本文利用一般线性群的多项式表示分解理论，来讨论了j a c o b s o n w i t t 代数的不 可约表示在j a c o b s o n 娟t t 代数w ( n ) 的阶化结构下，证明了它的次数小于等于 p 亿的阶化子空间可以做不可约g 仰) 的多项式表示分解并主要研究了具有高 度小于等于p + 1 一竹的p 特征函数骼当x 的秩等于l 时，w ( 3 ) 的不可约模的维数 以及同构类个数问题 关键词限制李代数；c a n a n 型李代数；对偶模；超可解李代数；诱导模； 么 幂群 a b s t r a c t i l lt l l i sp a p e r ，w em a i n l yu s e dp o l y n o r n j a lr c i ) r e s e n a t i o n sd e c o m p o s i t i o n l e o 巧o f g e n e r a ll i n e a r 擎d u pt oc o n c e mi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n so fj a c o b s o n - w i na l g e b r a u n - d e rt h eg r a d e dc o n s t n l c t i o n0 fj a c o b s o n - w i t ta j g e b m ，w eh a v ep r o v e dt l l a ti t sg r a d e d s u b s p a c eo fd e g r e el e s sm a np 一礼 c a nb ed e c o m p o s e di n l 【0t w di n e d u c i b l e g l ( 亿) m o d u l e s w em a i n l y 比s e a h e dd i m e n s i o n sa n dc l a s s e so fi 玎e d u c i b l em o d u l e so f ( 3 ) w i t l lp - c h 翻治c 侄譬xa n dr a r 出( x ) e q u a lt o1 k e yw b r d s ：g e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b m ； c a r t a nt y p el i ea l g e b r a ；d u a im o d u l e ； s u p e r s o l v a b l el i ca l g e b r a ； i n d u c e dm o d u l e ； u n n p o t e n tg r o u p 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究威 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文 在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 导师签名： 日期：塑坠吐日期：二硷吐7 第一章引言弟一早ji 卣 c a r c a n 型限制单李代数包含四个系列的李代数，分别为w ( n ) ，s ( n ) ，h ( 2 n ) ，k ( 2 n + 1 ) 在1 9 8 8 年，r b l o c k 和r w i l s o n ( 【1 2 】) 证明了当代数闭域的特征p 7 时，所有有限 维单李代数或者为与复数域上有限维单李代数同型的典型型，或者为c a f t a n 型后来 a p r c l n c t 和h s t r a d e 证明了p = 7 时结论也是成立的当p 5 时，有限维的单限 制李代数分为两类：典型李代数和c a n a n 型李代数 1 9 4 1 年，张禾瑞最先研究了w i t t 代数( 1 ；量) 的表示( 【l 】) ，完全解决了w ( 1 ；量) 的不可约表示的分类上世纪八十年代，沈光宇系统地研究了阶化c a n 趾型李代数 x ( n ；碘) ，x = 彬s 日的阶化模和滤过模( 【3 】，【4 】，【5 1 ) 沈光宇完全解决了阶化 例外权单模，并且证明了所有阶化非例外权单模都是诱导模( 【5 】) 1 9 9 4 年胡乃红在 文【1 5 ，1 6 】中确定了k ( m ；n ) 的阶化不可约模和滤过不可约模在沈光宇阶化模和滤 过模系列研究的基础上，2 0 0 l 到2 0 0 3 年间h 0 l m e s 和张朝文研究了阶化c a i t a n 型限 制李代数的高度不超过l 的不可约表示，证明了在这种情形下，所有非例外权单模都 是诱导模( 【6 】和【7 】) 在d 范畴里，s i 町a b i n 证明了平行于沈光宇上世纪八十年代 得到的关于阶化单模的结论但c a i t 锄型李代数的不可约表示尚缺乏系统有效的研 究方法最近，j 锄t z 胁和他的学生也对于秩2 的w i t t 代数进行了研究( 【1 0 ) 受此启 发，我们试图从研究j a c o b s o n w i t t 代数( n ) 的一类不可约表示入手，探究系统的 研究方法本文为这一研究目标，获得了初步但有意义的信息我们的出发点是：当 考虑李代数的阶化结构，每一个次数小于等于p 一礼的阶化空间可以分解成g 三( 死) 不可约多项式表示的直和从而将这个观察反应到对应的p 特征函数x 所控制的不 可约表示中去最后，对于( 3 ) ，x 的秩是l 的情况，文中给出了例子说明我们的不 可约表示的方法和理论 本文的结构安排如下：第二章回顾了阶化c a n a l l 型w i t t 代数( 死) 的定义和 基本性质在第三章中，对于0 n 2 1j a c o b s o n w i t t 李代数 设口= 恤l ，口2 ，q n ) ，p = ( p l ，侥，风) 嚣，如果s 屈( r e s p 口 屈) ， 1 i n ，贝0 记为a p ( r e s p q 励；如果q p ( r e s p q p ) ，但a ， 则记为q p ) 设既= k 阢，局，】( 砰，霹，弼) ，这里 k l ，恐，】是关于竹个变量墨，恐，瓦的多项式环，五在玩中的像 记为对于q = ( q 1 ，砚，a n ) n ，记护= 1 霹2 ”设j ( 扎) = 8 = ( q l ，q 2 ，q 再) n l o q t 1 ( 风) 闷口= ( a 1 ，毗，a n ) ，( 礼) ，定义= q 1 + q 2 + + 口n 则所有的护( q j ( n ) ) 且= i 形成了( 鼠) 【 】的一组k 一基当i n 白一1 ) 时， ( 鼠) 旧= o ，鼠上的阶化性诱导出了彬( 托) 上的阶化性： 缈( n ) 嘲= k s p o n z n 功ii a l = t + 1 ，j = 1 ，2 ，礼) ( 佗) = o 兽 一1w ( n ) 【i 】是一个阶化的限制李代数对所有的s 一1 ，记( n ) 。= o ； 。w ( 礼) 脚是一个结合于此阶化的滤过 3 华东师范大学硕士论文 j a c o b s o n w i l t 代数的不可约表示 2 2j a c o b s 佃w i t t 李代数彬( 佗) 上的自同构 我们知道，由于) 的中心为o ，所以李代数缈( n ) 上的自同构是限制自同 构对于任何a u t k 一“g ( 目) ，诱导出了李代数w ( 礼) 上的自同构：( d ) = o d o 一1 ，v d w ( 馆) = d e r k ( 岛) 引理2 1 f 参见f j 3 d 当p 5 盹_ 哪是从a m t k 一幽( 昂) 到a u t ( ( n ) ) 上的群 同构 命题2 1 设d = 竺i 五聩w ( n ) ，这里五b 拜，且设咖a u k 一8 1 9 ( 取) 我们有 啾d ) = 宴喜附( 咄一础硝) 掣( 州，础) 既 = 1l = l 。 证明：对于主= 1 ，2 ，n ，我们有 卯扣舢州刊喜五掣) ， 这说明 ( d ) ( 列= 砉删( “一似训) 掣( 似1 ) ，砸枷 j = l 这样我们就证明了 口 触) ) 掣( 俐，讹) ) a ! ； 设否= a u k 岛，m = l ，z 2 ，z n ) 是风的唯一极大理想其中玩= o l ( 鼠) 嘲 ，巧是b n 的次数为l 的齐次元对于妒否，我们有妒( m ) = m ，所以我们记成： ( 1 ) 这里k ，五( 玩) 2 ，v 蟊歹这样容易证明9 ：否一g l ( n ) ，9 ( 妒) = ( ) 是一 个群同构反之，对于给定的矩阵( 唧t ) g 五m ) ，五( 鼠) 2 ，必定存在妒否满 足( 1 ) 式设g l ：= 妒否i 妒( 甄) 甄( 鼠) 2 2 ，) 则有以下正合列成立： 1 _ g l g _ m ) 一1 ( 2 ) 4 z n m n： i i d 叮 n 乏 1 | i 五 十 巧 n 似 = 戤妒 华东师范大学硕士论文j a c o b s o n w i t t 代数的不可约表示 并且对于任何的( ) g ，只要取五= o ，就有相应的妒满足( 1 ) 式所以( 2 ) 式又 是分裂的即否= g 己( 礼) g 1 其中g 乞( 竹) 可以等同于否的一个子群，记作： g 三( 凡) = d a u t ( 风) 1 9 ( ( 风) 川) = ( 鼠) c 日，) 根据引理2 1 以及命题2 1 ，有以下分 解成立：a u t ( ( n ) ) = g 三( n ) ka u t ( ( n ) ) ，其中 g l ) = g a u t ( w ( n ) ) i 夕( 彬( n ) 【 1 ) = ( n ) 嘲，1 i 扎) ， 由引理2 1 知，g 己 ) 是a u t ( ( 扎) ) 的一个子群，并且 a u r ( 厂( n ) ) = 9 a u t ( i 矿( n ) ) i 夕( d ) 一d 1 肜( 礼) + 1 ，v d l 矿( n ) i ，t ) ， 这样对于任何的夕a u t ( ( n ) ) ，有9 ( 彤) i ) = w ( n ) ，l l n 成立 注记2 1 我们定义高度函数艇：w ( n ) 一 一1 ，0 ，n 一1 ) 一1 ) ，对于x 加) 事， 坟= 嘲死【s 一1 l x ( 如) 。) = o ，并且无坟是a u t ( ( 托) ) 的不变量 注记2 2 本文我们考虑w ( 礼) 上的g ( n ) 表示 5 第三章j a c o b s o n - w i t t 代数彬( 仡) 的齐次空间的分解 设k 阻，恐，】是关于死个变量的多项式环对于g l ( 礼) 中的每个元素 定义了k 阻，磁，】上的自同构如下： ：f ；兰j ；荨1 g 。n ， l 口n 2 啦l 牡 ，( x l ，恐，k ) = ，( 口l l 五+ 0 2 1 恐+ + 1 矗，a 1 2 x 1 + n 2 2 咒+ + 0 ，1 2 ，o l 竹墨+ 0 2 n 恐+ + o 肌) 记= ，( 五，砬，) l ，是次数为m 的齐次多项式) ，则是k 【x l ，凰，赫】 的g ) 的子模 n 记= ( n ) ，则嘶。一1 1 = k z 口皿，并且v 一1 】是g l ( 佗) 模令l ，= i = l ，i l = 。 k 一号m 佗【现i l i 礼) 设 则 ，o l l n 1 2 i ，l 口2 l a 2 2 2i ；三1 ：a g 三。死， n n la ，圪c l 腓 l 。 ，6 1 1 0 1 2 i 一：l 6 2 1b 2 2 i l k 。k 2 6 1 n k k n 我们规定上的g 三( 几) 表示如下：矽( d l ，d 2 ，队) = ( d l ，d 2 ，队) ( a _ 1 ) 。 即 岛= 毛1 d 1 + 屯2 d 2 + + n 风= ( d 1 ，d 2 ，队) ( 1 ，6 j 2 ，如n ) 2 6 华东师范大学硕士论文j a c o b n - w i t t 代数的不可约表示 我们有以下模同构成立： 定理3 1 当o s p 时，我们有g l ( 礼) 模同构：w 。一l 】竺eo y 证明：令 皿：吼一l l _ 忍固z ， z 口b _ 墨1 嚣砧圆岛，1 j n 其中护= z z 挚z 著，戤为x 在风中的像，当o s p 时，鼢= 咒我们证明 皿为g 三( 死) 同构 霍( ( 护岛) ) = 皿( 唧( 矿d j ) ) = 霍( ( 矿岛) 旷1 ) = 霍( ( 矿) ( b ) - 1 ) = ( 护) o ( 岛) 1 而我们知道： ( d j ) 一1 ( x t ，恐，) = ( d j ) ( 墨，咒，) a _ 1 = ( d j ) ( b l l 墨+ 幻l 恐+ + k 1 1 2 x 1 + 恐 + + k ，6 l 竹五+ k 恐+ + k ) = ( t ，幻2 ，幻n ) = ( 如，2 ，如n ) 所以， 妒( 马) 一1 = 6 j 1 d l + 2 d 2 + b n 队 = ( d 1 ，见，d n ) ( 幻1 ，以2 ，吩n ) 。 = 功 即有霍( ( z a 功) ) = ( z a ) o 马口 对于g = g l ( n ) ，我们有由所有的非奇异对角阵组成的典范极大环面t ，以及 由所有么幂上三角阵组成的典范么幂群矿记t 的李代数为b ，定义b 上的线性函 数岛，对于任意的a = 出n 夕【n 1 ，o n 】，毛( a ) = 醌，1 z n 7 华东师范大学硕士论文j a c o b n w i t t 代数的不可约表示 引理3 1 设0 s p + 1 一佗，我们有以下不可约g 三( n ) 模分解：eq 型 y ( s s l 一n ) oy ( ( s 1 ) e 1 ) 证明：当o s p + l n 时，忍是具有最高权s s l 的不可约g l ( n ) 模，l ，是具 有最高权一霸的不可约g l ( 礼) 模，所以e 圆y 竺y ( s 9 1 ) oy ( 一n ) ! ( y ( s 1 ) 圆 y g l + 2 + + 一1 ) ) 圆y ( 一g l + 2 + + ) ) 皇( y ( s + 1 ) s l + 2 + + g n 一1 ) o y ( s 1 + 2 + + e n ) ) oy ( 一( e 1 + e 2 + + s n ) ) 2y ( s e l 一n ) oy ( ( s 1 ) e 1 ) ( 以 上的同构是【g 0 0 d m a n w a l l a c h ，c o m ，7 1 6 ，o r5 ( d ) i ne x 7 1 4 】的一个应用) 根据引理3 1 以及定理3 1 我们有以下结论成立： 定理3 2 设o s p + 1 一n ，w ，一1 】= 矿皿，则作为一个g 工( n ) l a i = 8 j = l ，2 ，n 橇一l 】可以被分解成两个不可约模和k 的直和其中：= y ( s g l 一霸) = g ( z 队) ，k ：= y ( ( s 1 ) 1 ) = g ( ：lz ：- 1 戤d i ) ，这里g ( z i 队) 表示由z 队生成 的g l ( n ) 子模；g ( 竺lz i 1 戤皿) 表示由：lz ；- 1 瓤现生成的g l ( n ) 子模 则=(；兰薹)对每一个g玩具有如下形式： a = 1 口1 20 1 3 n 1 n 一1 o l n 0 1 口2 3 眈m ln 2 n 001 0 3 n 一1n 3 n o00 1 一1 n 0oo 11 8 华东师范大学硕士论文j a c o b n w i t t 代数的不可约表示 a l = b ： 1 6 1 26 1 3 6 1 j l 一1 01 6 2 3 6 2 n l 001 口3 开一1 000 000 l 6 l n 6 2 n n 3 n k l ，靠 1 我f 】知道g ( z 1 ，z 2 ，z n ) = ( z l ，现，z n ) a ，夕( z 口) = ( g z l ) n 1 ( g z 2 ) a ：( 9 z n ) 9 。t ，= = z i - 1 z i 一1 戤皿) = g ( z 1 ) 8 1夕( 积) 9 ( 眈) t = 1 ( ( z - ，z n ) a ) ( ( d t ，现，玩) ( b t ) t 礼 z 双，z n ) = z i 一1 ( z l ，z 2 ， 注意到a b = e ，即 a ( ( ) t ) 2 ( d l ，d 2 ，队) a i ( ( b 。) i ) 。) ( d 1 ，d 2 ，风) e=ca-，a2，an，(；至至差)= 9 u = z i 一1 ( z 1 ，现， a ( ( ) t ) 。 扛= 1 ，。n ) ( d l ，晚，d n ) 。= 钉 9 绍汹 “ ：n ：i ，k、l ， z 第四章 彬( 3 ) 的不可约表示 4 1 不可约模的诱导 以下我们考虑m 3 的情形，即秩3 的j a c o b s 。n w i t t 代数，我们仍然记： 彬( 3 ) ，则缈的基元素为e u 肼= z i 砖历，并且定义基元素的一个序如下：( t ，歹，忌，z ，) ： ( i ，只凫，z ) 或者 ( 1 ) f + + i + 歹+ 七或者 ( 2 ) 如果i + + 七= i + j + 尼，z z 或者 ( 3 ) 如果i + 歹+ 愚= i 十歹+ 危，r ：z ，蓄 i ，或者 ( 4 ) 如果一十歹7 + 尼= 苫+ 歹+ ，r = z ，l2 7 ，歹 歹7 则有e i ，l ，甜 我们考虑咝一l j 的不可约子模h = g ( d b ) ，m 具有一组基如下： 必= 建一d l ，o i s = i z r 卜。毋1 d l 一( s + 1 一主一歹) z i 一。z ；毫d 2 ， 0 l s + 1 ，0 i j s + 1 日矗= ( s 十1 一i 一歹) z ；一。吐现一歹z r l 一。z ；一，d 1 ， 0 i s + 1 ，0 歹 s 十l ， 并且有以下结果： 【e l 0 0 3 ，必】= 一珏沪i f e 0 1 0 3 ，必】= 0 一i ) 必+ l e 0 0 1 3 ，必】= ( s i ) 舰 【e 1 0 0 2 ，必】= 尬 【e 0 1 0 2 ，必j = 必 【e 0 0 1 2 ，舰j = i 舰一1 f e l o o l ，必】= 必 1 0 华东师范大学硕士论文j a c o b s o n w i t t 代数的不可约表示 【e 0 1 0 1 ，尬】= 0 【e 0 0 1 l ，舰】= o e 1 0 0 3 ，岛】_ 歹g j l 一1 ( 3 2 一z 一歹) 0 g ，歹一l + i 飓一l j ) 【e 0 1 0 3 ，g 巧】= j ( 毛+ 1 j 一1 一上岛 f e o o 3 ，劬】= 歹 【e l 2 ，g 巧】= i g i l j 【e o l ，瓯】= 0 1 ) g 嵇 e 1 2 ，吼】= l g “j + 1 e l 0 0 1 ，g 岛】= ( s + 1 一t 一歹) g 矗 f e 0 1 0 1 ，g 舒】= ( s + 1 一i 一歹) g 件l j 【e 1 l ，g 巧1 = ( s + l i j ) g t j + l 【e 1 0 0 3 ，】= j 甄j l 【e o l 0 3 ，】= j 皿+ l j l 【e 0 0 1 3 ，如】= u 一1 ) 勘 【e 1 0 0 2 ，嘞1 = i 皿一l j 一1 ( s 2 一i 一歹) o g j l + i 甄一l j ) f e 0 1 0 2 ，耳 【e 1 2 ，如 【e 1 1 ， 【e 0 1 0 l ，如 = t 月舀 = i 皿一1 j + 1 + = ( s t 一歹) 如= 【s o 一，j 爿嵇 = ( s + 1 一i j ) 风+ 1 j 【e 0 0 1 1 ，刀0 】= ( s + 1 一i j ) 皿j + l 不可约子模k = g ( z i d l + z i - 1 2 2 d 2 + z i 一1 2 3 岛) ，k 上具有一组基如下： = z ；+ 2 一一j 茁 1 舌1d 1 + z ，卜扣j z ；qd 2 + z 1 - 。j z 1 羁d 3 1 z ，歹8 且i + 歹s + 1 并且有以下结果： 【e 1 0 0 3 ，j = u 1 ) m j l 【e 0 1 0 3 ，】= 0 1 ) + l j l ( e 0 0 1 3 ，】- 0 1 ) 【e 1 0 0 2 ，】= “一1 ) m 一1 j 11 华东师范大学硕士论文j a c o b s o n w i t t 代数的不可约表示 【e 0 1 0 2 ，场】= ( t 一1 ) 【e 0 0 1 2 ，y 匆】= ( i 一1 ) x 一1 j + l 【e 1 0 0 1 ，1 = ( s + 1 一i 一歹) 【e 0 1 0 l ，】= ( s + 1 一i 一歹) m + 1 j 【e 0 0 1 1 ，】= ( s + l i j ) k j + l 由上面我们可以看到k 和k 都是蚧l 模规定的一个序如下：如果i + 歹 f + 歹则 巧，；如果i + j = ，十歹且歹 歹则埯 巧根据定理3 2 ， w 1 - o ，则睇一1 】- 嵋。嵋设x w 。，x ( ) = o ，x ( ) o 先做如 下假设：设 t x = s p ，夕= ，矿= 矾一1 ，则x ( p ，卅) = o ，设b = s t ( x ，盯) = z 9 l x ( 【z ，川) = o ，则b = w ，1o z v 听o 】i ) ( ( f z ，v 一1 1 】) = o ) = v nq z i x ( k ，k 】) = o 引理4 1 f 参见，j j d 设是不可约巩( b ) 槐满足钞t ，= x ( 秒) 钉，吼钉，m 是氓 ) 圆畋( 9 ，) 的9 子模，则存在一个的b 子模x ，满足：m n ( 1 ) 茹l o x 且m 皇氓( 夕) 圆巩( 矿) x 如果m 是不可约巩( 夕) 模，定义m x = m m i z m = x ) m ，v 2 盯 引理4 2 f 参见，j 7 j 办如果m 是不可约氓( 夕) 槐m x 0 ，则m 型酞( 夕) 圆皈( 矿) m x 且m x 是不可约巩( b ) 橇 证明：设夕模同态妒：氓( 9 ) o 皈( 9 ，) m x 叫m ：zo 口_ z 口，z 氓( 夕) ，钉m x 因为m x o 且m 是不可约模，所以妒是满的而k 盯妒是巩( 9 ) 酞( 矿) m x 的9 子模，且k e 7 妒n ( 1o 彬) = o 由引理4 1 知，舭7 妒= o ，所以妒是同构且因为m 不可约，即氓 ) 。酞( 矿) m x 是不可约，显然m x 是不可约酞( b ) 模 由引理4 2 ，我们得到： 推论4 1 r 参见，j 7 j 力m 是不可约酞( 9 ) 模，m x 0 ，是不可约氓( b ) 模，x o ，则我们有不可约酞( 夕) 模同构类与不可约氓( b ) 模同构类之间的一一对应? m m x 与一畋( g ) 魄( 勺，) x 证明：设m 是不可约巩( 夕) 模且m x o 则由引理4 2 知，m x 是不可约氓( 1 ，) 模， 并且m 竺畋( 夕) 氓( 矿) ( 彬) ，反之，若是不可约巩( 白) 模，则由x 也是氓( i ) 7 ) 1 华东师范大学硕士论文j a c o b s 。w i t t 代数的不可约表示 模，知= x 设m = 氓( 9 ) o 酞( 矿) ( ) ，由引理4 1 知，m 是不可约氓( 夕) 模对于 v z 盯，z ( 1 圆x ) = ( z 1 ) 圆x + lq ( z x ) = x ( z ) ( 1o x ) ，所以l 圆x = 1 圆c 彬由引理4 1 知，m 竺酞国) o 皈( 矿) ( 膨) ，这样d i m ( 1 固) = d i m m x ，因 此m x = 1 圆2 当1 s p 时，张朝文已经在s i m p l em o d u l e sf o rt l l er e s t r i c t e dc a r t a i lt y p el i e a l g e b r a s 这篇文章中研究了不可约氓( w ) 模可以通过不可约巩( ) 模诱导得到 根据以前的讨论，我们就可以得到不可约氓( 妇7 ) 模到不可约氓( ) 模的诱导 4 2 形( 3 ) 的秩1 的不可约表示 我们引入超可解的概念 定义4 1 域k 上的有限维李代数是超可解的：如果存在一个l 上的一个理想链 o = 如c 工lc 如c c 厶= 三满足v 1 j 死，岛易一l 是一维的。 以下总假设是域上的超可解的限制李代数，且可以写成环面t 和p 幂零 的理想的直和，即厶= r o 以对于线性型a p ，a ( ) = 0 可以定义一个一维的 二模j 厶，对于z z 秒以秒j 厶，z t ，= a ( z ) 秽，暑，t ，一a ( 秒) = o 引理4 3 r 参见，j ，j 力设e 是任意的不可约巩( l ) 槐对于满足以下条件的线性函数 a 矿：入( u ) = o ，入( 嘲) = 入( ) p ，v e 则每一个e 圆耳甄是不可约巩( 己) 模， 并且任意的不可约氓( 己) 模均同构于曰 k 甄这一形式 证明：设，是不可约巩( l ) 模定义对偶模嵋如下：( z ，) ( m ) = 一，( z m ) 这样 w 具有p 特征一x 而且wo k 变成了一个具有p 特征一x + ) ( = 0 的l 模，结 构如下：z ( ，o 忱) = z ，圆口2 + ，oz 耽这样h o m k ( ，) 竺wq k 是一个非 零的( 己) 模既然h o m k ( ，k ) 是有限维的，则它包含一个同构于虬的不可约 限制表示，这里a ( 嘲) = a ( 危) p ， ea 0 ) = o ，z 以由于h o m ( kp 以，) 竺 ( o 虬) 4 圆k 竺磁 wqk 竺磁 h 0 m ( ，) ，这样同构于姣圆虬的 平凡一维模就包含在h o m k ( ho k 虬，k ) 中这说明h o m 耳( 圆k 风，) o 由于的是不可约的巩) 模，所以k 圆k 甄也是不可约的由不可约性知道 1 3 华东师范大学硕士论文j a c o b n - w i t t 代数的不可约表示 o k 虬2k 口 设e 是不可约的巩) 模令 三麓= 入三+ l 入( u ) = o ，入( 危嘲) = 入( 矗) p ，v h t 如果f ：= 垅m k l 则丁具有基 l ，危2 ，且醇= 乜，设入己。，则入l 的 充要条件是入( ) = o ，入( ) 昂，主= 1 ，2 ，z 所以l l l = ，这样不可约巩( ) 模的同构类的个数小于等于 我们把上述理论应用到w ：= w ( 3 ) 上以下总假设x 彤，i l t ( x ) = s ，x ( k ) = o ，x ( k ) o ，我们定义x 的秩为一1 】中x 值全部非零的线性无关元的最大个数， 即 定义4 2 翮七( x ) = 珊髓pl 饥，忱，珥一l l 线性无关，且满足x 他) o ) 则易证r a 】咄( ) ( ) 是g l ( 3 ) 不变量，此时称的x 约化表示为秩r 的表示，这里 r = 啪k ( x ) 取b 中一元素e = 。l e l 0 0 3 + a 2 e 0 1 0 3 + 如e 0 0 1 3 + a 4 e l 2 + o 1 0 2 + 口6 e 0 d 1 2 + n 7 e 1 0 0 l + 0 8 e o l o l + 0 9 e o o l l ， 即v 1 is5 ，1 歹s ，z + 歹s + 1 ， x ( 【n l e l 0 0 3 + 口2 e 0 1 0 3 + 0 3 e 0 0 1 3 + q 4 e 1 0 0 2 + 0 5 e o l 0 2 + n 6 e 0 0 1 2 + 0 7 e 1 0 0 l + 0 8 e o l 0 1 + d 9 e o o l l ，】) = 口1 0 一1 ) x ( j 一1 ) + 8 2 0 一1 ) x ( k + 1 j 一1 ) + a 3 0 1 ) ) ( ( x j ) + 口4 0 一1 ) x ( k l j ) + 0 5 “一1 ) x ( k j ) + n 6 “一1 ) x ( k l j + 1 ) + 0 7 ( 8 + 1 一i j ) x ( k j ) + 0 8 ( s + l t 一 歹) x ( m + l ，j ) + 0 9 ( s + 1 一i 一歹) x ( j + 1 ) = 0 下面是满足这种删【l k ( x ) = 1 的典范情况： ( 1 ) 了2 s 一1 ，s ) ( ( k ，1 ) 0 ，对于其余的i ，j ，有x ( ) = o ， 则有b 7 = 尼e 0 0 1 3 + 尼e 0 0 1 2 + 南e 0 0 1 l + e 0 1 0 2 + 南7 e 1 0 0 1o ，1 ，o 一1 ) + 后7 ( s i ) = 0 ，v2 i s 一1 ( 2 ) j2 i s 一1 ，2 j s 一1 ，且i + 歹 s + 1 ，s t ) ( ( ，1 ) o ，对于其余的i ，歹， 华东师范大学硕士论文 j a c o b s o n w i t t 代数的不可约表示 有x ( ) = o ，则有b = e 1 3 + e 0 1 0 2 + 岛e l 1o 胍，玩o 1 ) + 忌5 ( t 一1 ) + b ( s + 1 一t j ) = o ，v2 t s l ，2 歹s 一1 ，i + j s + 1 根据前面的讨论，我们得出以下结论： 定理4 1 设3 s p l ，g = g l ( 3 ) ，则弘g x ，x 如f j ) ，不可约氓p ( w ) 模的 维数是相同的，不可约模的同构类小于等于p 个 证明：当3 s p 一1 时，前面( 1 ) 中的齐次方程组 一1 ) 蚝+ ( s 1 ) 惫7 = o ，2 i s 一1 的系数矩阵的秩为2 ，所以只有零解，即乜= 岛= 0 从而b = 尼e 1 3 + 忌e 1 2 + 七e 0 0 no 肌此时按照w ( 3 ) 上基的排序方式，以及【，】c 坼钾1 ，可以容易证 明b 7 是超可解李代数，根据引理4 3 ，不可约巩p ( b ) 模的维数是相同的，从而诱导 得到的不可约巩弘( ) 模维数也相同根据前面的说明，不可约巩p ( b ) 模的同构类 的个数小于等于，z = d i m 互t 是b7 的环面当b = 尼e 1 3 + 七e 1 2 + 忍e 1 lo 肌 时，2 = 1 ，不可约巩p ( b 7 ) 模的同构类的个数小于等于p 个，所以不可约氓肛( ) 模 的同构类的个数也小于等于p 个 定理4 2 设4 s p 一1 ，g = g l ( 3 ) ，则l g x ，x 如f 2 ，不可约酞p ( ) 模的 维数是相同的，不可约模的同构类只有一个 证明：当4 s p 一1 时，前面( 2 ) 中的齐次方程组0 1 ) 乜+ g 一1 ) + ( s + l t j ) 幻= 0 ，v2 t s l ，2 j s 一1 ，i + j s + l 的系数矩阵的秩为3 ，所以 只有零解，即乜= 如= b = o ，从而b 7 = w i 此时按照( 3 ) 上基的排序方式，b 是超可解李代数，根据引理4 3 ，不可约巩p ( 白) 模的维数是相同的，从而诱导得到的 不可约巩p ( ) 模维数也相同根据前面的说明，不可约巩p ( b ) 模的同构类的个数 小于等于，l = d i m lt 是b 7 的环面当b = 肌时，：= o ，不可约氓肛( b ) 模的同 构类的个数只有一个，所以不可约巩p ( ) 模的同构类的个数也只有一个口 1 5 参考文献 【1 】c i l a n gh 阻j i l i u 胁慨出忱一r 帕p ，a b h m a ms e m u n i v h a m b 盯g1 4 ( 1 9 4 1 ) ，1 5l 1 8 4 【2 】b e n k a ng m ，国砌挎鲥6 口珞如船拥伽口纭p 参m ，万翻咖务黟，u ea l g e b r a sa n dr e l a t e d t 0 p i c s ，c m sc o n f 妒0 c5 ( 1 9 8 6 ) ，1 5 7 1 8 7 【3 1s h e ng 啦n g - y u ，g r n 如dm o 匆站占巧g m 妇d 玩a 培已6 膦巧c 口砌万巧f ，s c i e n t i c as i n i c a 2 9 ( 1 9 8 6 ) ，5 7 m 5 8 1 【4 】s h e ng u 锄g - y u ，g 口d 钳m 础厶酷可g m d 甜以e 口培幻脚谚c a 砌no ，p 岛口，s c i e n t i c as i n i c a 2 9 ( 1 9 8 6 ) ，1 0 0 9 - 1 0 1 9 【5 】s h e ng u a n g y h ，g 朋如dm 伪妇如j 万g 阳d 耐l 拓口培幻l ，均塔矿c 钮，细万句咿c 仍，c h i n e a n n m a t l l s e r b9 ( 1 9 8 8 ) 4 0 4 4 1 7 【6 】h o l m e sr r ，脚如m d 砌如sw f 咖曲口甩c 耙厂 p 堙时a fm d 时d n p 扣r 船旭腑f p dw 所口堙口一 6 嬲s ，j a l g e b r a2 3 7n o 2 ( 2 0 0 1 ) ，4 4 6 9 口】h 0 1 m e sr r 锄dc h a a w e nz h a n g ，孵曲矽缸掰p 如k s 扣r 加彤s f 疵纪dc 矗，绍万卯p 改 口纭p 6 删，j 0 u m a lo f p u r e 锄da p p l i e da l g e b 豫1 7 3 ( 2 0 0 2 ) ，1 3 5 一1 6 5 【8 】w i l s o nr l ，a “幼，l d 伊i l 幻邶万g 朋如dl 据口培西膦矿c 钮疗鲫o 妒p ，c 0 m m a l g e b m3n o 7 ( 1 9 7 5 ) 5 9 l 一6 1 3 【9 】j a l l t z e n ，脚朋饥幻砌访矿咖已研甜砌叩6 翮口冶p 6 r 口j 伽p 砌圮c 妇馏魄胁比，伽ki n ”r n l e 6 t hi n t e m a t i o n a lc o n f e 陀n c eo nr