第2章 机器人学的基础理论 (一).ppt

第2章机器人学的基础理论 一 2 1刚体的位姿描述2 2齐次坐标与齐次变换2 3机器人的位姿分析2 4机器人正向运动学和逆向运动学 2 1刚体的位姿描述2 1 1刚体的旋转运动 2 1刚体的位姿描述2 1 2旋转矩阵的性质 B相对于A的旋转矩阵Rab 满足6个约束方程 因此3个独立变量决定一个旋转运动 2 1刚体的位姿描述2 1 3旋转矩阵 算子 相乘法则 相对于固定坐标系进行运动变换时 旋转变换的顺序从右到左 相对于运动坐标系进行运动变换时 旋转变换的顺序从左到右 矩阵相乘运算不满足交换率 2 1刚体的位姿描述2 1 4欧拉角的旋转矩阵 ZYZ欧拉角 在初始时刻 坐标系A和B重合 坐标系B首先绕A的Z轴旋转 角 形成新的坐标系A 坐标系B首先绕A 的Y轴旋转 角 形成新的坐标系A 坐标系B首先绕A 的Z轴旋转角 达到B的最终状态 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 1齐次坐标 一 空间任意点的坐标表示在选定的直角坐标系 A 中 空间任一点P的位置可以用3 1的位置矢量AP表示 其左上标表示选定的坐标系 A 此时有 式中 PX PY PZ是点P在坐标系 A 中的三个位置坐标分量 如图1 1所示 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 1齐次坐标 一 空间任意点的坐标表示 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 1齐次坐标 二 齐次坐标表示将一个n维空间的点用n 1维坐标表示 则该n 1维坐标即为n维坐标的齐次坐标 取w为比例因子 当取w 1时 其表示方法称为齐次坐标的规格化形式 即 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 1齐次坐标 三 坐标轴的方向表示 w 0 向量w 0 标量 原点o如何表示 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 1齐次坐标 三 坐标轴的方向表示例1 1用齐次坐标表示图1 3中所示的矢量u v w的坐标方向 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 在机器人坐标系中运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系 简称静系 跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系 简称为动系 动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示 是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述 何为位置 何为姿态 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 一 连杆的位姿表示O X Y Z 为与连杆固接的一个动坐标系位置 姿态 N XO YA Z 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 一 连杆的位姿表示连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 图1 5表示固连于连杆的坐标系 B 位于OB点 XB 2 YB 1 ZB 0 在XOY平面内 坐标系 B 相对固定坐标系 A 有一个30 的偏转 试写出表示连杆位姿的坐标系 B 的4 4矩阵表达式 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 noap 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 二 手部的位姿表示机器人手部的位置和姿态可以用固连于手部的坐标系 B 的位姿来表示 取手部的中心点为原点OB 关节轴为ZB轴 ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量 指向朝外 两手指的连线为YB轴 YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量 指向可任意选定 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 二 手部的位姿表示关节轴为ZB轴 ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量 指向朝外 两手指的连线为YB轴 YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量 指向可任意选定 XB轴与YB轴及ZB轴垂直 XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量 且n o a 指向符合右手法则 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 二 手部的位姿表示 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 三 目标物齐次矩阵表示 例 图1 8楔块Q的齐次矩阵表示 1让楔块绕Z轴旋转 90 用Rot Z 90 表示2再沿X轴方向平移4 用Trans 4 0 0 表示 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 2动系的位姿表示 若让楔块绕Z轴旋转 90 用Rot Z 90 表示 再沿X轴方向平移4 用Trans 4 0 0 表示 则楔块成为图1 8 b 所示的情况 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 旋转的齐次变换如图所示 空间某一点A 坐标为 XA YA ZA 当它绕Z轴旋转 角后至A 坐标为 XA YA ZA A 点和A点的坐标关系为 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 旋转的齐次变换Rot Z 表示齐次坐标变换时绕Z轴的转动齐次变换矩阵 又称旋转算子 旋转算子左乘表示相对于固定坐标系进行变换 旋转算子的内容为 绕X轴 Y轴如何 见P36 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 旋转的齐次变换算子左 右乘规则若相对固定坐标系进行变换 则算子左乘 若相对动坐标系进行变换 则算子右乘 例1 4已知坐标系中点U的位置矢量U 7321 将此点绕Z轴旋转90 再绕Y轴旋转90 如图1 11所示 求旋转变换后所得的点W 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 1 2 1旋转的齐次变换例1 4已知坐标系中点U的位置矢量U 7321 将此点绕Z轴旋转90 再绕Y轴旋转90 如图1 11所示 求旋转变换后所得的点W 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 平移的齐次变换 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 复合变换平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中 称为复合变换例1 7如图1 8所示的楔块Q 试求楔块经过绕固定坐标系OXYZ的Z轴旋转 90 再沿X轴方向平移4后的齐次矩阵表达式及其复合变换矩阵H 2 2齐次坐标与齐次变换2 2 3齐次变换 复合变换例1 7 2 3机器人的位姿分析2 3 1杆件坐标系的建立 一 坐标系号的分配方法 由低到高 各连杆的坐标系Z轴方向与关节轴线重合 对于移动关节 Z轴线沿此关节移动方向 2 3机器人的位姿分析2 3 1杆件坐标系的建立 二 各坐标系的方位的确定D H方法 由Denauit和Hartenbery于1956年提出 它严格定义了每个坐标系的坐标轴 并对连杆和关节定义了4个参数 转动关节的D H坐标系 2 3机器人的位姿分析2 3 1杆件坐标系的建立 二 各坐标系的方位的确定转动关节的D H坐标系 Zi坐标轴 Xi坐标轴 Yi坐标轴 连杆长度ai 连杆扭角 i 两连杆距离di 两杆夹角 i 2 3机器人的位姿分析2 3 1杆件坐标系的建立 解释图 2 3机器人的位姿分析2 3 1杆件坐标系的建立 Zi坐标轴 沿着i 1关节的运动轴 Xi坐标轴 沿着Zi和Zi 1的公法线 指向离开Zi 1轴的方向 Yi坐标轴 按右手直角坐标系法则制定 连杆长度ai Zi和Zi 1两轴心线的公法线长度 连杆扭角 i Zi和Zi 1两轴心线的夹角 两连杆距离di 相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离 两杆夹角 i Xi和Xi 1两坐标轴的夹角 2 3机器人的位姿分析2 3 2杆件坐标系间的变换矩阵 建立D H坐标系后 可通过两个旋转 两个平移建立相邻连杆i 1和i间的相对关系 绕Zi 1轴转 i角 使Xi 1转到与Xi同一平面内 沿Zi 1轴平移di 把Xi 1移到与Xi同一直线上 沿i轴平移ai 1 把连杆i 1的坐标系移到使其原点与连杆i的坐标系原点重合的位置 绕Xi 1轴转 i角 使Zi 1转到与Zi同一直线上 这四个齐次变换形成的矩阵叫Ai矩阵 Ai 2 3机器人的位姿分析2 3 2杆件坐标系间的变换矩阵 对旋转关节 Ai Rot Z i Trans ai 0 di Rot X i 2 3机器人的位姿分析2 3 2杆件坐标系间的变换矩阵 对棱柱关节其变换过程 课后作为练习题 Ai 2 4机器人运动学机器人手部到基坐标系的变换 Ai能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的齐次变换 A1描述第一个连杆对于机身的位姿 A2描述第二个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系的位姿 如果已知一点在最末一个坐标系 如n坐标系 的坐标 要把它表示成前一个坐标系 如n 1 的坐标 那么齐次坐标变换矩阵为An 依此类推 可知此点到基础坐标系的齐次坐标变换矩阵为 A A1A2A3 An 1An 2 4机器人运动学2 4 1斯坦福机器人运动方程 斯坦福机器人由球面坐标臂和手腕组成 由于各关节轴线彼此正交 可以将各杆件坐标系的X轴都安排在同一方向 暂不计终端操作装置的位移 STANFORD机器人操作机 机构运动简图 坐标系设置 2 4机器人运动学2 4 1斯坦福机器人运动方程 表1 1斯坦福机器人的D H参数 2 4机器人运动学2 4 1斯坦福机器人运动方程 2 4机器人运动学2 4 1斯坦福机器人运动方程 2 4机器人运动学2 4 2机器人逆向运动学逆问题的引出 对于具有n个自由度的操作臂 其运动学方程可以写成 上式左边表示末端连杆相对于基础坐标系的位姿 给定末端连杆的位姿计算相应关节变量的过程叫做运动学逆解 A1A2A3A4A5A6 一 多解性 2 4机器人运动学2 4 2机器人逆向运动学逆问题的引出 图1 20机器人运动学逆解多解性示意图 2 4机器人运动学2 4 2逆向运动学的解 运动学逆解具有多解的原因 解反三角函数方程 对于一个真实的机器人 只有一组解与实际情况对应 为此必须做出判断 以选择合适的解 通常采用剔除多余解的方法 1 根据关节运动空间来选择合适的解 2 选择一个最接近的解 3 根据避障要求选择合适的解 4 逐级剔除多余解 2 4机器人运动学2 4 2逆向运动学的解 二 可解性能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人的可解性问题 所有具有转动和移动关节的机器人系统 在一个单一串联链中共有6个自由度 或小于6个自由度 时是可解的 其通解是数值解 不是解析表达式 是利用数值迭代原理求解得到的 其计算量比求解析解大得多 2 4机器人运动学2 4 2逆向运动学的解 二 可解性能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人的可解性问题 所有具有转动和移动关节的机器人系统 在一个单一串联链中共有6个自由度 或小于6个自由度 时是可解的 其通解是数值解 不是解析表达式 是利用数值迭代原理求解得到的 其计算量比求解析解大得多 2 4机器人运动学2 4 3逆向运动学求解实例 斯坦福机器人逆运动学求解1 求 1 AT6 A2A3A4A5A6 1T6 1 27 T6 A1A2A3A4A5A6 2 4机器人运动学2 4 3逆向运动学求解实例 斯坦福机器人逆运动学求解 式中 f11 i c 1iX s 1iY f12 i iZ f13 i s 1iX c 1iY i n o a 1T6 A2A3A4A5A6 2 4机器人运动学2 4 3逆向运动学求解实例 斯坦福机器人逆运动学求解 2 4机器人运动学2 4 3逆向运动学求解实例 斯坦福机器人逆运动学求解 式中 正 负号对应的两个解对应于 1的两个可能解 2 4机器人运动学2 4 4机器人前3杆的结构形式 解析解的存在性与机器人的结构有关 1968年pieper提出使逆运动学有解的一个充分条件 若一个6自由度机器人的后三个关节的轴线始终将于一点 则此机器人的逆运动学问题必有解析解 基于以上充分条件 现在几乎所有6自由度机器人均设计成使得后3个