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偏微分方程求解方法及其比较 期刊门户-中国期刊网2008-12-11来源:科海故事博览 科教创新2008年第10期供稿文/曹海洋 吕淑娟 王淑芬导读近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看谱方法可分为Fourier方法Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1, 3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1, 4)Legendre-Gauss: xj 是 的零点且 5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是 的N+1个零点且 6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是 的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为： 其中： Jacobi正交多项式满足正交性： 而Chebyshev多项式是令 时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令 时Jacobi多项式的特殊形式。2 几种典型的谱方法谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看谱方法可分为Fourier方法Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法：1） 以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程以一阶波动方程为例： 其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。 故可设 其中 为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中 的共轭 有：其中 从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程PetrovGalerkin谱方法。3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。 5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非周期性傅立叶插值的有限谱法和基于截断傅立叶积分的有限谱法。3 谱方法的几个相关问题 1）谱微分快速逼近函数的微分逼近形式是偏分方程数值解中的一个重要问题, 它某种意义上决定了采用方法的实质。例如常见的差分方法是采用少数几个离散值组合来逼近函数在某点的微分值。离散点与微分估值点的位置是决定差分格式的重要依据。对谱方法, 其情形与差分离散有所不同, 对变量的谱方法微分逼近实质上是决定对应导函数展开序列的系数。一般正交函数均存在3项递推公式，它可以在谱微分逼近中加以利用。但利用3项递推容易出现舍入误差过度积累, 导致计算不稳定, 在涉及坐标变换时该问题显得更为严重。另一种计算谱微分的方法基于拉格朗日核函数 , 该方法主要针对拟谱方法。其关键是如何在一个简单的微分矩阵(三对角或者五对角等稀疏情形) 基础上控制计算误差。微分逼近在基于样条函数的PDE 配置方法以及观测数据导函数逼近中经常出现。2）快速多极方法快速多极方法(FMM ) 是目前较新的一种快速方法, 起源于多体问题模拟, 目前已被较广泛应用到工程计算加速中。基于拉格朗日核函数的序列估值及微分估值都可以使用FMM , FMM 还可用于球谐谱计算中对勒让德变换的加速。FFT 只适用于离散点等距的情况, 而在谱方法计算中大多数情况的离散点是不等距的, 特别是在复杂几何解域谱计算问题中, 此时FMM 可以作为FFT 的替代。FMM 的计算复杂度和FFT 在量级上相同, 但增加了一个很大的比例系数。4 结论谱方法的计算量大大超过了有限差分和有限 元方法, 由于计算机速度的限制, 谱方法的研究与应用曾一度处于低谷。近年来, 在计算机技术、区域分解技术和应用需求的共同推动下, 关于谱方法的研究和应用逐渐升温。 目前, 谱方法计算的大量研究和应用集中在谱元素方法、多域拟谱方法及其预条件和并行计算。由于基于区域分解的谱方法在并行计算中具有很小的通信计算比, 特别适合于粗粒度分布式并行计算。随着谱方法计算研究的深入基于区域分解的谱方法在科学计算中的地位将显得愈来愈重要。参考文献1向新民.谱方法的数值分析.北京，科学出版社，20002Wang J P.Non-periodic fourier transform and limite spectral method. 3任宗修. SRLW方程的Chebyshev拟谱方法. 工程数学学报，1995，12(2)：34-404余德浩.汤华中. 微分方程数值解法. 科学出版社5张理论.李晓梅. 谱方法数值计算研究进展. 指挥技术学院学报, 2001偏微分方程百科名片 图例如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。目录偏微分方程简介 偏微分方程的起源 偏微分方程的内容 偏微分方程目录 1. 第1章 一阶标量拟线性方程 2. 第2章 一阶拟线性方程组 3. 第3章 二阶标量方程引论 4. 第4章 双曲型方程 5. 第5章 椭圆型方程 6. 第6章 抛物型方程 7. 第7章 自由边值问题 8. 第8章 非拟线性方程 9. 第9章 杂记新版图书信息 内容简介 图书目录偏微分方程简介 偏微分方程的起源 偏微分方程的内容 偏微分方程目录 1. 第1章 一阶标量拟线性方程 2. 第2章 一阶拟线性方程组 3. 第3章 二阶标量方程引论 4. 第4章 双曲型方程 5. 第5章 椭圆型方程 6. 第6章 抛物型方程 7. 第7章 自由边值问题 8. 第8章 非拟线性方程 9. 第9章 杂记新版图书信息 内容简介 图书目录展开编辑本段偏微分方程简介在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已 偏微分方程经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 编辑本段偏微分方程的起源微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二 偏微分方程阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作论动力学中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了热的解析理论，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。 编辑本段偏微分方程的内容偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以 偏微分方程介绍。 弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。 弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。 用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。 偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。 拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。 天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。 就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。 当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。 在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。 求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。 偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。 应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 解法：1，首先变为标准型，看是哪种类型，如椭圆型，双曲型。抛物型。 2，归结为四大基本方程：波动，热传导，传输， 3。按其解法解决 编辑本段偏微分方程目录第二版序 第一版序 引言 第1章 一阶标量拟线性方程1.1 引言 1.2 Cauchy数据 1.3 特征线 1.3.1 线性方程和半线性方程 1.4 定义域和破裂 1.5 拟线性方程 1.6 间断解 1.7 弱解 1.8 多自变量 1.9 附录 习题 第2章 一阶拟线性方程组2.1 动机与模型 2.2 Cauchy数据和特征线 2.3 Cauchy-Kowalevskaja定理 2.4 双曲性 2.4.1 22方程组 2.4.2 n维方程组 2.4.3 例子 2.5 弱解和激波 2.5.1 因果律 2.5.2 黏性和熵 2.5.3 其他不连续性 2.6 具有多于两个自变量的方程组 习题 第3章 二阶标量方程引论3.1 绪论 3.2 半线性方程的Cauchy问题 3.3 特征线 3.4 半线性方程的标准型 3.4.1 双曲型方程 3.4.2 椭圆型方程 3.4.3 抛物型方程 3.5 一些一般注记 习题 第4章 双曲型方程4.1 引言 4.2 线性方程：cauchy问题的解 4.2.1 Riemann函数的特定求法 4.2.2 Riemann函数的基本原理 4.2.3 Riemann函数表达式的含义 4.3 无Cauchy数据的波动方程 4.3.1 强间断的边界数据 4.4 变换和特征函数展开 4.5 对波动方程的应用 4.5.1 一维空间的波动方程 4.5.2 圆和球对称性 4.5.3 电报方程 4.5.4 周期介质中的波 4.5.5 一般注记 4.6 多于两个自变量的波动方程 4.6.1 降维法和Huygens原理 4.6.2 双曲性和类时性 4.7 高阶方程组 4.7.1 线性弹性力学 4.7.2 Maxwell电磁波方程组 4.8 非线性性 4.8.1 简单波 4.8.2 速度图方法 4.8.3 Liouville方程 4.8.4 另一种方法 习题 第5章 椭圆型方程5.1 模型 5.1.1 万有引力 5.1.2 电磁场 5.1.3 热传导 5.1.4 力学 5.1.5 声学 5.1.6 机翼理论与断裂 5.2 适定的边界数据 5.2.1 Laplace方程和Poisson方程 5.2.2 更一般的椭圆型方程 5.3 最大值原理 5.4 变分原理 5.5 Green函数 5.5.1 经典函数公式 5.5.2 广义函数公式 5.6 Green函数的显式表达式 5.6.1 Laplace方程与Poisson方程 5.6.2 Helmholtz方程 5.6.3 修正Helmholtz方程 5.7 Green函数，特征函数展开与变换 5.7.1 特征值与特征函数 5.7.2 Green函数与变换 5.8 椭圆型方程的变换解 5.8.1 柱坐标对称下的Laplace方程：Hankel变换 5.8.2 楔形几何形状内的：Laplace方程；Mellin变换 5.8.3 Helmholtz方程 5.8.4 高阶问题 5.9 复变量方法 5.9.1 共形映射 5.9.2 Riemann-Hilbert问题 5.9.3 混合边值问题和奇异积分方程 5.9.4 Wiener-Hopf方法 5.9.5 奇异性和指标 5.10 局部化边界数据 5.11 非线性问题 5.11.1 非线性模型 5.11.2 存在性和唯一性 5.11.3 独立参数和奇异行为 5.12 再论Liouville方程 5.13 后记：2或者? 习题 第6章 抛物型方程前言 6.1 扩散过程的线性模型 6.1.1 热量和质量的传递 6.1.2 概率与金融 6.1.3 电磁学 6.1.4 一般注记 6.2 初一边值条件 6.3 极值原理和适定性 6.3.1 强极值原理 6.4 Green函数和热传导方程的变换方法 6.4.1 Green函数：一般注记 6.4.2 无边界热传导方程的Green函数 6.4.3 边值问题 6.4.4 对流一扩散问题 6.5 相似解和群 6.5.1 常微分方程 6.5.2 偏微分方程 6.5.3 一般注记 6.6 非线性方程 6.6.1 模型 6.6.2 理论注记 6.6.3 相似解与行波 6.6.4 比较方法与极值原理 6.6.5 破裂 6.7 高阶方程和方程组 6.7.1 高阶标量问题 6.7.2 高阶方程组 习题 第7章 自由边值问题7.1 引言与模型 7.1.1 Stefan问题及相关问题 7.1.2 扩散中的其他自由边值问题 7.1.3 力学中的某些自由边值问题 7.2 稳定性和适定性 7.2.1 表面重力波 7.2.2 涡片 7.2.3 HeleShaw流 7.2.4 激波 7.3 经典解 7.3.1 比较方法 7.3.2 能量方程与守恒量 7.3.3 Green函数方法与积分方程 7.4 弱解和变分方法 7.4.1 变分方法 7.4.2 焓方法 7.5 显式解 7.5.1 相似解 7.5.2 复变量方法 7.6 正则化 7.7 后记 习题 第8章 非拟线性方程8.1 引言 8.2 一阶标量方程 8.2.1 两个自变量 8.2.2 更多自变量的情形 8.2.3 短时距方程 8.2.4 特征值问题 8.2.5 色散 8.2.6 次特征 8.3 Hamilton-Jacobi方程和量子力学 8.4 高阶方程 习题 第9章 杂记9.1 引言 9.2 线性方程组重提 9.2.1 线性方程组：Green函数 9.2.2 线性弹性 9.2.3 线性无黏水动力学 9.2.4 波传播的放射条件 9.3 复特征和分类 9.4 有一个实特征的拟线性组 9.4.1 具有电阻发热的热传导 9.4.2 空间电荷 9.4.3 流体动力学：Navier-Stokes方程 9.4.4 无黏流：Euler方程 9.4.5 黏性流 9.5 介质之间的相互作用 9.5.1 流体固体声学相互作用 9.5.2 流体流体重力波相互作用 9.6 规范与不变性 9.7 孤立子 习题 结语 参考文献 索引 编辑本段新版图书信息书 名: 偏微分 方程 作者：孔德兴 出版社： 高等教育出版社 出版时间： 2010年9月1日 ISBN: 9787040304480 开本： 16开 定价: 45.30元 编辑本段内容简介偏微分方程共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。偏微分方程不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。偏微分方程的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。 偏微分方程可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。 编辑本段图书目录第一章 绪论 1 常用符号 2 基本概念 3 一些例子 4 纵览 第二章 一阶方程 1 一个简单线性方程 1.1 解析求解：特征线方法 1.2 近似求解：有限差分方法 2 一类简单拟线性方程 2.1 Burgers方程 2.2 一般情形 2.3 导数的突变和破裂时间 3 拟线性方程的几何理论 4 拟线性方程的Cauchy问题 4.1 Cauchy问题 4.2 局部解的存在性 4.3 解的存在唯一性条件 4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程 4.5 高维情形 4.6 例子 5 一阶偏微分方程组 5.1 一阶线性偏微分方程组 5.2 一阶拟线性偏微分方程组 6 总结与思考 第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程 1 拟线性二阶方程的特征 2 奇性的传播 3 二阶线性方程的标准形 4 一维波动方程 5 总结与思考 第四章 波动方程 1 一维波动方程：方程的导出及定解条件 1.1 方程的导出 2.1 定解条件 2 一维波动方程：Cauchy问题 2.1 叠加原理 2.2 齐次化原理 3 一维波动方程：初边值问题 3.1 分离变量法 3.2 非齐次方程 3.3 非齐次边界条件 4 高维波动方程的Cauchy问题 4.1 高维空间中的波动方程 4.2 定解条件 4.3