构造齿轮与齿条、齿轮之间传动及相应滚刀、插刀设计的数学模型.pdf

2 0 0 8 齿轮行业技术研讨会论文集 构造齿轮与齿条 齿轮之间传动及相应 滚刀 插刀设计的数学模型 付国或 中国第一汽车集团哈尔滨变速箱厂装备部 摘要 本文通过构造数学模型来反应齿轮与齿条 齿轮之间的传动关系 进而引 深到滚刀 插刀的设计原理 该数学模型可以作为运用C A D C A M 技术研究齿轮传动 及其加工刀具的基础模型 数学建模是C A D C A M 的基础工具 同时也是解决齿轮加 工刀具精确设计问题的首选方法 关键词 齿轮传动 滚刀和插刀设计 数学建模 C A D C A M 随着中国基础工业尤其是汽车 船舶和飞机工业的快速发展 齿轮制造行业也 迈向了一个崭新的历史时期 对于齿轮的设计及制造 我国以积累了大量的历史经 验 在本行业的C A D C A M 等前沿领域中 我国虽然还处于起步阶段 但也有相当 数量的高校 研究所 企业等对此展开了较为广泛的研究和探索 为此 笔者也想 通过自己的一点努力 来承担起作为装备技术人员的责任 l 问题提出 以往 齿轮与齿条 齿轮之间的传动及与之相类似的滚刀 插刀加工过程 我 们最早都是通过直观的几何理论和基础数学来认知表述其基本原理和演算相关数 据 和现代化的计算机应用联系的不够紧密 或者说利用率不高 在目前制造业的 高精度 高速度 高自动化程度的要求下 我们迫切需要运用计算机来进行设计和 制造 而C A D C A M 技术的关键 就是运用高等数学来建造数学模型 编辑运算计 算机程序 形成精确的设计 模拟和制造过程 从而快速准确的解决实际问题 当 然 齿轮的C A D C A M 技术是一个及其广泛 复杂的领域 有大量的问题值得研究 下面笔者仅对齿轮与齿条 齿轮之间的传动及与之相类似的滚刀 插刀加工过程的 数学模型进行较为浅显的阐述 2 基本理论 在齿轮 齿条传动时 可以视齿条不动 则齿轮与齿条 齿轮 的相对运动可 归结为齿轮的节圆沿齿条的节线 节圆 作纯滚动 而齿轮齿廓曲线固联在节圆上 随着节圆的运动形成的曲线族包络便是同联在齿条节线上的齿条齿廓曲线 同样的 2 0 0 8 齿轮行业技术研讨会论文集 原理 可以用在理解滚齿加工和插齿加工原理上 3 构造模型 首先建立两个坐标系 如图1 中的q q x y 1 和盯一p x y 依次固联在 齿轮和齿条上 圆q 为节圆 q 为齿条节线 当圆oKY 轴做纯滚动转过口角时 固连在圆0 1 的坐标系盯 随之运动到一个新位置 见图2 中的盯 h x y 这时 固联在圆q 上的曲线在盯 坐标下方程的形式仍如在坐标系q 下一样 但关于固定坐 标系o r 的方程形式改变了 设在图1 中节圆上齿廓曲线在坐标系q 下方程为 f X i x p t y y p 当圆q 沿Y 轴滚过口角后 则如图2 所示 在坐标口下方程为 J x 2 x l c o s 口 Y l s i n 口一尺 2 Y 一一x l s i n a Y l c o s 口一R a 式中R 为节圆半径 若口连续变化 式 2 即为节圆七齿廓曲线在运动中所产生的曲线族 即其包 一8 0 一 2 0 0 8 齿轮j r 业技术研讨会论文集 络 齿条齿廓曲线必须满足 x 2 x l C O S z Y 1 s i n a R y 2 一X I s i n a Y l C O S a R a x o Y 口一X a Y p 2 0 3 对式 2 的两式分别求秒 口的偏导数 在代入式 3 的第三式 便有 X i X II y l Y I R x I c o s a y l s i na 0 对上式两边同除以小而 且令 可得 故有 则齿条齿廓曲线方程为 x 2 x l C O S G y l s i n a R s m 矽 s i n o 口 坐半 口 a r c s i n 壁等业 一缈 y 2 一X 1 s i n a y l C O S 一R a 口 a 矧n x s i n t p y l c o s t p R 缈 式中 矽 8 1 4 蔓 2 0 0 8 齿轮行业技术研讨会论文集 与齿轮传动原理相似的有插齿刀齿形与齿轮的关系 在这类问题中 要求的齿 形可视为固连在已知齿轮的节圆上的齿廓曲线 在其沿要求的齿形固联的节圆上做 纯滚动时所形成的曲线族的包络 Y 厂 乃 V y y始 吣厂 为此 图3 中所示 取两个坐标系盯 p x y 和盯 b x Y 分别固连在捅齿 刀D 和齿轮D l 上 若设在坐标系盯 下齿轮齿廓曲线方程式为 吒 X p y 臼 5 节圆O l 沿节圆D 做纯滚动滚过口角到Q 位置时 如图4 坐标系盯 随之运动 到达仃 D a x Y a 位置 齿廓曲线在坐标系 下方程仍为上式 而写到举标系盯 下的方程式则为 x l O s i n a o t l 一y l p c o s 口I R 尺I c o s 口 x I p c o s 缸 口I 一Y l O s i n a a 1 尺 尺1 s i n s a 其中 盱鲁 则就跟据包络原理 可知插齿刀齿廓曲线为 2 0 0 8 齿轮行q k 技术研讨会论文集 4 结束语 x 一而 O s i n a a 1 一Y 1 p c o s 丘 口1 月 尺l C O S t T t Y 石l O c o s a a 1 一Y l O s i n a a 1 尺 尺1 s i n c r x I p k p y p l y p 一R x O c o s a y p s i n 口 o 尺 口 R l 以上是根据齿轮与齿条 齿轮 I J 的传动关系 以及滚齿 插齿基本原理构造的 数学模型 运用匕面的基础模型 可以根据具体的齿轮齿形 演算出相应的加T 刀 具的齿廓齿形 也是运用C A D C A M 技术解决齿轮传动及齿轮刀具无误差设计