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2011-2012学年下半学期Matlab数学实验报告 学院：经济与金融学院系别：经济学类实验1、水塔水流量的估计第1部分、 实验问题美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量。水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。某个小镇一天的水塔水位数据：某小镇某天的水塔水位记录时间（秒）水位（英尺）时间（秒）水位（英尺）时间（秒）水位（英尺）031.7535932水泵工作6853528.42331631.1039332水泵工作7185427.67663530.543943535.507502126.971061929.944331834.4579154水泵工作1393729.554663633.5082649水泵工作1792128.924995332.678596834.752124028.505393631.568995333.892522327.875725430.819327033.402854327.526057430.123228426.976455429.27第2部分、问题分析通过数据的单位转换，将上表数据单位s , ft转换为单位h , m ，便于计算。时间（h）水位（m）时间（h）水位（m）时间（h）水位（m）09.67699.98水泵工作19.048.66200.929.478810.93水泵工作19.968.43341.849.308110.9510.819920.848.22012.959.125312.0310.499822.01水泵工作3.878.986412.9510.210322.96水泵工作4.988.814413.889.957323.8810.59135.908.686414.989.619024.9910.32927.018.520015.909.390425.9110.17987.938.387716.839.18018.978.220117.948.9211水塔的形状是一个圆柱形，它的横截面面积是一个常数。水泵在不工作的时段，水流量容易通过水位对时间的变化率得到。由于水塔截面积是常数S ,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可。即：水位对时间的变化率(流量):任何时刻的流量: 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到。我们可以先拟合出水位时间的函数，流量就是对其函数的求导结果。第3部分、程序设计1、拟合第1时段的水位，并得出流量设t、h为已输入的时刻和水位测量记录，实现如下：t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.94,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91;h= 9.6769,9.4788,9.3081,9.1253,8.9864,8.8144,8.6864,8.5200,8.3877,8.2201,10.8199,10.4998,10.2103,9.9573,9.6190,9.3904,9.1801,8.9211,8.6620,8.4334,8.2201,10.5913,10.3292,10.1798;f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); b1=polyder(f1); tm1=0:0.01:8.97; g1=-polyval(b1,tm1); 2、拟合第2时段的水位，并得出流量f2=polyfit(t(11:21),h(11:21),5); ;b2=polyder(f2); tm2=10.95:0.01:20.84; g2=-polyval(b2,tm2); 3、拟合供水时段的流量q1=-polyval(b1,7.93,8.97); q2=-polyval(b2,10.95,12.03); dx=7.93,8.97,10.95,12.03;dy=q1,q2; d=polyfit(dx,dy,5) ; ex=8.97:0.01:10.95; ey=polyval(d,ex); dt3=diff(t(22:24); dh3=diff(h(22:24); dht3=-dh3/dt3; t3=19.96,20.84,t(22),t(23); a=-polyval(b2,t3(1:2),dht3); h=polyfit(t3,a,5); mx=20.84:0.01:24.00; my=polyval(h,mx); 4、用水时段流量的检验：计算出的各时刻的流量可用水位记录的数据来检验。用水量V1用第1用水时段水位测量记录中下降高度H1=9.6769-8.2201=1.4568m来计算并检验，在第一用水时段水的实际用量为: V1=S* H1类似地，第二用水时段用去的水的高度H2=10.8199-8.2201=2.5998m,实际用水量为:V2=S* H2让v1、v2与V1、V2比较。5、供水时段流量的检验：供水时段的用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的功率应大致相等。第1、2时段水泵的公率可以计算如下：p1=y12*S+(10.8199-8.2201)*S/2.001; tm3=20.84:0.01:23.88; g3=polyval(h,tm3); p2=(0.01*trapz(my)+(10.8199-8.2201)*S/2.110 计算结果如下表： 第1、2用水时段的（近似）总用水量第1、2用水时段的（实际）总用水量第1供水时段的水泵功率第2供水时段的水泵功率v1=363.0272V1=363.0275p1=376.9397p2=376.6016v2=647.9356V2=647.8756第四部分、问题求解结果与结论一天的总用水量的估计第1、2用水时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。（1）第1用水时间段的用水量：其中积分值 h1 通过梯形公式计算：计算得出（2）第2用水时间段的用水量：计算得出（3）第1供水时间段的用水量：计算得出（4）第2供水和第3用水时段的用水量计算得出（5）一天总用水量实验二一、 实验问题某投资者拟在AB两城市间开设一家汽车租赁公司，租赁者可在两城中的任意城市租借或归还汽车。经试运营调查，在城A租汽车的顾客约有60%在本城归还，而有40%在B城归还；在城B租车的顾客约有70%在本城归还，而有30%在A城归还。（1） 请预测该公司汽车的流向，该公司所拥有的汽车会最终流向期中的一个城市吗？（2） 如果到两城市租赁的人数大致相等，该公司应该怎样运营？二、 问题的分析根据题意，第n次租借与归还完成后与第n+1次租借与归还完成后的A、B两市的汽车总量总是具有一定的关系，即题目中涉及的数量关系。于是可以在此关系的基础上，以递推的方式，通过MATLAB平台得出第n次结束后A、B两市所具有的车辆数，并以此数量对第一题做出判断，并解决第二问所提出的问题。三、 程序设计（1）设第n周A城市的汽车为An,B城市的汽车为Bn。A城市开始时车辆数占总数的t,则B城市占有1-t，故： An+1=0.6An+0.3Bn Bn+1=0.4An+0.7Bn令X=0.6,0.3；0.4,0.7,Yn=An；Bn，Y0=t；1-t，其中t0,1。那么则有Yn+1=AYn=A2Yn-1=An+1Y0,其中n为非负整数。程序：syms n tX=0.6 0.3;0.4 0.7;Y0=t;1-t;P,tzzjz=eig(X);Yn=P*tzzjz.n*inv(P)*Y0（2）因为两市租赁的人数相等，故汽车应平均分配。由第一问可知B市的汽车比A市的汽车多，为保持平衡，设每次结束后从B市向A市调占其总量m的汽车。故有： An+1=0.6An+0.3Bn+m(0.4An+0.7Bn) Bn+1=(1-m)(0.4An+0.7Bn)令U=0.6+0.4m,0.3+0.7m;0.4-0.4m,0.7-0.7m,Wn=An;Bn,W0=1/2,1/2 那么则有Wn+1=UWn=U2Wn-1=Un+1W0,其中n为非负整数。四、问题的求解结果与结论解得Yn = (4/7*(3/10)n+3/7)*t+(-3/7*(3/10)n+3/7)*(1-t) (-4/7*(3/10)n+4/7)*t+(3/7*(3/10)n+4/7)*(1-t)求极限得An=3/7Bn=4/7即不论t为何值，A城的车辆数最终占总数的3/7，B城的车辆