例习题教学中的变式教学——以涂色问题为例.pdf

第 3 3 卷第 5期2 0 1 4年 5月 数学教学研究 6 1 例习题教学中的变式教学 以涂色问题为例 纪宏伟 江苏省如皋高等师范学校2 2 6 5 0 0 摘要 以排列组合 中的难点问题 涂色问题为例 阐释 了例习题教学的变式实践与注意问题 实 践表明 变式教学对于优化课堂教学 提高教学效益具有重要作用 是一个非常有益的教学形式 关键词 例习题 变式教学 涂色问题 中图分类号 G 6 3 3 6 例习题的教学是数学教学中必不可少的 环节 其作用在于加深理解 巩固理论以及培 养技能 技巧等方面 但在实际的课堂上 存 在的一种状况是 教师讲例题 学生仿例题 的公式化的教学 把生动活泼的教 学过程演 化为机械重复的解题操作 这种单纯性地讲 授和简单地套用遏制了学生思维的发展 使 学生学得呆板 学得费力而学习效果并不理 想 一直以来 数学教学中的三多 习题多 练 习多 试卷多 是影响学生课业负担过重的关 键因素 但是题海的背后 达到的不是 生 巧 而是 生厌 学生思维 能力等方面的发 展依旧平平 比如 对于 变脸 的题目 学生 还是感到无从下手 困难重重 在数学知识和 技能等方面 更是无法做到举一反三 触类旁 通 这些说明 在例习题教学中试图逼迫学生 记住题型 公式 结论 要求学生单纯地依赖 模仿和记忆 固化思维定势 是行不通的 教 学实践表明 基本知识和方法技能的掌握需 要一定程度的重复 而提高重复的效果就是 开展变式教学 逐步增强学生的应变能力 培 养其灵活多变的思维品质和寻求变异 勇于 创新的精神 从而把问题解决的能力提高真 正落到实处 1 变式教学的认识 变式 是指教师有 目的 有计划地对命题 进行合理的转化 变式教学是运用不同的知 识和方法 对有关数学概念 定理 习题等进 行不同角度 不同层次 不同背景等多个方面 的变化 使其非本质特征时隐时现而本质特 征保持不变的教学形式 就例习题教学来说 变式教学更加侧重对数学题自身结构 内容 形式 条件 结论 解题思想和方法的调整演 变 引导学生正确辨别 深刻体验其中的变异 性和变式所要反映的实质意义 问题本质 从 而使学生做练习时的思维过程具有合适的梯 度 形成一种有效的思维训练和拓展 在例习题教学中 若将数学题 目进行变 式教学 可以帮助学生理解知识的来龙去脉 及其相互关系 构建知识网络 优化知识结 收稿 日期 2 0 1 4 0 3 0 5 基金项目 江苏省教育科学 十二五 规划课题 基于概念图的教学优化策略研究 课题批准文号 b 2 O 1 3 O 1 O 4 2 作者简介 纪宏伟 男 江苏通州人 硕士学位 研究方向 数学教育 信息技术 E ma i l q i u s u o wu 1 2 6 c o m 6 2 数学教学研究 第 3 3 卷第 5期2 0 1 4年 5 月 构 激发学生的求知欲和学习兴趣 还能让学 生的思维得到充分锻炼 培养探索精神 和创 新意识 促进学生理性思维及智力发展 的和 谐统一 对教师来说 通过变式教学 教师对 教材和习题 的研究将 更加深入 对问题 的把 握更加全 面 促使教学结构优质变化和教学 过程有层次地递进 从而取得更好的课 堂教 学效益 2 例习题教学的变式实践 课本 习题 例题 均是经过专家学者 多次 筛选后的题目的精品 富有典型性和深刻性 在例习题教学 中 教师要挖掘例习题的深度 和广度 扩大例习题的辐射面 对例习题加以 适 当 合理的变式拓宽 使之源于课本又要高 于课本 在此基础上 启迪引导学生运用类 比 联想 发散 特殊化和一般化等思维方法 从不同层次 角度和方法确定问题的思考方 向 探索问题 的发展变化 更深人 更 透彻地 理解问题 的本质 达 到学习 巩 固 运 用的三 重作用 这是变式教学的关键所在 在例习题 教学中 教师可以采用 以下 4种变式 的方法 2 1 现象变式法 现象变式法是指只改变题目的表面形式 或问题背景 而题目的内涵与外延都不改变 的一种变式方法 这种方法 能使学生不受表 面现象的影响 正确地去识别 问题的实质 从 而培养学生思维的灵活性 案例 1 用 4 种不 同颜色给 图 1所示的 4 个区域涂色 如果每一个 区域涂一种颜 色 相邻两区域不能涂同一种颜色 共有多少种 不同的涂色方法 变式 l 用 5 种不同的颜色给图2 着色 要求有公共边的区域不着同色 则不同的着 色方案有多少种 变式2 给图3 所示区域涂色 要求相邻 区域不同色 今有 4 种颜色可供选择 共有多 少种涂法 变式3 在如图4 所示的正六边形中 要 对其 中的每一个小三角形涂 色 要求相邻 的 两个小三角形不能用同一种颜色 若有 5种 颜色可以选择 则共有多少种涂色方式 田 图 1 图 2 母 图 3 图 4 点评虽然面 目各异 但变式 的本质都 是关于两两相连的首尾相接型涂色问题的计 算 教学中可以从特殊到一般 探究这类问题 的通性解法 2 2 等价变式法 等价变式法是指将要求解的题目通过变 化 转换 以新的面 目出现 学生可观察到原 题与变题之间的联系 洞察问题之间的结构 关系 从而培养学生的转化与化归思想 案例 2 给图 5 所示的四棱锥 S A B C D 各面涂色 要求相邻面不同色 若有 5 种颜色 选用 有多少种涂法 变式 1 将原命题面涂色改为点涂色 即每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱的 两端异色 则共有多少种涂法 变式 2 将四棱锥改为四棱柱 其它条 件不变 则共有多少种涂法 变式 3 用 5 种不同颜色给图 6 所示的 A B C D E 5 个区域涂色 规定每个区域涂 一 种颜色 相邻区域颜色不同 求共有多少种 不同的涂色方法 变式 4 用 4种不 同颜色给图 7所示 6 个区域涂色 规定每个区域涂一种颜色 相邻 区域颜色不同 求共有多少种不同的涂色方 法 点评变式虽然改变了条件 看似与原 第 3 3 卷第 5期2 0 1 4年 5月 数学教学研究 6 3 题不同 但实际上结构关系是相同或类似的 因此与原题求解等价或相 当 图 5 图 6 图 7 2 3 条件变式法 条件变式法是指在不改变结论的情况 下 把题 目的条件进行改换 或是增强或是减 弱的一种变式方法 案例 3 用 4种不 同颜色给图 8所示 的 4 个区域涂色 如果每一个区域涂一种颜色 相邻两区域不能涂同一种颜色 共有多少种 不同的涂色方法 变式 1 在如图8的矩形条中涂上 3 种 不同的颜色 每格涂一种颜色且相邻 2 格不 同色 则不 同的涂法有多少种 变式 2 给图9 所示各区域涂色 要求相 邻区域不同色 现有 3 种颜色可供选择 有多 少种不同涂法 变式 3 在如图 9的矩形条中涂上 3 种 不同的颜色 每种颜色限涂 2 格 且相邻 2 格 不同色 则不同的涂法有多少种 变式 4 如图 1 O 用 6 种不同的颜色给 图中的 4 个格子涂色 每个格子涂一种颜色 要求相邻的两个格子颜色不同 且两端的格 子的颜色也不同 则不同的涂色方法共有多 少种 变式 5 如 图 1 0 用 6种不 同的颜 色给 图中的 4个格子涂色 每个格子涂一种颜色 最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不 同 则不同的涂色方法共有多少种 口皿口王正日 口正母 图8 图 9 图 1 O 点评变式将问题条件呈现多样化 带 动了一片新的问题 将学生思考引向深入 变 式引发新的探知 成为学生思维发展的生长 点 2 4 结论变式法 结论变式法是指有些题 目的相似条件在 不改变的情况下 变更结论或把结论延伸 的 一 种变式方法 这种变式方法 让学生看到在 相似的条件下可求多种结果 案例 4 用 种不同颜色给图 1 1 所示的 4部分涂色 一个 区域只涂一种颜 色 且相邻 部分不同颜色 若共有 2 4 0 种涂色方法 求 n 的值 变式 1 用 种不同颜色给图 1 2 所示的 4 部分涂色 一个区域只涂一种颜色 且相邻 部分不同颜色 若共有 4 8 0 种涂色方法 求 的值 变式 2 用 咒种不同颜色给图 1 3所示的 4 部分涂色 一个区域只涂一种颜色 且相邻 部分不同颜色 若共有 1 2 0 种涂色方法 求 7 2 的值 变式 3 用 种不同颜色给图 1 4所示的 4 部分涂色 一个区域只涂一种颜色 且相邻 部分不同颜色 若共有 1 8 0 种涂色方法 求 的值 图 1 1 圆 图 1 3 图 1 4 点评变式将不同的结论进行变化 使 得问题中 的值重新确定 通过分析比较 学 生将可以看到问题本质 从而悟出解法精髓 3 注意事项 3 1 选题要精当 变式后的解法要可取 题海茫茫 而教学时间有限 为此要有针 对性地为学生精选例习题 使之可以自由演 6 4 数学教学研究 第 3 3卷第 5 期2 0 1 4年 5月 变 一题多变 借题发 挥 以点带 面 这样 变 式教学就能够 前后 贯通 紧密相 连 自然得 体 课本 中的例题 习题 有着极 其 丰富 的内 涵 在教学中应该重视课本典型题的变式 引 申 与课本例题 习题类似的变式题的运用 是熟练掌握数学方法 的有效途径 是克服题 海战术的一种有效途径 在解法和思路技巧 上 要 注意变式之后所使用 的方法技巧仍具 有代表性 典型性 普遍性 一般性 而不是解 法另类 偏怪 华而不实 花里胡哨 否则 变 式就失去 了应用 的价值 难 以收到预期的效 果 3 2 注意变式的 量 与 度 变式并不是多多益善 需要追求质的提 高 也就是说变式不在多 而在精 变式数量 过多 没有典型性和代表性 会导致教学低效 重复 浪费时间和精力 当然也要避免 过少 过少则难 以从深层 次上挖掘其教学意义 对 促进学生思维发展的作用有限 把握变式的度也很重要 主要是指难度 难度太小 隔靴搔痒 浮于表 面 影响学生探 究的热情 对 发展思 维 的价 值不 大 难 度太 大 则学生 由于在知识和能力上 的不足 可能 会导致解题的失败 从而挫伤积极性 失去信 心与兴趣 也不能产生高层次思维 在例习题变式教学 中 教师应遵循逐级 递进 螺旋上升的原则 在学生 的最近发展 区 域内设计一系列的 逐步递进的变式 为学生 的思维发展提供一个个的阶梯 通过前面变 式的解决 为解决后面变式 复杂问题作好必 要的铺垫和认知上的准备 从而有层次地推 进问题的解决 提升学生的思维能力和解题 能力 3 3 加强引导 重视过程性变式 课堂教学是学生得 以解惑 的主要渠道 是教师与学生进行沟通 传播知识 的重要途 径 教师应该尽量地向学生展示知识 的来源 发生 发展 的过 程 引导学 生体会 到变式 差 异 从 变 的现象中发现 不变 的本质 从 不变 中探求规律 掌握数学对象的本质属 性 促进知识的有效迁移与建构 并适时从中 归纳 总结 概括 出一般 的规律 结论与解题 经验 完善应变能力与应试技巧 此外 在习 题变 式 教 学 中 不要 总是 教 师 变 学 生 练 教师要充分调动学生主观能动性 让学 生主动参与 自己去 发现 去 创造 如让 学生自行变更问题中的条件和结论 转换问 题的内容和呈现形式 配置实际应用的各种 环境 概括各种解题技能 对结论加以拓广应 用等等 使多 向性 多层 次的交互作用 双边 活动引进教学 的全程 著名 的数 学教 育家波 利 亚曾形象 的指 出 好问题同某种蘑菇有些相像 它们都成