偏导数 全导数.pdf

1 MATH YTU1 第一节 一 区域 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 一 区域 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 多元函数的基本概念 MATH YTU2 1 邻域邻域 点集点集 0 PPU 称为点称为点 P0 的的 邻域 邻域 例如 例如 在平面上 设在平面上 设 0 yxPU 圆邻域 圆邻域 0 PP 2 0 2 0 yyxx 一 区域一 区域 000 Pxy 0 P MATH YTU3 0 o PPU 0 0 PP 在空间中 在空间中 0 zyxPU 球邻域 球邻域 说明 说明 若不需要强调邻域半径 若不需要强调邻域半径 0 PU 点点 P0的的去心邻域去心邻域记为记为 2 0 2 0 2 0 yxyx 41 22 xyx 是最大的开域是最大的开域 也是最大的闭域 是开集 但非区域 也是最大的闭域 是开集 但非区域 1 1ox y 对区域对区域 D 若存在正数若存在正数 K 使得使得 D U O K 则称则称 D 为为有界域有界域 界域界域 否则称为否则称为无无 3 MATH YTU9 n 元有序数组元有序数组 21n xxx 21n xxx 的全体称为的全体称为 n 维空间维空间 Rn n 维空间中的每一个元素称为空间中的维空间中的每一个元素称为空间中的 k x数称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标 记作 即 记作 即 RRRR n nkxxxx kn 2 1 R 21 一个一个点点 当所有坐标当所有坐标时 0 k x称该元素为称该元素为 n R中的零元中的零元 记作记作 O 3 n 维空间维空间 MATH YTU10 的的距离距离记作记作 22 22 2 11 nn yxyxyxyx 中点中点 a的的 邻域邻域为为 21n yyyy 与点 R hrhr 0 0 TTVTV cbacbacba 0 0 0 cpbpappS h r 二 多元函数的概念二 多元函数的概念 MATH YTU12 RnD DPPfu 或 点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 数集数集 DP Pfuu 称为函数的称为函数的值域值域 特别地 特别地 当当 n 2 时时 有二元函数有二元函数 2 R Dyxyxfz 当当 n 3 时时 有三元函数有三元函数 3 R Dzyxzyxfu 映射映射R Df称为定义 在 称为定义 在 D 上的上的 n 元函数元函数 记作记作 21n xxxfu 定义定义1 设非空点集设非空点集 4 MATH YTU13 x z y 22 1yxz 定义域为定义域为 1 22 yxyx圆域 说明 圆域 说明 二元函数二元函数 z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面 sin yxz 又如 的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 1 2 R yx 三元函数三元函数 arcsin 222 zyxu 定义域为定义域为 1 222 zyxzyx 图形为图形为 4 R空间中的超曲面空间中的超曲面 单位闭球单位闭球 x y z o 例如例如 二元函数二元函数 单元3 MATH YTU14 定义定义2 设设 n 元函数元函数 R n DPPf 聚点聚点 0 PUDP APf则称则称 A 为为 也称为也称为 n 重极限重极限 APf PP lim 0 P0 是是 D 的 若存在常数 的 若存在常数 A 对 记作 对 记作 时的极限当 0 PPPf 都有 对任意正数 都有 对任意正数 总存在正数总存在正数 一切一切 三 多元函数的极限 具体 MATH YTU15 定义定义2 设设 n 元函数元函数 R n DPPf 聚点聚点 0 PUDP 0 当 0 0 xx时 有 Axf 若 则Axf xx lim 0 或 0 xxAxf 当 0 0 PP MATH YTU16 当当 n 2 时时 22 000 0 PPxxyy 则有二重极限 则有二重极限 0 lim f x y 0 0 lim xx yy f x yA 定义定义2 设设 n 元函数元函数 R n DPPf 聚点聚点 0 PUDP 0 当 f PAf x yA 0 yxf 0 22 时当 yx 22 yx 2 22 yx 总有总有 K 2 Pf Mm DPKPf 使 在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m 3 对任意对任意 DQ Qf使 有界性定理有界性定理 最值定理最值定理 介值定理介值定理 闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略证明略 定理 定理 若若 f P 在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续 则则 例例3 MATH YTU23 11 lim 0 0yx yx y x 解 原式解 原式 11 1 1 lim 2 0 0 yxxy yx y x 2 1 2 2