表象及表象变换.pdf

动量表象和能量表象 第四小组 张敏 王艳兰 廖秀秀 钟红霞 丁明慧 表象 态矢量在F表象中的分量形式 算符在F表象中的分量形式 动量表象 能量表象 占有数表象 福克表象 表象变换 绘景 薛定谔绘景 海森堡绘景 相互作用绘景 表象与绘景 表象 由于希尔伯特空间中基底的选择不 同 使量子力学原理有不同的表象 表象就是希尔伯特空间中的 坐标系 绘景 由于对时间演化的处理方法不同 使量子力学有不同的绘景 态矢量在F表象中的分量形式 本征方程 展开任意矢量 其中 展开系数 即为状态在力学量F的表象中的分量形式 波函数 坐标表象 动量表象 F ff f f aaf df f af a a txt tpt 算符在F表象中的分量形式 已知 进入F表象 又 即比较 即 为算符G在力学量F表象中的分量形式 结论 算符G在力学量F中的分量形式 实际上是 由力学量F的本征矢生成的 G ac i i G ai cc 1 j jj i G ai G ai G jj ai G j a ji j i G j ac G ac ij Gi G j 动量表象 动量算符 即 坐标算符 即 定态薛定谔方程 若V x 可以写成x的正幂级数 即 方程可化为 p p pppp p x pipp p h pp xi p h 2 2 pp p pVp dpEp m 2 2 p pV ipEp mp h 0 n n n V xC x 能量表象 由于 U r 不同 H不同 故坐标和动量只有在特定的能量表象中 才有确定的形式 例如谐振子 pi x h 2 2 p HU r m 2 22 1 22 x p Huw x u 1 1 2 nn n x uw h 1 1 nnnn piwux 0 1 2 n 占有数表象 以谐振子为例 定义 求解得 其中 n为占有数 N为占有数算符 a为湮没算符 使粒子数减少1 a 为产生算符 使粒子数增加1 2 22 1 22 p Hmw x m axip axip 11 22 Ha awNw hh 1 2 n Enw h N nn n 1a nn n 11annn 福克表象 全同多粒子系统 单粒子态1 2 3 v 粒子数n1n2n3 nv 描述全同多粒子系统的态矢 相应的表象为福克表象 玻色子 nv 0 1 2 费米子 nv 0 1 12 v n nn 表象变换 态矢 算符 其中 态矢量在坐标表象和动量变相之间的变换公式 坐标表象 动量表象 又因为 故 坐标表象 动量表象 Sn i Si n GF aSa GF QSQS x txtx ppt dpx p c p t dp c p tptp xxt dxp xx t dx 1 1 2 px x pp xe h h 1 2 i px x tc p t edp h h 1 2 i px c p tx t edx h h 表象变换 注意 1 表象变换的幺正性 2 表象变换下力学量的基本公式 不变 物理观测结果不变 a 表象变换不改变算符之间的对易关系 b 表象变换不改变力学量的本征值 c 表象变换不改变矢量的内积 绘景 对时间演化的处理方式不同 我们可以直接观测的是力学量在不同状态中取 不同值的概率分布 因此 有三种情况 1 不变变薛定谔绘景 2 不变变海森堡绘景 3 变变相互作用绘景 2 Pn a n n n a a a 薛定谔绘景 本征矢 算符 不随时间t改变 态矢 随t改变 规律由H决定 系统时间演化方程 即薛定谔方程 d t iH t dt h 海森堡绘景 本征矢 算符 随t改变 规律由H决定 态矢 不随时间t改变 系统时间演化方程 即海森堡方程 H H dFi H F dt h 相互作用绘景 本征矢 算符 随t改变 规律由H0决定 态矢 随t改变 规律由微扰算符V决定 即系统时间演化方程 00 ii H tH t IS FeF e hh 0 i H t IS tet h mk iwt m mkk k dat iV a t e dt h 谢谢 表象及表象变换表象及表象变换表象及表象变换表象及表象变换 题型小结题型小结题型小结题型小结 一一一一表象中题型小结表象中题型小结表象中题型小结表象中题型小结 一一一一某个表象中的表现形式某个表象中的表现形式某个表象中的表现形式某个表象中的表现形式 态函数态函数态函数态函数 本征方程本征方程本征方程本征方程 本征值本征值本征值本征值 本征矢本征矢本征矢本征矢 力学量算符力学量算符力学量算符力学量算符 二二二二扩展题型扩展题型扩展题型扩展题型 某个表象中的表现形式某个表象中的表现形式某个表象中的表现形式某个表象中的表现形式 坐标表象坐标表象坐标表象坐标表象 动量表象动量表象动量表象动量表象 能量表象能量表象能量表象能量表象 占有数表象占有数表象占有数表象占有数表象 坐标表象坐标表象坐标表象坐标表象 力学量的算符一章力学量的算符一章力学量的算符一章力学量的算符一章 在坐标表象中求解一维自由运动粒子的能量在坐标表象中求解一维自由运动粒子的能量在坐标表象中求解一维自由运动粒子的能量在坐标表象中求解一维自由运动粒子的能量 本征值和本征函数本征值和本征函数本征值和本征函数本征值和本征函数 运动方程一章运动方程一章运动方程一章运动方程一章 求解一维运动粒子求解一维运动粒子求解一维运动粒子求解一维运动粒子 势阱势阱势阱势阱 势垒中运动的粒势垒中运动的粒势垒中运动的粒势垒中运动的粒 子的本征值子的本征值子的本征值子的本征值 本征函数本征函数本征函数本征函数 量子力学的表述形式一章量子力学的表述形式一章量子力学的表述形式一章量子力学的表述形式一章 课后习题课后习题课后习题课后习题6 6 6 6 从动量算符在动量表象中的矩阵从动量算符在动量表象中的矩阵从动量算符在动量表象中的矩阵从动量算符在动量表象中的矩阵 元出发元出发元出发元出发 求坐标表象中的动量算符求坐标表象中的动量算符求坐标表象中的动量算符求坐标表象中的动量算符 动量表象动量表象动量表象动量表象 课本上课本上课本上课本上 例题求动量表象中的坐标例题求动量表象中的坐标例题求动量表象中的坐标例题求动量表象中的坐标 算符和动量算符算符和动量算符算符和动量算符算符和动量算符 习题集习题集习题集习题集 第九章第九章第九章第九章 在动量表象中求解一维势场中运动粒子在动量表象中求解一维势场中运动粒子在动量表象中求解一维势场中运动粒子在动量表象中求解一维势场中运动粒子 的能量本征值方程的能量本征值方程的能量本征值方程的能量本征值方程 在动量表象中求解均匀力场中运动粒子在动量表象中求解均匀力场中运动粒子在动量表象中求解均匀力场中运动粒子在动量表象中求解均匀力场中运动粒子 的束缚态能级和本征函数的束缚态能级和本征函数的束缚态能级和本征函数的束缚态能级和本征函数 在动量表象中求解在动量表象中求解在动量表象中求解在动量表象中求解势阱的束缚态能势阱的束缚态能势阱的束缚态能势阱的束缚态能 级和本征函数级和本征函数级和本征函数级和本征函数 能量表象能量表象能量表象能量表象 关于占有数表象关于占有数表象关于占有数表象关于占有数表象 求解能量本征值方程求解能量本征值方程求解能量本征值方程求解能量本征值方程 以以以以 及坐标和动量算符在该表象中的矩阵元及坐标和动量算符在该表象中的矩阵元及坐标和动量算符在该表象中的矩阵元及坐标和动量算符在该表象中的矩阵元 关于能量表象关于能量表象关于能量表象关于能量表象 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动求一维无限深势阱中粒子的坐标和动求一维无限深势阱中粒子的坐标和动求一维无限深势阱中粒子的坐标和动 量在能量表象中的矩阵元量在能量表象中的矩阵元量在能量表象中的矩阵元量在能量表象中的矩阵元 在在在在 下证明求和规则下证明求和规则下证明求和规则下证明求和规则 扩展题型扩展题型扩展题型扩展题型 动量表象动量表象动量表象动量表象 用动量表象计算粒子用动量表象计算粒子用动量表象计算粒子用动量表象计算粒子 能量能量能量能量 对于对于对于对于 的透射概率的透射概率的透射概率的透射概率 9 69 69 69 6 质量为质量为质量为质量为m m m m的粒子束以动量的粒子束以动量的粒子束以动量的粒子束以动量P P P P穿过势垒穿过势垒穿过势垒穿过势垒 求能求能求能求能 够出现完全反射的动量值够出现完全反射的动量值够出现完全反射的动量值够出现完全反射的动量值 9 79 79 79 7 0 E 二二二二 解题中常用方法小结解题中常用方法小结解题中常用方法小结解题中常用方法小结 进入表象进入表象进入表象进入表象 表象变换表象变换表象变换表象变换 课本课本课本课本 402402402402第四题第四题第四题第四题 mQnQ ana nm n 三三三三 解题注意事项解题注意事项解题注意事项解题注意事项 一一一一一条普遍的规则一条普遍的规则一条普遍的规则一条普遍的规则 二二二二几种常见的对易关系几种常见的对易关系几种常见的对易关系几种常见的对易关系 三三三三矢量组的完备性条件矢量组的完备性条件矢量组的完备性条件矢量组的完备性条件 一条普遍的规则一条普遍的规则一条普遍的规则一条普遍的规则 两个对象两个对象两个对象两个对象 矢量和矢量矢量和矢量矢量和矢量矢量和矢量 或算符和矢量或算符和矢量或算符和矢量或算符和矢量 或算或算或算或算 符和算符符和算符符和算符符和算符 相乘的厄米共轭按相反次序相乘相乘的厄米共轭按相反次序相乘相乘的厄米共轭按相反次序相乘相乘的厄米共轭按相反次序相乘 即即即即 abba 几中常见的对易关系几中常见的对易关系几中常见的对易关系几中常见的对易关系 算符的对易关系是不依赖于具体表象的算符的对易关系是不依赖于具体表象的算符的对易关系是不依赖于具体表象的算符的对易关系是不依赖于具体表象的 矢量组的完备性条件矢量组的完备性条件矢量组的完备性条件矢量组的完备性条件 分立谱分立谱分立谱分立谱 连续谱连续谱连续谱连续谱 1 dfff 1 ii i 例题一例题一例题一例题一10 110 110 110 1 h hh E E E E E E E E 其中其中其中其中 3 3 3 3 A A A Ai i i i dtdtdtdt dAdAdAdA 证明证明证明证明 2 2 2 2 n n n nA A A Ak k k k A A A A A A A A 定义能量表象中矩阵元定义能量表象中矩阵元定义能量表象中矩阵元定义能量表象中矩阵元 1 1 1 1 HA HA HA HA AH AH AH AH i i i i 1 1 1 1 H H H H A A A A i i i i 1 1 1 1 dtdtdtdt dAdAdAdA p p p p 的时间变化率为的时间变化率为的时间变化率为的时间变化率为算符算符算符算符A A A A r r r r rgrgrgrg运动方程运动方程运动方程运动方程 力学量力学量力学量力学量按照按照按照按照HeisenbeHeisenbeHeisenbeHeisenbe n n n n简记为简记为简记为简记为 态矢量态矢量态矢量态矢量 数数数数 表示其本征值和本征函表示其本征值和本征函表示其本征值和本征函表示其本征值和本征函 以以以以E E E Ep p p p 给定总能量算符给定总能量算符给定总能量算符给定总能量算符H H H H r r r r10 110 110 110 1 n n n nk k k kknknknkn knknknknknknknknknknknkn n n n nk k k kknknknkn n n n n n n n nn n n n 式此即 元 即得两端取能量表象中矩阵式 其共轭方程为 满足本征方程证 3 1 1 1 4 4 knkn nkkn nkkn nnn nnn n Ai AEE i HAAH idt dA EH EH h h 例题二例题二例题二例题二 10 210 210 210 2 结果结果结果结果 即得即得即得即得取矩阵元取矩阵元取矩阵元取矩阵元 并利用上题并利用上题并利用上题并利用上题 2 2 2 2 p p p p p p p p x x x x 2i2i2i2i 1 1 1 1 H H H H x x x x i i i i 1 1 1 1 dtdtdtdt dxdxdxdx 可得可得可得可得enbergenbergenbergenberg运动方程运动方程运动方程运动方程利用算符利用算符利用算符利用算符x x x x的的的的HeisHeisHeisHeis证证证证 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x E E E E E E E E 则则则则V V V V r r r r 证明求和规证明求和规证明求和规证明求和规 2 2 2 2 p p p p设设设设H H H H x x x x 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n nknknknkk k k kn n n n 2 2 2 2 hh h 求和规则求和规则求和规则求和规则 z z z z的矩阵元也有同样的的矩阵元也有同样的的矩阵元也有同样的的矩阵元也有同样的r r r r的另外两个分量的另外两个分量的另外两个分量的另外两个分量y y y y和和和和 即得式即得式即得式即得式 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i两端各乘两端各乘两端各乘两端各乘 x x x x E E E E E E E E 2i 2i 2i 2i x x x x 2i 2i 2i 2i x x x xx x x x x x x xx x x x i i i i x x x x p p p p p p p p x x x xx x x x p p p p xp xp xp xpi i i i 下求平均值下求平均值下求平均值下求平均值 即得即得即得即得k k k k在能量本征态在能量本征态在能量本征态在能量本征态 4 4 4 4 i i i ix x x xp p p pxpxpxpxp p p p p x x x x 再利用基本对易关系式再利用基本对易关系式再利用基本对易关系式再利用基本对易关系式 3 3 3 3 x x x xi i i i p p p p x x x xi i i i dtdtdtdt dxdxdxdx 2 2 2 2 n n n n nknknknkk k k kn n n n 2 2 2 2 n n n nn n n n nknknknknknknknknknknknkknknknknknknknknnknknknkknknknknnknknknk n n n n nknknknkknknknknx x x xnknknknkx x x xknknknknkkkkkkkkx x x xkkkkkkkkx x x x x x x xx x x xx x x x knknknknknknknknknknknknx x x x knknknknknknknknknknknkn h h h h 例题例题例题例题 10 310 310 310 3 2 2 2 2 x x x x p x p x p x p x 2i2i2i2i H H H H p p p p i i i i 1 1 1 1 dtdtdtdt dpdpdpdp rgrgrgrg运动方程运动方程运动方程运动方程 易得易得易得易得利用利用利用利用HeisenbeHeisenbeHeisenbeHeisenbe 首先求解能级首先求解能级首先求解能级首先求解能级解解解解 简写成简写成简写成简写成p p p p 象中的矩阵元象中的矩阵元象中的矩阵元象中的矩阵元 以下以下以下以下p p p p 在能量表在能量表在能量表在能量表p p p p求出全部能级以及求出全部能级以及求出全部能级以及求出全部能级以及x x x x 试利用前两题所得公式试利用前两题所得公式试利用前两题所得公式试利用前两题所得公式 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 p p p p H H H H 为为为为一维谐振子的能量算符一维谐振子的能量算符一维谐振子的能量算符一维谐振子的能量算符 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 x x x x hh 6 6 6 6 则则则则 0 0 0 0 如如如如x x x x 0 0 0 0则则则则x x x x 如如如如 数数数数 由式由式由式由式 5 5 5 5 易见易见易见易见n n n n可以理解为能态编号可以理解为能态编号可以理解为能态编号可以理解为能态编号其中其中其中其中k k k k 5 5 5 5 0 0 0 0 x x x x 并并并并 即得即得即得即得式式式式 3 3 3 3 和式和式和式和式 4 4 4 4 合合合合 4 4 4 4 x x x xi i i i p p p p 而上题已得而上题已得而上题已得而上题已得 3 3 3 3 x x x x p p p pi i i i 得得得得 取能量表象矩阵元取能量表象矩阵元取能量表象矩阵元取能量表象矩阵元 即即即即 knknknknknknknkn knknknknknknknkn knknknkn 2 2 2 2 knknknkn 2 2 2 2 knknknknknknknknknknknkn knknknkn 2 2 2 2 knknknknknknknkn n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 nknknknkk k k kn n n n 0 0 0 0 0 0 0 0n n n n 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 k k k kn n n n nknknknkk k k k n n n nn n n n 2 2 2 2 nknknknknknknknkknknknknkkkkkkkk 2 2 2 2 9 9 9 9 2 2 2 2 x x x x E E E E E E E E 式式式式可以利用上题证明的公可以利用上题证明的公可以利用上题证明的公可以利用上题证明的公E E E E第二步第二步第二步第二步 求出基态能级求出基态能级求出基态能级求出基态能级 8 8 8 8 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 n n n n n n n nE E E EE E E E 即即即即 2 2 2 2E E E E E E E E E E E EE E E E 全部能级为全部能级为全部能级为全部能级为 的其他能级的其他能级的其他能级的其他能级 所以所以所以所以 还存在和它相差还存在和它相差还存在和它相差还存在和它相差 级后级后级后级后 必然必然必然必然亦即亦即亦即亦即 任意指定一个能任意指定一个能任意指定一个能任意指定一个能 E E E E知知知知 能级差能级差能级差能级差E E E E 0 0 0 0 则由式则由式则由式则由式 6 6 6 6 可可可可必怾有某些必怾有某些必怾有某些必怾有某些n n n n使使使使x x x x 对于任何选定的能级对于任何选定的能级对于任何选定的能级对于任何选定的能级E E E E 7 7 7 7 0 0 0 0 x x x xx x x xx x x x x x x x 由于由于由于由于 h Lh Lhh h h 8 8 8 8 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n nE E E E 级公式级公式级公式级公式带入带入带入带入 8 8 8 8 式式式式 即得能即得能即得能即得能 11 11 11 11 2 2 2 2 1 1 1 1 E E E E 得得得得和式和式和式和式 10101010 比较比较比较比较 即即即即 E E E E 2 2 2 2 1 1 1 1 V V V VT T T T 而由位力定理而由位力定理而由位力定理而由位力定理 应有应有应有应有 10 10 10 10 4 4 4 4 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 值为值为值为值为因此因此因此因此 势能的基态平均势能的基态平均势能的基态平均势能的基态平均 x x x xx x x x 2 2 2 2 可得可得可得可得 7 7 7 7 和和和和 9 9 9 9 取取取取k k k k为基态为基态为基态为基态 由式由式由式由式 6 6 6 6 n n n n 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00000000 2 2 2 22 2 2 2 n n n n 00000000 2 2 2 2 2 2 2 2 n0n0n0n0 2 2 2 2 Lh h h hh h 15 15 15 15 i xi xi xi xp p p p 再利用式再利用式再利用式再利用式 4 4 4 4 即得即得即得即得 14 14 14 14 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1n n n n x x x x 即得即得即得即得2 2 2 2反复利用式反复利用式反复利用式反复利用式 1 1 1 1 13 13 13 13 2 2 2 2 x x x x 2 2 2 2 x x x x 0 0 0 0 上式给出上式给出上式给出上式给出当当当当n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x x x x k k k k改为改为改为改为n n n n 则式则式则式则式 12121212 可以写成可以写成可以写成可以写成 为非负实数为非负实数为非负实数为非负实数 总可使各总可使各总可使各总可使各x x x x 数的相因子数的相因子数的相因子数的相因子 e e e e适当选择各能量本征函适当选择各能量本征函适当选择各能量本征函适当选择各能量本征函 12 12 12 12 2 2 2 2 x x x xx x x x 9 9 9 9 得出得出得出得出考虑到式考虑到式考虑到式考虑到式 6 6 6 6 由式由式由式由式 符的矩阵元符的矩阵元符的矩阵元符的矩阵元然后求解坐标及动量算然后求解坐标及动量算然后求解坐标及动量算然后求解坐标及动量算 n n n n1 1 1 1 n n n nn n n n1 1 1 1 n n n n n n n n1 1 1 1 n n n n 10101010 2 2 2 2 10101010 2 2 2 2 1 1 1 1n n n nn n n n 2 2 2 2 n n n n1 1 1 1 n n n n nknknknk i i i i 2 2 2 2 k k k k1 1 1 1 k k k k 2 2 2 2 k k k k1 1 1 1 k k k k L h hh h h h 17 17 17 17 p p p p p p p pp p p p 16 16 16 16 x x x x x x x xx x x x 数数数数 因此因此因此因此数数数数 p p p p的矩阵元为纯虚的矩阵元为纯虚的矩阵元为纯虚的矩阵元为纯虚注意注意注意注意 x x x x的矩阵元为实的矩阵元为实的矩阵元为实的矩阵元为实 n n n n1 1 1 1 n n n n n n n n1 1 1 1 n n n n1 1 1 1n n n nn n n n n n n n1 1 1 1 n n n n n n n n1 1 1 1 n n n n1 1 1 1n n n nn n n n 9 6 用动量表象计算粒子用动量表象计算粒子用动量表象计算粒子用动量表象计算粒子 能量能量能量能量E 0 对于对于对于对于势势势势 垒垒垒垒 的透射概率的透射概率的透射概率的透射概率 0 xVxV 2 2 pEpdpVp m p pp 解解解解 在动量表象中的薛定谔方程为在动量表象中的薛定谔方程为在动量表象中的薛定谔方程为在动量表象中的薛定谔方程为 1 其中其中其中其中 2 利用利用利用利用 3 可得可得可得可得 4 hh h 2 2 1 0 0 V exdxVV xppi pp hh 2 2 00 V pdp V pdpV pp 0 2 2 0222 o mV pkp h h 1 2 ipx xdpp e h h 00 0 可知可知可知可知 5 的通解为的通解为的通解为的通解为 7 将将将将 7 代入代入代入代入 3 得到得到得到得到x表象中的波函数表象中的波函数表象中的波函数表象中的波函数 8 用留数定理可计算积分用留数定理可计算积分用留数定理可计算积分用留数定理可计算积分 9 0 12 222 2 0 2 mV pCpkCpk pk hh hh 012 222 2 0 222 ikxikxipx mVCCdp xeee pk h hhhh 222 ipx dp e pk h h 0 2 ikxikx i eex k h 0 2 ikxikx i eex k 0区域应该只区域应该只区域应该只区域应该只 有透射波有透射波有透射波有透射波 即即即即 而不能存在而不能存在而不能存在而不能存在项项项项 因此因此因此因