双曲线的简单几何性质58321.doc

资料有大小学习网收集 学科：数学教学内容：双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线-1的简单几何性质(1)范围：xa,yR.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程yx，或令双曲线标准方程-1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2a2(a0),它的渐近线方程为yx,离心率e.(7)共轭双曲线：方程-1与-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线-1共渐近线的双曲线系方程可表示为-(0且为待定常数)2.与椭圆+1(ab0)共焦点的曲线系方程可表示为-1(a2,其中b2-0时为椭圆， b2a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x的距离之比等于常数e(ca0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p，与椭圆相同.3.焦半径(-1,F1(-c,0)、F2(c,0)，点p(x0,y0)在双曲线-1的右支上时，pF1ex0+a,pF2ex0-a;P在左支上时，则 PF1-(ex1+a),PF2-(ex1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y-x,且经过点Q(8，6)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为，渐近线方程为yx，求双曲线方程.分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b之间的关系，以Q点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为-(0)，将Q点坐标代入求得 4故所求双曲线方程为 -1.(2)当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为-1,依题意有 解得故所求双曲线方程为 -1当双曲线焦点在y轴上时，同理求得其方程为：-1综上所述，所求双曲线的方程为-1或-1.例2 过双曲线-1的右焦点F2，作斜率为2的弦AB，求AB的长.分析 运用焦半径知识较为简便.依题意有a3,c5,e,F2(5,0)联立方程组消去y得 5x2-90x+2610.设方程的两根为x1,x2.于是ABe(x1+x2)-2a-624.注：若用弦长AB解计算量显然大一些，本例中AB为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l和双曲线-=1(a0,b0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点，求证：AB=CD.分析 若直线l和x轴垂直，结论显然成立；若直线l不与x轴垂直，则可设l的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0 并整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0.设B(x3,y3),C(x4,y4),则x3+x4= x1+x2=x3+x4表明线段AD的中点和线段BC的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线-1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线-1的渐近线方程为：yx将x2代入方程yx得y23点(2，3)在直线yx的上方，于是设所求的双曲线方程为：-1 由(1)设a3k,b4k，代入(2)得：-1k (舍负)a3 b2所求方程为： -1即-1分析二 与双曲线-1有共同渐近线的双曲线方程表示为-，待定系数便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为-，(1)将点(2，3)代入(1)得：- - 所求方程为：-即：-1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a、b，进而求出双曲线方程.(2)方程- 当0时，表示两条直线：+0和-0，正是双曲线的渐近线方程.因此当0时，方程表示以直线-0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线-1的一支上不同的三点A(x1,y1)、B(,6)、C(x2,y2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y1+y2;(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义.(2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)a2,b,c5,e.根据双曲线的第二定义，可得：AFe(y1-)ey1-ay1-2,CFe(y2-)ey2-ay2-2,BFe(6-)6e-a6-2=3.又AF、BF、CF成等差数列，AF+CF2BF，即(y1-2)+( y2-2)23,y1+y212.(2)证明：设x1+x2t，则线段AC的中点为(,6).-1, -1.-0,(x1+x2).线段AC的垂直平分线的斜率k-，从而其方程为y-6- (x-)，即(y-)t+3x0，显然它过定点(0，).点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线-1上一点P(x1,y1)的左、右焦半径长为PF1(ex1+a),PF2(ex1-a)(其中P在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线-=1(a0,b0)左、右焦点分别为F1和F2，P是它左支上点，P到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P，使d,PF1，PF2成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x0,y0)且x0-a，使d，PF1，PF2成等比数列，则PF12=dPF2，设d为P点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：=e PF1=ed,(ed)2=ded，ed=d，e(-x0)=-x0+,x0= x0-a,-a,e2-2e-10，1-e+1,又e1，1e+1.故当双曲线的离心率e(1, +1)时，存在满足条件的P，而当e(+1,+)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式PF1+PF2F1F2求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当（)时，求双曲线离心率e的取值范围.分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(-C，0)，C(,h),E(x0,y0,)其中c=AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高.由定比分点坐标公式得x0=，y0=-=1, ()2-()2=1由式得=-1把式代入式，整理得(4-4)=1+2故=1-由题设 得1-.解得 e.所以双曲线的离心率的取值范围为,.注：本例先求出C点纵坐标，用a、b、c表示，然后将E点坐标用表示，并代入双曲线方程，而得到含有e与的等式，由范围求出e的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M、N，点M的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N的轨迹有且只有两个公共点A、B，且点P(1，m)恰是线段AB的中点?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知SM-SN=TM-TN0S(-7,0),T(7,0),SM=13,TM=15.1当SM-SN=TM-TN时，有TN-SN=214=ST，点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的双曲线C的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C的方程：x2-=1(x0).点N的轨迹方程为x2-=1(x0,y12).2当SM-SN=-(TM-TN)时，有TN+SN=2814=ST，点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的椭圆Q，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q方程：+ =1.点N的轨迹方程为+=1(y12).综合1、2，点N的轨迹方程为x2-=1(x0和+=1，其中y12.(2)1当过点P(1，m)的直线的斜率k不存在时，直线l的方程为x=1，可得m=1.2当k存在时，设直线l:y=kx+m-k.若l过点M或点D.两点M、D既在双曲线C上，又在椭圆Q上，但不在点N的轨迹上l与点N的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l不过M、D两点.当-4k24时(双曲线C的渐近线方程为y4=0)，利用图像知，直线l与点N的轨迹有三个公共点，不合题意.当-k-4或4k+时，直线l与点N的轨迹有两个公共点A、B，且点P(1，m)是AB的中点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则在3x21+4y21=1249,3x22+4y22=1249,-，得3(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2)将x1+x2=2,y1+y2=2m, =k代入，得k=-.当4k+，即4-+时，有-m0.【知识验证实验】1.已知双曲线2x2-y2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C、D两点，且使N为CD的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x0,y0)，双曲线方程为-=1，若过点N的双曲线的中点弦存在，则N点应在什么位置?其方程又为何?2.点P是双曲线-=1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设PF1F2=，PF2F1=，求证：3tan=tan.解：在PF1F2中，利用正弦定理及分比定理得=，=，即2sin=sin,展开并简化，得3sincos=sincos，3tan=tan.【知识探究学习】舰A在舰B的正东6km处，舰C在舰B的北偏西30且与B相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4s后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s，炮弹的速度是km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB所在直线为