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文档简介
资料有大小学习网收集 学科:数学教学内容:双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线-1的简单几何性质(1)范围:xa,yR.(2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c2a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线:双曲线特有的性质,方程yx,或令双曲线标准方程-1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2a2(a0),它的渐近线方程为yx,离心率e.(7)共轭双曲线:方程-1与-1表示的双曲线共轭,有共同的渐近线和相等的焦距,但需注意方程的表达形式.注意:1.与双曲线-1共渐近线的双曲线系方程可表示为-(0且为待定常数)2.与椭圆+1(ab0)共焦点的曲线系方程可表示为-1(a2,其中b2-0时为椭圆, b2a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x的距离之比等于常数e(ca0)的点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,焦准距(焦参数)p,与椭圆相同.3.焦半径(-1,F1(-c,0)、F2(c,0),点p(x0,y0)在双曲线-1的右支上时,pF1ex0+a,pF2ex0-a;P在左支上时,则 PF1-(ex1+a),PF2-(ex1-a).本节学习要求:学习双曲线的几何性质,可以用类比思想,即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程,从而得出双曲线的几何性质,将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比,便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切;直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式,韦达定理等;渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识,是高考的主要内容.通过本节内容的学习,培养同学们良好的个性品质和科学态度,培养同学们的良好的学习习惯和创新精神,进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质,也可以与椭圆的几何性质对比进行,着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质,双曲线的第二定义及其应用,难点是双曲线的渐近线方程,第二定义,几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点,对称轴是坐标轴,一条渐近线方程是y-x,且经过点Q(8,6)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足:两准线间的距离为,渐近线方程为yx,求双曲线方程.分析 (1)据双曲线的渐近线方程,可求出a,b之间的关系,以Q点的坐标代入双曲线方程,即可求a,b的值,亦可据共渐近线的双曲线系方程求出,这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为-(0),将Q点坐标代入求得 4故所求双曲线方程为 -1.(2)当双曲线的焦点在x轴上时,设其方程为-1,依题意有 解得故所求双曲线方程为 -1当双曲线焦点在y轴上时,同理求得其方程为:-1综上所述,所求双曲线的方程为-1或-1.例2 过双曲线-1的右焦点F2,作斜率为2的弦AB,求AB的长.分析 运用焦半径知识较为简便.依题意有a3,c5,e,F2(5,0)联立方程组消去y得 5x2-90x+2610.设方程的两根为x1,x2.于是ABe(x1+x2)-2a-624.注:若用弦长AB解计算量显然大一些,本例中AB为过焦点弦,所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l和双曲线-=1(a0,b0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点,求证:AB=CD.分析 若直线l和x轴垂直,结论显然成立;若直线l不与x轴垂直,则可设l的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得:(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0 并整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0.设B(x3,y3),C(x4,y4),则x3+x4= x1+x2=x3+x4表明线段AD的中点和线段BC的中点重合,故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线-1有共同渐近线且过点(2,3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2,3)与渐近线的位置关系,便可知双曲线方程的表达式,进而可求出方程.解法一:双曲线-1的渐近线方程为:yx将x2代入方程yx得y23点(2,3)在直线yx的上方,于是设所求的双曲线方程为:-1 由(1)设a3k,b4k,代入(2)得:-1k (舍负)a3 b2所求方程为: -1即-1分析二 与双曲线-1有共同渐近线的双曲线方程表示为-,待定系数便可求出双曲线方程.解法二:设所求双曲线方程为-,(1)将点(2,3)代入(1)得:- - 所求方程为:-即:-1为所求说明:(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置,解法一正是利用此性质先定位再求出a、b,进而求出双曲线方程.(2)方程- 当0时,表示两条直线:+0和-0,正是双曲线的渐近线方程.因此当0时,方程表示以直线-0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理,设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线-1的一支上不同的三点A(x1,y1)、B(,6)、C(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列.(1)求y1+y2;(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求该定点的坐标.分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义.(2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解:(1)a2,b,c5,e.根据双曲线的第二定义,可得:AFe(y1-)ey1-ay1-2,CFe(y2-)ey2-ay2-2,BFe(6-)6e-a6-2=3.又AF、BF、CF成等差数列,AF+CF2BF,即(y1-2)+( y2-2)23,y1+y212.(2)证明:设x1+x2t,则线段AC的中点为(,6).-1, -1.-0,(x1+x2).线段AC的垂直平分线的斜率k-,从而其方程为y-6- (x-),即(y-)t+3x0,显然它过定点(0,).点评:涉及焦半径问题往往考虑第二定义,一般来讲,双曲线-1上一点P(x1,y1)的左、右焦半径长为PF1(ex1+a),PF2(ex1-a)(其中P在右支上取正号,在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线-=1(a0,b0)左、右焦点分别为F1和F2,P是它左支上点,P到左准线距离为d.问:是否存在这样的点P,使d,PF1,PF2成等比数列,说明理由.分析 对于存在性问题,先假设存在满足题意的对象,然后结合题设条件进行判断.设存在P(x0,y0)且x0-a,使d,PF1,PF2成等比数列,则PF12=dPF2,设d为P点到右准线的距离,由双曲线第二定义得:=e PF1=ed,(ed)2=ded,ed=d,e(-x0)=-x0+,x0= x0-a,-a,e2-2e-10,1-e+1,又e1,1e+1.故当双曲线的离心率e(1, +1)时,存在满足条件的P,而当e(+1,+)时,不存在满足条件的点P.注:利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式PF1+PF2F1F2求解,请同学们自己完成.例2 如图,已知梯形ABCD中,AB=2CD,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当()时,求双曲线离心率e的取值范围.分析 如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系,则CDy轴.因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意,记A(-C,0),C(,h),E(x0,y0,)其中c=AB为双曲线的半焦距,h是梯形的高.由定比分点坐标公式得x0=,y0=-=1, ()2-()2=1由式得=-1把式代入式,整理得(4-4)=1+2故=1-由题设 得1-.解得 e.所以双曲线的离心率的取值范围为,.注:本例先求出C点纵坐标,用a、b、c表示,然后将E点坐标用表示,并代入双曲线方程,而得到含有e与的等式,由范围求出e的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M、N,点M的坐标为(-2,-12),点S(-7,0)、T(7,0)在双曲线.(1)利用双曲线定义,求点N的轨迹方程;(2)是否存在过P(1,m)的直线与点N的轨迹有且只有两个公共点A、B,且点P(1,m)恰是线段AB的中点?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.分析 (1)设点N的坐标为(x,y),它不同于点M(-2,-12).由双曲线定义知SM-SN=TM-TN0S(-7,0),T(7,0),SM=13,TM=15.1当SM-SN=TM-TN时,有TN-SN=214=ST,点N的轨迹是中心在ST的中点(0,0),焦点为S、T的双曲线C的左支,除去M(-2,-12)和D(-2,12)两点.双曲线C的方程:x2-=1(x0).点N的轨迹方程为x2-=1(x0,y12).2当SM-SN=-(TM-TN)时,有TN+SN=2814=ST,点N的轨迹是中心在ST的中点(0,0),焦点为S、T的椭圆Q,除去M(-2,-12)和D(-2,12)两点.椭圆Q方程:+ =1.点N的轨迹方程为+=1(y12).综合1、2,点N的轨迹方程为x2-=1(x0和+=1,其中y12.(2)1当过点P(1,m)的直线的斜率k不存在时,直线l的方程为x=1,可得m=1.2当k存在时,设直线l:y=kx+m-k.若l过点M或点D.两点M、D既在双曲线C上,又在椭圆Q上,但不在点N的轨迹上l与点N的轨迹只有一个公共点,不合题意;若l不过M、D两点.当-4k24时(双曲线C的渐近线方程为y4=0),利用图像知,直线l与点N的轨迹有三个公共点,不合题意.当-k-4或4k+时,直线l与点N的轨迹有两个公共点A、B,且点P(1,m)是AB的中点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则在3x21+4y21=1249,3x22+4y22=1249,-,得3(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2)将x1+x2=2,y1+y2=2m, =k代入,得k=-.当4k+,即4-+时,有-m0.【知识验证实验】1.已知双曲线2x2-y2=2,试问过点N(1,1)能否作一直线与双曲线交于C、D两点,且使N为CD的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程,如果不存在,则说明理由.将问题一般化:N(x0,y0),双曲线方程为-=1,若过点N的双曲线的中点弦存在,则N点应在什么位置?其方程又为何?2.点P是双曲线-=1右分支上任意一点,F1,F2分别为左、右焦点,设PF1F2=,PF2F1=,求证:3tan=tan.解:在PF1F2中,利用正弦定理及分比定理得=,=,即2sin=sin,展开并简化,得3sincos=sincos,3tan=tan.【知识探究学习】舰A在舰B的正东6km处,舰C在舰B的北偏西30且与B相距4千米处,它们准备围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号,4s后B、C同时发现这种信号,A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1km/s,炮弹的速度是km/s,其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高,问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解:取AB所在直线为
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