圆的一般方程教学案例.doc

圆的一般方程教学案例方井兰 王冠军 东平明湖中学圆的一般方程教学案例 东平明湖中学 方井兰 王冠军教学目标 1讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径 2能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质 3通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程生：(xa)2+(yb)2=r2师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的生B：缺少条件A2+B20师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？ (书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式)展开整理而得到的想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得 x2+y22ax2by+a2+b2r2=0令D=2a，E=2b，F=a2+b2r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A：不一定还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？ (放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书) 1当D2+E24F0时，比较()式和圆的标准方程知：(*)式表示以 2 3当D2+E24F0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形教师总结：当D2+E24F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对它是关于x、y的特殊的二元二次方程师：特殊在什么地方？ (通过争论与举反例后，由教师总结)师：1x2，y2系数相同，且不等于零 2没有xy这样的二次项 (追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件师：还缺什么？生：D2+E24F0练习：判断以下方程是否是圆的方程：x2+y22x+4y4=02x2+2y212x+4y=0x2+2y26x+4y1=0x2+y212x+6y+50=0x2+y23xy+2y+5y=0x2+y212x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径生：生B：不用死记，配方即可师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择四例题讲解例1求过三点的圆的方程； 分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆解：法一：设圆的方程为，三点都在圆上，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：解之得：所以，所求圆的方程为法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：法三：也可以设圆的标准方程：将点的坐标代入后解方程组也可以解得例2已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（）于是，有因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即（）将（）式代入（），得，整理得所以满足的关系为：其表示的曲线是以为圆心，为半径的圆说明：该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式五、小结注意一般式的特点：1x2，y2系数相等且不为零；2没有xy这样的项； 3D2+E24F0另外，大家考虑：D2+E24F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式如D、E确定了，则与F的变化有关六、作业： 1求下列各圆的一般方程：过点A(5，1)，圆心在点C(8，3)；过三点A(1，5)，B(5，5)，C(6，2) 2求下列各圆的圆心坐标和半径：x2+y22x5=0x2+y2+2x4y4=0x2+y2+2ax0x2+y22by2b20设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的