数学与地图学的巧妙结合_一个研究性课题的开发.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 数 学 与 地 图 学 的 巧 妙 结 合 一个研究性课题的开发 重庆师范学院数学与计算机科学系 杨慧娟 社会的进步使人们与世界的联系越来越紧密 中 国加入WTO也使得更多的中国人有机会去了解世 界 而我们每天所得到的大量信息都来自于地图 如汽 车 飞机 轮船的航线 天气预报 人口分布等等 小到 一张市区图 大到世界地图 都成了人们出行必备的工 具 会看地图 分析地图 根据地图做出决策 无疑也应 成为现代公民的必备素质 教育则责无旁贷地应该从 小培养学生这方面的素质 本课题通过调查研究地球上水域面积的百分比 把数学与地图学联系了起来 在整个活动中 学生会逐 渐熟悉不同的地图投影具有的不同性质 会了解期望 值及随机模拟试验在估算中的威力 感受数学在地图 学中的应用 背景知识 地球表面是一个近似的球面 而地图则是一个平 面 要把曲面展开为平面 就必然发生裂缝或重叠 为 了消除裂缝或重叠 就需要在裂缝的地方予以伸展 在 重叠的地方予以压缩 这样就使图形产生了变形 误 差 如 地图1 Mercator投影 这种投影方式对长度 和面积引起的变形都是很显著的 距离变形和面积变 形都是从赤道向两极增大 但是 由于它具有各个方向 均等扩大的特性 这样就保持了方向和相互位置关系 的正确性 地图2 Robinson投影 这种投影的变形性质 接近于等面积的任意投影 面积变形和角度变形都较 小 地图3 Mollewide投影 这种投影的整个投影 椭圆面积等于全球面积 故本投影具有等积的优点 但 投影边缘部分的角度和长度变形是非常大的 所以 没有一种地图是地球的最好代表 因为这种 转换信息的方式是把球面上的信息转换到平面上 所 以必然使球面上的某些特征遭到一定程度的破坏 因 此 制图者必须根据地图的目的使得所需要的信息达 到最小程度的破坏 不同的地图在保持或破坏地球表面的某些特征 时 必然以数学知识为基础 虽然这些数学知识超出了 初中生或高中生的认知范围 但是那些与他们有关的 解释或对他们的影响并没有超出他们的认知范围 适合的年级 7 9年级 目的 让学生调查研究不同的地图投影会使地球表面的 某些特征产生畸变 以地球的四种不同的表示为基础 学生可以用随机模拟试验的方法来估算地球上水域的 百分比 另外 通过随机模拟试验学生可以练习在坐标 平面上画图 思考自己的估算能力 教师也可以鼓励学 生思考不同的地图投影可能影响人们观察世界的视 野 材料 地球仪 透明图纸 三张不同投影的地图 前期准备 学生要熟悉笛卡儿 Cartesian 坐标系上的点 熟 悉随机样本和蒙特卡罗 Monte Carlo 模拟试验 因为 活动过程中会引出这些问题 表1给出了蒙特卡罗法 的详细解释 1 利用地球仪估算地球上水域的面积百分比 如果同时考虑面积 距离 方向 形状 地球仪是地 球最精确的代表 要估算地球上水域的面积百分比 地 球仪无疑也是最好的工具 目标 表1与表2所讨论的目标是让学生研究地球的特 征 计算水域的百分比 引入 随机模拟试验 作为一种 估算方法 对于用不同投影的地图估算出的百分比而 言 用地球模拟的结果为以后的估算提供了一个基点 过程 首先提问学生是否知道或是否能猜出地球上水域 的百分比 鼓励学生讨论估计这个百分比的方法 在这 个前提下 教师可以引入期望值与随机模拟试验的概 念 例如 教师可以与学生讨论如果把一枚硬币抛很多 次 落到地面上时 他们希望的结果是什么 正面朝 上与反面朝下的次数比 如何利用这个期望值来进行 估算 为了为随机模拟试验作准备 教师可以让学生准 备一支笔 让笔在地球仪上随机点击 然后记下击点落 在水域还是陆地 把数据记在表1中 在这些数据的基 础上计算落到水中的点数占总点数的百分比 这个结 果使得水域所占地球面积的百分比有了一个估计值 如果有几个地球仪 学生可以分成几个小组 每组 6 教材 教法 学法 中学数学教学参考 2002年第6期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 一个人做记录 全班的数据合起来 这样就可以在短时 间内得到更多的数据 以提高效率 地球表面大约有70 被水覆盖 随机模拟试验应 该有一个合理的估计 但学生不能局限于标准答案 教 师应该鼓励学生去计算他们所得到的实际的百分比 另外 教师可以告诉学生利用表2计算陆地的总面积 如果假设地球是一个球体 他们就能够利用地球的半 径或直径来估算地球的表面积 球体的表面积公式 S 4 r2 利用这些计算可得出水域面积的百分比与 陆地面积的百分比 学生可以比较随机模拟试验得到的结果与期望 值 真实值之间的差异 师生可以讨论随机模拟试验所 带来得估算结果的多样性 讨论如果重复试验 结果会 怎样 2 利用不同投影的地图估算水域面积的百分比 目标 让学生利用三种不同投影的地图来估算地球上水 域面积 学生可以为每一张地图创造一个坐标系 在不 同投影的地图上随机点击 把通过地图所得到的估算 值与前面用地球仪所得到的估算值进行比较 学生可 以判断不同的投影所产生的不同结果 过程 为了更有效地收集数据 学生可以以小组的形式 来研究 一个人作试验 另一个人记录点的位置 教师 可以给不同的小组以不同的地图 或者让每一个小组 研究所有的地图 依据时间的多少来定 鼓励学生思 考不同的投影是否会引起估算结果的不同 为什么 随着讨论的深入 可以让学生思考如何在平面图中利 用他们已经学过的 随机模拟试验 法 如何在这些投 影中确定点的位置 学生可能提出投针法 这时候 教 师应该解释投针法的非随机性 因为瞄准的能力将影 响针的落点 但是 投针法是一个最基本的方法 如果 要讨论如何投针才是随机的 就是一个很好多引入 即 可以利用坐标系统 随机选择方格上的点 为了给地图建构一个坐标系统 学生可以把透明 的图纸叠加到地图上 在地图上创造一种绘点的方式 用合适的坐标值标在透明图纸上 试验结束后 让学生比较每一张地图所产生的数 据 然后讨论他们的结果 当他们自己的数据与精确值 相比较时 给出差异的合理解释 另外 由于不同的小 组使用不同的地图这还可能引起一场 正确与错误 之 争 计算一个不同估计的平均值来确定估算值的中心 讨论估算值的分配 例如 界限与范围 这也可能引 起中心有限定理的讨论 由于这是一个开放性课题 所以没有固定的答案 但是我们可以期望某个趋势出现 对这些趋势的可能 解释 以及在什么情况下它们将发生 如地图1 Mercator 投影 所示 从赤道到两 极 对面积的破坏程度 越来越大 例如 在地球 的南部 南极洲 陆 地的面积比应有的面积 要大 的 多 同 样 在 北 部 格陵兰岛 丹麦 有 它实际应有面积的三 倍 所以 Mercator投影 使得陆地的面积增大 因此 水域的百分比就会被低 估 地图2 Robinsin投 影 是一个折中的投影 虽然它不保持面积的比 例 但对面积 距离 方 向等的破坏程度都比较 小 所以从Robinsin投 影还是能给出一个合理的估算值 因为所有的性质都 是折中的 因而减少了误差 最精确的估算应该来 自地 图3 Mollweide投 影 因为它保持了所有地 区原有面积的比例 当然 无论使用那种投影的地 图 所有的估算都避免不 了 样本误差 Mercator投影给学生提供了一个学习样本误差的 机会 如果击点总是落在赤道附近 水域面积百分比的 估计就会接近精确值 因为地图1在赤道附近面积比 例保持的很好 但是如果击点落在两极的比较多 则估 计值就会与精确值相差很大 考虑到这种可能性 让学 生保留纬线的痕迹也许会让学生有意外的收获 学生 可以利用Y轴把地图平均分成三部分 北部 中 部 南部 然后 不仅可以记录击点落在水里还是陆地 上 还可以记录击点落在那一部分如表3 得到这些数 据后 在不同的估计中 学生可以作出不同的猜想 至于意外的收获 可能比较适合于统计课 学生可 以检验他们从地图中所得到的估计值与假设的70 有多大的差别 例如 学生可能假设在地图1中 水域 的百分比小于70 在地图3中 水域的百分比的假 设也可能不是70 学生可以利用抽样技术或另外的 检验方式如Z 检验来检验这些假设 另外 在这个过程中 教师可以介绍有关概率论的 教材 教法 学法 中学数学教学参考 2002年第6期 7 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 起源 掷硬币试验 蒲丰投针问题与几何概率等历史事 实 这样可以使学生对人类把握随机现象的历史进程有 一个了解 对于进一步学习与发展有一定的激励作用 结论 通过调查研究 学生可以学会根据不同的目的选 择不同的地图 如航海图 航空图 天气图 洋流图等都 要求方位准确 应选地图1 Mercator投影 行政区划 图自然或社会经济区划图 一般要求面积准确 并反映 出信息的面积对比关系 应选择地图3 Mollweide投 影 有些地图则要求各种变形都不太大 如教学地图 宣传地图等 则可用地图2 Robinsin投影 所以 地图 的选择要根据具体目的来定 这个课题让学生把数学与现实世界 社会生活和 其他学科知识联系起来 使学生进一步体会数学知识 以及数学与外界的联系 从事资料收集 试验 研究的 过程有助于提高学生的实践能力与创新意识 更重要 的是 学生会逐渐学会从统计的角度思考与数学信息 有关的问题 通过收集数据 描述数据 分析数据 然后 作出合理的决策 认识到统计对决策的作用 对数据的 来源 处理数据的方法 以及由此得到的结果进行合理 的质疑 在试验 交流 讨论的过程中 又有利于培养学 生科学严谨的态度与良好的情感目标 附录 表1 估计地球上水域的覆盖率 11 猜想地球上水域的覆盖率 21 与你的同学讨论你将如何去估算 检验你的猜 想 如果同时考虑面积 方向 距离 形状 地球仪是地 球的最精确的代表 因此 地球仪上所显示的水域的百 分比也是实际水域百分比的最精确的估算 在这个活 动中 你可以利用地球仪来估算地球上水域面积的百 分比 这个结果将作为其他估计值的基点 像Monte Carlo模拟试验那样 按以下步骤 利用 随机模拟试验得到一个随机的结果作为基点 识别模型用地球仪来代表地球 进行实验用准备好的笔在地球仪上随机点击 记录数据 向小组其他同学宣布击点是落在 陆地上还是水中 把数据信息记录 在下表 重复实验 重复实验 得到足够多的数据来进 行估算 期望值计算 利用数值计算出击在水中的点的 百分比 31 利用下表做记录 落在水中的点落在陆地上的点 4 利用从模拟试验中得到的数据计算落在水中的 点或落在陆地上的点的百分比 51 从这些信息中 你能得到什么结论 61 把这个结论与你最初的猜想作比较 表2 研究大陆的面积 下面给出了七大洲的估算面积 与你的同学讨论 七大洲的相对面积 1 你认为哪一个洲的面积最大 哪一个洲的面积 最小 21 通过七大洲的面积相对关系完成下表 洲 名面积 平方千米 30 065 000 13 209 000 7 687 000 44 579 000 9 938 000 24 474 000 17 819 000 地球半径12 756千米 31 利用上表数据计算地球水域的面积 地球近 似于球体 球体的面积公式 S 4 r2 41 与你的同学一起把从问题3中得到的结论与 从模拟试验得到的结论相比较 它们接近吗 如果不 接近 解释差异 表3 11 在地图1中 如果所有的击点都落在下列区 域 水域的百分比将会怎样 1