附有系統參數之平差模式觀測量方差估計.doc

國立台灣大學土木工程研究所民國94年(碩士)學位論文摘要附有系統參數之平差模式觀測量方差估計Estimations of Variances of the observables for the Adjustment Models with Systematic Parameters研 究 生：張雅玲指導教授：許榮欣摘 要本研究提出在系統誤差殘留的網形中，以附加系統參數方式進行平差求解時如何以觀測量品質進行方差估計，獲得網形最佳權值，並透過統計檢定技巧測試引入系統參數之顯著性。研究中以台灣一等一級水準網(2001) 為例，檢測出該網形中有三條測線其殘留系統誤差具顯著性，且估計未知水準點高程確會受到殘留系統誤差之影響，故文末提出以附加三個系統參數之平差模式重新運算，以獲得較接近真實狀況之水準網成果。ABSTRACTThis research brings forth the estimations of the variance-covariance components for the observation equations with systematic parameters. The proposed technique enables a more appropriate weight matrix to be formed for the network and hence more proper estimates for the unknown parameters, systematic and nonsystematic as well. The experiments indicated that there were systematic errors remained in the three leveling lines of the First-Order class I leveling network of Taiwan (2001), and that the effects due to the systematic errors on the elevations and their precisions were eliminated by adding correspondingly three systematic parameters to the three lines of the Taiwan network.關鍵詞 Keywords系統誤差 systematic parameters 方差分析 estimation of variance-covariance components一、 前言近年來因製作量測儀器之技術提高，大大提昇了測量成果之精度，因此以往常被忽略之微小系統誤差量，如今卻是舉足輕重，在測量成果品質要求不高之狀況下，可將殘留之系統誤差視為偶然誤差，進行未知參數解算，但此法卻不適用於今日精密水準測量之要求。自1970年以來國內外之大地測量學者為提昇水準測量之精度，於國際性研討會中針對水準測量的野外作業、資料化算、誤差傳播、平差之數學模式等提出新的見解，如在解算未知參數前，先以線性迴歸模式估計系統參數修正值，將觀測量加以修正後再行解算未知參數；抑或在平差數學模式中納入系統參數，將系統誤差與未知參數一併加以估計，欲使系統誤差對網形之影響量降至最低高書屏等,1996。此外測量精度除受殘留系統誤差之影響外，不當之加權模式亦是導致精度降低之原因，權模式給定不當可能使精度較差之觀測量足以影響整體網形之精度。因此陸續有學者提出依據觀測量品質定權之理論，Rao(1971)則依據網形幾何結構與觀測量品質希望得到最佳各觀測量間方差與協方差估值值，進而建構合理之加權模式，另外Horn等(1975)則是針對Rao之方法加以簡化，僅針對觀測量方差估計建立加權模式，惟前述理論均成立於平差模式中未殘留系統誤差，因此當系統誤差無法完全改正之情形下，在引入系統參數之平差模型中，如何利用觀測量品質進行方差分析建立合理加權模式，同時推估未知參數與殘留之系統誤差為本文主要探討之課題。二、 附有系統參數之最小範數二次無偏估計法最小範數二次無偏估計法(MINQUE)為用以估計觀測量方差與協方差之演算法，其方式為利用二次型估計線性方程式，但前提為平差模式中未殘留系統誤差之情形下。當平差模式中含系統參數時，其演算法之推導略有不同，當平差模式附加系統參數時觀測方程式可寫為 (1)式中X：為未知參數。 Y：為系統參數。 A：為設計矩陣。 H：為矩陣。 矩陣A、H皆為滿秩矩陣。假定所有觀測量可分為 k類，則其協方差矩陣可寫為 (2)：表未知方差與協方差分量。 ：表已知對稱矩陣。為了將MINQUE應用於含系統參數之平差模式中，故將(1)式改寫如(3)式 (3)附有系統參數MINQUE理論中為得到之最佳估計，仍須滿足相同的三項限制：1不變性(invariance)、2無偏性(unbiasedness)、3最小範數(minimum norm)。 (4)為上列符合三項限制，矩陣M需同時滿足1. 及 2. 3. 經整理後得，向量m可由(5)式解得 (5)式中 且 在附有系統參數之最小範數二次無偏估計法中，最重要之求解因素為K矩陣，但K矩陣之取得需經由最小二乘平差之成果，在計算前需給定近似值。因此在實務中經由(3-17)式解得之方差與協方差估值，會因近似值之給定及迭代之步驟而產生偏差。三、 附有系統參數之迭代近乎無偏估計法附加系統參數之MINQUE法為用以估計方差與協方差元素之理論，可將其步驟加以簡化僅針對方差元素進行估計，即為附有系統參數之迭代近乎無偏估計法（IAUE）。IAUE不直接求解方差分量估值，改以估計方差因子，並藉由正確估計之方差因子獲得所需之方差分量。假設方差真值與方差估計值間關係為 (6)上式中，為尺度因子（scale factor）。起始之方差矩陣可表示為 (7)式中 為之單位矩陣。 , ：表單位矩陣。因為非隨機變數，因此 (8)因WA0，可得 (9) (10)由上兩式可得 (11)且(8)式等式右項第二部分為零，於是(8)式改寫為 (12)因 ， (13)若系統參數可忽略則H0，(3)式可省略為 (14)於是 (15)式中 ，V為改正數向量矩陣。 為之協方差矩陣。 為V之協方差矩陣。 ，為等冪矩陣（idempotent）。 ， (16)為第i組之對角線元素和，亦等同於無系統參數情形下第i組之多於觀測數。 (17)綜合(13)、(16)及(17)式，可得方差因子 (18)在(18)式中，可視為因加入系統參數後所減少之各組多餘觀測數。與未附加系統參數之IAUE法相同，本法亦會受限分組數目過多之影響，導致解算尺度因子無法收斂，不同的是本法在平差模式中引入系統參數，更加減少各組之多餘觀測數，故於採用本法前需審慎考慮是否有引入系統參數之必要性。四、 實驗研究與成果本文採用台灣一等一級水準網（2001）為實驗資料，該水準網共26條測線，17待定高程節點，整體網形自由度為9，並以基隆市民族英雄墓內之K999水準點（5.66883m）為基準點，水準網布設情形如圖1。相關水準網之觀測資料已先經過系統誤差改正處理如鐵墊滑動、水準尺溫度改正及折射誤差等，水準網中各測線節點、高程差、測線長度等資料詳列如表1。最後以附有系統參數迭代近乎無偏估計法與定相關加權法及傳統平差法作比較。圖1 台灣一等一級水準網(2001)路線圖鄞守毅，2004表1 台灣一等一級水準網(2001)測線資料鄞守毅，2004測線編號S(km)*起始方差m ()高差（m）測段數擺站數1233.180.48311.213821174418273.680.51110.4789939142433.920.33813.188542724113.100.402651.884916225645200.980.808837.066531085594638.230.174716.5320218738728.750.5006-37.1802014532843.420.271598.3795821830951.000.60598.237782613001018.810.3414-90.14947114641166.980.5014124.767083212601284.480.2757-4.269154518781345.070.5435-219.174612311901413.901.065732.7341272721566.490.5194-254.104333312781647.280.5867-2.17479279161763.840.5749430.024663314101821.060.5556-441.33590144801953.290.5715-433.203092811702023.470.12237.17840114302134.250.35490.9556815670228.790.10010.94981519823161.210.3503-7.8257278290224178.000.43488.6823788318825136.390.1338-1.8088268247626212.840.6240263.585231075704*註：各測線起始方差，其中n表第i測線內之測段數，表第k測段之閉合差（mm）, 表第k測段之長度（km）。 4-1迭代近乎無偏估計法將觀測量依地形起伏區分高山、丘陵、平地三組，起始方差估值以各組方差之平均值給定，分組結果如表2。表2 依地形起伏分三組之分組表組別地形起始方差估值測線編號個數A平地1,2,6,7,9,12,16,17,20,23,24,2512B丘陵3,4,8,10,11,13,14,15,19,21,2211C高山5,18,263實驗中系統參數設定根據自相關係數r(autocorrelation)值而定，當 0.3 表示測線內各測段可能因殘留系統誤差造成相關性。依表3各測線自相關係數值呈現測線1、測線3、測線18、測線21、測線22等五條測線為殘留系統誤差之測線，因此設置5個系統參數表示之，觀測方程式中各的相應係數皆設為1，另因本網自由度為9，故系統參數個數之上限為8。 利用（18）式進行迭代運算後，以5顯著水準進行t統計檢定僅測線1、測線3及測線21等3個系統參數具顯著性，統計檢定成果如表4。由表5可見迭代運算過程至第9次時尺度因子趨向穩定，此時可獲得各組最佳方差估值,。表3 各測線lag-1的自相關係數鄞守毅,2004測線編號r (自相關係數)Lag10.813812-0.278713-0.5000140.0438150.197116-0.142117-0.1652180.1714190.19161100.13031110.08631120.03241130.1680114-0.1228115-0.0061116-0.0683117-0.19061180.6104119-0.1559120-0.24931210.4066122-0.5369123-0.08331240.05551250.18181260.20791表4 系統參數之統計量t統計量（）系統參數2組3組y1 (測線1 )-6.15891-6.62542y2 (測線18)2.770394.98540y3 (測線21)9.119907.68123表5 依地形起伏分三組之迭代過程迭代次數123450.98486562 0.98399148 0.99749466 0.99944060 0.99987398 1.01457403 1.01686664 1.00572040 1.00134468 1.00030916 0.60051256 0.95509337 0.99200990 0.99821875 0.99959266 3.36352 3.51055 3.49265 3.48750 3.48629 3.93500 4.07788 4.11984 4.12989 4.13220 1.70147 1.41157 1.38751 1.38261 1.38151 0.80296 0.84827 0.84586 0.84505 0.84486 1.68370 1.74710 1.75900 1.76170 1.76240 0.51332 0.40459 0.39515 0.39321 0.39277 迭代次數67890.99997141 0.99999349 0.99999851 0.99999966 1.00007078 1.00001620 1.00000371 1.00000085 0.99990652 0.99997855 0.99999508 0.99999887 3.48602 3.48595 3.48594 3.48594 4.13273 4.13285 4.13288 4.13289 1.38125 1.38119 1.38118 1.38118 0.84482 0.84481 0.84481 0.84480 1.76250 1.76250 1.76250 1.76260 0.39267 0.39265 0.39265 0.39264 4-2 定相關加權法定相關加權法權值給定根據表3自相關係數之依據為 （19） ，表第i條測線之方差。根據附有參數之迭代近乎無偏估計法之結果，除測線1、測線3及測線21外將其餘測線r值設置為0，進行平差運算計算（未知參數17個）。將上述兩法之高程估值與點位標準差，詳列如表6。表6 各節點高程估值及精度高程估值（m）點位標準差(cm)點號附有系統參數之迭代近乎無偏估計定相關加權模式附有系統參數之迭代近乎無偏估計定相關加權模式15.66883 5.668830.000000.0000026.14782 6.14784 0.80422 0.68085 39.33636 9.33638 0.83413 0.69546 458.03273 58.03278 1.43550 1.04526 520.85253 20.85181 1.52090 1.12322 6119.23511 119.23317 1.61550 1.17496 729.08783 29.08498 1.61040 1.18303 8243.99903 243.99733 1.73250 1.25076 924.81880 24.81689 1.73000 1.25255 10276.73423 276.73309 1.75800 1.27431 1122.63994 22.63661 1.78230 1.29427 12452.66588 452.66185 1.88360 1.37510 1319.46430 19.45844 1.94970 1.40171 1418.50300 18.50855 1.95540 1.40118 1511.32507 11.33009 1.96220 1.39784 1613.13662 13.13951 1.90190 1.37192 1720.97090 20.97312 1.91500 1.38712 184.43915 4.44303 1.91920 1.41319 1.00000.938911.157980.73234(平均點位精度)1.70073 1.31944 *註：，估計參數之協方差矩陣， u為網形中未知參數個數。 由表6可見，兩法之高程估值差異量在1mm以下，但在配置有系統參數測線之節點上具較大差異性。另兩者所得之點位精度雖以定相關加權法較高，但由陶本藻(1986)提出引入系統參數會改變最小方差特性，而附有系統參數之迭代近乎無偏估計中因平差模式增加三個系統參數，故點位精度較差實為合理之成果。但因引入3個系統參數經統計檢定具顯著性，該水準網確有測線殘留系統誤差，故推論以附有系統參數之迭代近乎無偏估計所得之高程估值較接近真實地表。五、 結論與建議採用附有系統參數之迭代近