热力学与统计物理(IMU) 之八(3.3).pdf

2006 10 16 统计热力学教案 3 2 2 时 3 3 近独立粒子的麦 玻分布 3 3 近独立粒子的麦 玻分布 Maxwell Boltzmann Distribution for Quasi Independent Particles 麦 玻分布 最概然法 经典麦玻分布 麦玻导出正则分布 麦 玻分布 最概然法 经典麦玻分布 麦玻导出正则分布 1 麦 玻分布 1 麦 玻分布 Maxwell Boltzmann Distribution 作为一例 考虑 N 个性质相同的可分辨粒子可分辨粒子组成之封闭 系 我们来导出其粒子 按能级 的平均分布粒子 按能级 的平均分布 设体系有 N 个相同粒子 选其中之一 不妨视之为粒子 1 为代表 求其处于某态的平均概率 对各粒子有相同结果 以 1 2 j 标记单粒子态 记 i 粒子占据 j 态时能量为 ij 系统态 s 的能量可写为 Nlkjs E L 21 假定系统为封闭系 根据正则分布 态 s 出现的概率为 s E s e Z 1 因各粒子对状态的占据是独立的 粒子 1 处于j态 不问 其它粒子处于何态 的概率为 s对其它粒子求和 j N jk kE j j j Nkj Nk j s e e e ee e Z P 1 1 21 2 1 1 1 1 l L l L l l L L 略去下标1 便得任一粒子处于j j态的概率态的概率 j e z Pj 1 其中 j j ez 这个概率是一个平均概率 这个概率是一个平均概率 z 称为单粒子配分函数单粒子配分函数 第第j j个单粒子态上个单粒子态上的平均粒子数平均粒子数则为 注意 注意 这里的j 是态指标 因此 不涉及简并 j e z N NPf jj 若记 Nze 此平均数可写为 1 j ef j 记能级 l的简并度为 l 单粒子处于该能级能级的概率则为 l l l l e e P l l 式中 N z e l l l ez l l能级能级上的平均上的平均粒子数粒子数则为 l ea ll 麦 玻分布麦 玻分布 2 最概然 可几 法 2 最概然 可几 法 Most Probable method 上面导出的麦 玻分布 亦可由微正则系综直接导出 考虑孤立系 在体系粒子数和能量均确定的前提下 其粒 子还可以不同方式分布在各单粒子态 平衡态时 相应的分布 应是概率最大的分布 最概然 最可几 分布 最概然 最可几 分布 记分布于能级 l上的粒子数为al 相应分布为 al 它包 含 包 含的微观态数为W al 让我们写出它的表达式 如果 l 能级的简并度为 l 能级上al个粒子填充入 l个态 的不同方式应有种 计入所有能级 总的填充方式数为 l a l l a l l 注意到粒子可分辨 交换不同能级上的粒子带来不同的微观 态 因此微观态总数还应乘以这个交换数交换数 l l a N 最后得给定分布 l a的微观状态数 同能级粒子置换数 粒子置换总数 l a l l l l a N W 根据等概率原理 最大概率的分布 最概然分布 即态数W最 大的分布 它应满足极值条件 0 l aW 2 注意到lnW与W的正关系正关系 我们考虑lnW的极值条件 即 0 ln l aW 应当注意应当注意 这里al的变化并不是任意的 受到孤立系约束 条件 Confinement conditions 体系的粒子数 和能量写为 0 l l aN l l aN l lla E 0 l ll aE 的限制 是一个条件极值条件极值问题 可以用拉格朗日 Lagrange 未定乘子法 拉格朗日 Lagrange 未定乘子法求解 引入未定乘子 和 条件极值方程为 0ln ENW 用斯忒令 Stirling 公式 设 可写 1 1 l aN lll lllll aaaaNNNW lnlnlnln 代入条件极值方程得 0ln l ll l l a a 此方程成立必有 l a 的系数均为零 0ln l l l a 即 麦 玻分布 麦 玻分布 能级简并情形 l ea ll 式中的未定乘子由守恒条件 和 l l aN l ll aE 确定 应当注意 应当注意 1 麦 1 麦 玻分布玻分布 是粒子 或子系 是粒子 或子系 的分的分 布 不是系统 系综布 不是系统 系综 的分布 的分布 z z与与Z Z不同不同 2 2 推导时已略推导时已略 去全同性 去全同性 认认为粒子可为粒子可 以分辨 以分辨 由 得 l l l eN z e 其中 粒子配分函数 l l l ez 由 计算具体系统 如理想气体 的能 量可以确定未定乘子 l ll l eE kT 1 k为玻尔兹曼常数 粒子处于 l 能级的概率则为 l l l l l l e e P 3 3 麦 玻分布导出正则分布 3 麦 玻分布导出正则分布 M B Distribution to Canonical distribution 将封闭系看成是完全相同的子系组成的大孤立系之子 系 这相当于前述大热库是由与封闭系相同的系统构成的 将子系看作孤立系的粒子 麦 玻分布则给出封闭系在 态的概率 s s E s e Z 1 正则分布正则分布 s Es eZ 为配分函数 由以上推导可见 正则分布等价于微正则分布中子系的最 概然 最可几 分布 由以上推导可见 正则分布等价于微正则分布中子系的最 概然 最可几 分布 4 经典麦 玻分布 4 经典麦 玻分布 Classical Classical Maxwell Boltzmann Distribution 在经典极限下 可用 空间的小体积代表单粒子态 将空 间划分为相格子 由对应关系体积元 l内的单粒子态数为 r l h 用它代替 l 立即写出体元 l内的平均粒子数为 r l l h ea l 约束条件写为 r l l h eN l r l l l h eE l 粒子配分函数为 r l l h ez l 上面各式的求和即相格子相加 可用积分计算 写出 d l l LL d内的平均粒子数内的平均粒子数为 rrppqq hde z N hdedN rr 11 LL 粒子配分函数为 d e h z r 1 这里 能量表达式也由 l变为 pq 的函数 作业 作业 3 3 补遗 补遗 1 1 最概然分布推导最概然分布推导 中 只用了一阶变分中 只用了一阶变分为为 零的条件 零的条件 这这在理论上在理论上 不能保证极大值的充不能保证极大值的充 分条件 分条件 进一进一步的计算步的计算 可证明 可证明 二阶二阶变分小于变分小于 零 所获点为极大点零 所获点为极大点 2 最概然 最可几2 最概然 最可几 法在数学上有严重缺法在数