基于工程应用的直齿圆锥齿轮啮合面的数学建模.pdf

2 0 0 6 年第7 期 设计与研究 文章编号 1 0 0 1 2 2 6 5 2 0 0 6 0 7 0 0 3 3 0 4 基于工程应用的直齿圆锥齿轮啮合面的数学建模 术 匡建新 汪新衡 朱可柯 1 湖南工学院 机械工程系 湖南 衡 阳4 2 1 0 0 8 2 南京航空航天大学 机 电学院 南京 2 1 0 0 1 6 摘 要 推 导基 于工程应 用的直齿 圆锥 齿 轮 啮 合 面 的数 学 模型 以 直齿 圆锥 齿轮 的 齿 形按 背锥 展 开 面上 的 当量 圆柱 齿轮 的齿 形加 工 为依 据 首 先推 导 出背锥展 开 面 映射 后 的 空 阃方程 而后推 导 出背锥 锥 面 方 程 并根 据 空 间方程 和锥 面方 程进 一 步 推 导 出啮 合 面 的数 学 方程 该 方程 的推 导 为锥 齿 过 渡 面 齿根 面 切 曲 线 方 程 和 几何 约 束 方 程 的 推 导 提 4 g 了理 论 依 据 它们 对 形 成 整 体 锥 齿 实 体 模 型 是 不 可 缺 少 的 该模 型 为锥齿轮 的设 计 数控 加 工程序设 计 以7 2 工程 分 析 包括接 触 分析 和 载荷 分 配 等 提 4 g 了理 论 基 础 关键 词 直齿 圆锥 齿轮 啮 合 面 数 学模 型 背锥 展 开 面 当量齿轮 中图分 类号 T H1 6 5 文献 标识 码 A Ma t h e ma t i c s Mo d e l i n g B a s e d o n T h e Ma t i n g S u r f a c e o f S t r a i g h t B e v e l Ge a r i n P r o j e c t A p p l i c a t i o n KUAN G J i a n x i n WAN G Xi n g h e n g Z HU K e k e 1 D e p t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e ri n g H u n a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y Hu n a n H e n gya n g 4 2 1 0 0 8 C h i n a 2 C o l l e g e o f Me c h a n i c a l a n d E l e c t ri c a l E n g i n e e ri n g N a n j i n g U n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s N a n j i n g 2 1 0 0 1 6 C h i n a Ab s t r a c t Th e i n f e r e n t i a l r e a s o n ing b a s e d o n t h e ma t h e ma t i c a l mo d e l o f s t r a i g h t b e v e l g e a r ma t i n g s u r f a c e in p r o j e c t a p p l i c a t i o n T a k e s t h e t o o t h p r o f il e o f s t r a i ght b e v e l g e a r a c c o r d ing t o u n f o l d s u r f a c e o f t h e b a c k o f b e y e l g e a r o n e q ui va l en t c yl ind r i c al g e a r s t o o t h pr o fil e pr o c e s s ing as t he b as i s I n s t i nf e r s t h e s pa t i a l eq ua t i o n of u n f o l d s u r f a c e o f t h e b a c k o f b e v e l g e a r a f t er ma p p i n g a f t er b u t inf e r s t h e c o n i c a l s u r f a c e equ a t i o n o f t h e b ack o f b e v e l g e a r a n d f u r t h er inf e r s t h e ma t h e ma t i c s equ a t i o n o f ma t ing s u r f ace a c c o r d i n g t o t h e s p a t i al equ a t i o n an d t h e co n i c a l s u r f ac e eq u a t i o n The eq ua t i o n inf eren t i a l r e a s o n ing pr o v i de s t h e t he o r y b as i s f o r t h e a wl t o o t h t r a n s i t i o n s u r f ace t h e t o o t h r o o t f ace c u t t h e equ a t i o n o f a c u r v e and t h e geo me t ry r e s t r a i n t equ a t i o n inf e r e n t i al r e a s o n ing t h e y are ess ent i a l t o for med t h e o v e r all a wl t o o t h ful l s c a l e mo c k u p T h e mo d e l p r o v i d e s t h e r a t i o n ale for t h e b e v e l g e a r d e s i g n t h e n u me r i c al c o n t r o l p r o c e s s in g p r o g r a mmi n g as we l l as t h e p r o j e c t ana l y s i s inc h d i n g c o n t act ana l y s i s and l o a d ass i g n ment and S O o n K e y w o r d s s t r ai ght b e v e l g e a r ma t in g s u r f ace ma t h e ma t i c al mo d e l u n f o l d s u r f a c e o f t h e b a c k o f b e v e l g e a r eq u i v a l en t g e a r O前 言 直齿 圆锥 齿 轮 在 机 械 行业 应 用 极 为 广 泛 其传 统 的加 工方 法 已 不 适 应 行 业 的发 展 利 用 C AD C AM 小 型 应用软 件 构建 其参 数化 实体 模 型 根据 三 维模 型 自 动 生成 和输 出 NC代码 在 数 控 机 床上 铣 切 齿 轮 将 极 大地 降低 工 艺成 本 和 劳 动 强 度 提 高 生 产 效 率 和 自动 化 程 度 收稿 日期 2 0 0 5 0 9 1 6 基金项 目 湖南 省教育厅 资助项 目 0 3 0 3 1 7 作者简介 Nt N 1 9 7 3 一 男 湖南祁东人 湖南工学院机械系讲师 主要从事机电一体化 机械工程 C A D C A M等研究 E ma i l K J X 7 3 1 2 6 e e o mo 33 维普资讯 设计与研究 组合 机 床与自 动化 加工 技术 国 内外学 者根 据 啮合原 理推 导 出啮合 面 的球 面 渐 开线 数学 方程 并在 球 面 三 角 学 的基 础 上 建 立 球 面 三 角学方 程 球 面渐 开线 啮合 面 虽 然满 足 啮 合 原理 但 其加工 复 杂 往 往 只有 理 论 意 义 工 程 上 却 很 少 应 用 并且计 算机 中的三维 造 型常 用 三维 矢量 方 程 工 程 上 广泛 采用 8字形 齿廓 格 里森 齿 制 等 是一 种 以平 面 冠 轮与 工件作 范成 啮合 运 动 而形 成 的 齿形 实 际上 我 们可 以用基 于背 锥展 开 面 当量 圆柱齿 轮 的啮 合原 理 来 阐明其齿 形生 成原理 1球 面 渐 开 线 齿 面 方 程 如 图 1所示 当 圆平面 在 基 圆锥 上 作纯 滚 动 时 其 圆周 上任 一点 J P的 运 动轨 迹 就 形 成 球 面 渐 开 线 当 圆平面绕 圆锥纯滚 动 到 图2位置 时 圆平面 上 的 B点 与 底 圆上 的 K点重 合 则 I D I I OA 1 0 0 v s i n b 1 图 1 球面渐开线的形成 图 2 圆平面的初始位置 图 2位置 圆 平面 的单位 法 向矢量 为 凡 c o s k c o s n c o s a k s i n v k n c o s a k s i n c 0 s 小一 c 0 s r 0一 r o x t a n x t a n 2 t an 西 其 中 一 D D 单 位 矢 量 一 圆锥 半 锥 角 一 圆 锥 高 一 DI K与 DI K 0夹 角 一 DB与 O A夹 角 同时 如 图 3所 示 圆平面 在 任意 位置 上 的单 位法 向矢量 为 3 4 图3 圆平面纯球面滚动到任意位置 O A 0B r OK I OA OB I n 1 0A I n s i nO u n s e c 6 s i n O 3 由 于 r j D c r n n 等 O K 4 但 r O K O A 0 曰 I O 4 I c o s O u s e c c o s O 5 r n 0 6 并 由式 3 得 r O K n lg 2 S e C b s i n O 7 将式 5 6 和 7 代入式 4 得 r c o s O O K s i n O O K n 8 又 由 于 O K u 1一C O S U k c o s v r 0 s i n v k r o 9 O K n c s c b 一u s i n v k s i n v r o c o s v k r o 1 0 整理 得球 面渐 开线 方程 r r u c o s O c o s O c o s v c s c b s i n O s i n v k c o s O c o s v c s c s i n O s i n v r 0 c o s O s i n v c s c b s i n O c o s v k r 0 1 1 2 背 锥 展 开 平面 的 空 间 映 射 方 程 由于球 面 渐 开 线 圆锥 齿 廓 加 工 十 分 困 难 工 程 上 很 少 采用 基 于直齿 圆 锥齿 轮 的啮 合原 理 圆锥 齿 轮 的 齿 形 可 按 背 锥 展 开 面 的 当 量 圆 柱 齿 轮 的 齿 形 来 加 工 其 当量 齿 轮 的 啮合 条件 就 是 圆锥 齿 轮 传 动 的 啮 合条 件 因而 基 于 背锥 当量 圆柱 齿 轮 的 啮 合 原理 推 导 出的啮合 齿 面是 符合 工程需 求 的 如 图4所示 设 背锥 平面 点 尸 矢量 D 尸 r O P 过 P点 的背 锥平 面 的圆弧 与 0 0 交 于 P 维普资讯 2 0 0 6 年第7 期 设计与研究 图 4 令 空间映射的各矢量 其 中 a b由式 1 6 定 义 艿为分 锥角 r rt a r Ic I b 1 2 j I k s i n8 一 k c o s 8 1 3 r a r t b k l a rt b k s i n8 一b n k c o s 8 1 4 r p a rt u s e c 8 b s i n8 k b n k c o s 8 1 5 故得 n r p l b 一 l k s e c 8 1 6 其 中 r p n 是 r D n k的三矢 积 Oi P k i n 8一 l k o s 8 1 7 将背 锥 展开面 附 贴 于背锥 面 设 P 为 P点 的对 应点 矢径 O P r p 过点 P 作 平 面 垂 直 于 圆锥 轴 线 并交 轴线 于 0 则 O 0 u s e c 8一 i ns k 1 8 Oe Pc 一 k c o s 8 1 9 设 y为 0 0 与 0 的夹 角 则 有 y s e c d S a r c ta n 詈 2 o 由式 1 9 和 2 0 得 0P P 0 P P c c o s y k 0P Pc s i n y 肺c o s 8 s i n s e c 8 r c n 詈 一 n k c o s 8 c s s e c 8 a r c t a n a 2 1 由式 1 8 和 2 1 可得 背锥 展开 面空 间 映射方 程 r p 0 D P 0 p P 肺c o s 8 s i n s e c 8 a rc Iar c n 詈 u s e c 8 一 n s i ns k一 k c o sS c o s s e c 8 a r c a n 詈 2 2 图 5 圆柱渐开线的形成 3 啮 合 面 方 程 如 图 5所示 圆柱 渐开线 方 程 为 r C O S U v s i n v r 0 s i n v U C O S U 丌 r 0 2 3 设 节圆 半径 为 r f l 节点 的 参数 为 齿 顶 圆半 径 为 r 齿顶 的 参数 为 矢 径 r 与 r 的夹 角 为 0 得 盈 r b 华 COS Vp 一 ves l nvP C O S O e 2 5 一 2 5 1 CO S Ua V a sl n v c o s O 2 6 2 6 1 设 背锥 展开 平 面 与 背 锥 面 切 于 齿 槽 中 心 即 图 4 中的 0 0 z为齿 槽 中心 分 度 圆齿 槽 宽对 应 的 中心夹 角 为 2 得 e 生 7r 2x t a n o l m 2 7 广 2 其 中 e 一 分度 圆齿 槽宽 d 一 当量 齿 轮分 度 圆直 径 m一 模 数 一 压 力 角 一 径 向变 位 系 数 r 一 切 向 变 位 系 维普资讯 设计与研 究 组合机床与自动化 j q r 技术 数 u 一 圆锥 齿 轮分锥 长 6 一 锥 齿 轮分锥 角 当量 齿轮 分度 圆半 径 r u t a m 当量基 圆半径 u t a n t c o s o t 并 由式 2 4 可 得 口 s i n o t 由 式 2 5 得 0 p 2 8 1 s i n O t 如 图 6所 示 设渐 开线 的起 始点 日 分 度 圆 与齿 槽 中心交 于 A 其 它空 间矢 量参 照图 4 得 图6齿槽的背锥映象 0 Ol B c o s to 一 o l A s i n to 一 仃 Oi Al I p 一U C O S t a nss i nsc o s t o P一 Jj t a nss i n to P一 n s i nsc o s to P一 n k 2 9 仃 0 U C O S t a nss i nss i n to p一 Jj 一t a nsc o s to P一 n s i nss i n to p一 n k 3 O 代入 式 2 3 得 以背 锥 锥 顶 为坐 标 原 点 的背 锥 切 面 渐 开线 方程 r b i nv U C O S l t a n ss i ns s i n to P一 s i n v V C O S V 一 C O S to P一 C O S Y v s i n v Jj 一t a n S s i n to P一 C O S Y v s i n v C O S to p一 s i n v V C O S V n s i nS s i n to p一 s i n v V C O S V 一C O S to P O p C O S Y v s i n v n k 3 1 将 Z看作 变量 同 理 可 得 以 节锥 锥 顶 为 原点 的 渐 开线 展开锥 面方程 r 1 正 O O I r 6 m l 正 k s e c t L C O S O t t a nSs i nS s i n to P一 s i n v V C O S V 一C O S to P一 C O S Y v s i n v k t a nS s i n to P一 C O S Y v s i n v C O S to 一 s i n v V C O S V n s i nS s i n to P一 s i n v V C O S V 一C O S to P一 C O S Y v s i n v n k 3 2 设 a u 一r u n b u r u n k s e c t 可 得 3 6 u c o s a t a nS 3 3 些 2 b u s i n to 案 s inv VCOSV to Op C O SY vsinv 一 一 一 cos 一 代入 式 2 2 可 得 基 于 背锥 当 量 圆 柱齿 轮 的 圆锥 齿 轮 啮合 面 方程 r 1 正 c n s e a rc ta n u se 一 丽i nS k 一 丽 n s s e 西 a rc ta n 3 5 其 中 和 ca 已 由式 2 8 和 2 7 定 义 4结 论 1 本 文 以背锥 展开 面 当量齿 轮为 依据 提导 的 直 齿 圆