导数的应用.ppt

第三章导数的应用 第一讲函数单调性 第二讲函数极值与最值 第三讲函数最值应用 第四讲复习 第二讲函数极值与最值 教学内容 1 函数极值的定义及求法2 函数最值的定义及求法 第二讲函数极值与最值 教学目的和要求 1 掌握用一阶导数求极值点与极值的方法2 了解可导函数极值存在的必要条件 知道极值点与驻点的区别与联系3 会求函数最值 上一节是研究可导函数在单调区间内的特性 本节将研究函数在每两个相邻单调区间内分界点处的特性 引言 x1 x4为f x 的极大值点 x2 x5为f x 的极小值点 一 函数极值的定义 定义 设函数f x 在x0的某邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于x0的x都有 2 成立 则称为f x 的极小值 称为f x 的极小值点 极大值 极小值统称为极值 极大值点 极小值点统称为极值点 问题 那些点有可能是极值点呢 极大值点 极小值点 是极大值点还是极小值点呢 它不是极值点 因为找不到一个小范围 使它的函数值成为最大或最小 二 函数极值的求法 定理1 必要条件 定理的几何意义是 可微函数的图形在极值点处的切线与x轴平行 定理的重要意义在于 可微函数的极值点必在导数为零的那些点之中 今后 我们称导数为零的点为驻点 函数可能在其导数为零的点 或者是在连续但不可导的点处取得极值 2 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 注意 例如 例如 定理2 第一充分条件 是极值点情形 不是极值点情形 运用定理2求函数极值的一般步骤是 1 确定定义域 并找出所给函数的驻点和导数不存在的点 2 列表考察上述点两侧导数的符号 确定极值点 3 求出极值点处的函数值 得到极值 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2 解 极大值 极小值 极大值f 0 0 定理3 极值的第二充分条件 1 当f x0 0时 则x0为极小值点 f x0 为极小值 2 当f x0 0时 则x0为极大值点 f x0 为极大值 若f x0 0 且f x0 0 则x0是函数的极值点 f x0 为函数的极值 并且 设函数y f x 在x0处的二阶导数存在 运用定理3求函数极值的一般步骤 1 确定定义域 并求出所给函数的全部驻点 2 考察函数的二阶导数在驻点处的符号 确定极值点 3 求出极值点处的函数值 得到极值 例3 解 因为 注意 图形如下 例4 解 在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大 最小 最远 最近 最好 最优等问题 这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题 这里统称为最值问题 下面介绍函数的最值问题 三 函数的最值及求法 由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知 如果f x 在 a b 上连续 则f x 在 a b 上必定能取得最大值与最小值 求函数最值的步骤 1 求临界点 2 求区间端点与临界点的函数值 比较大小 哪个大哪个就是最大值 哪个小哪个就是最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 例6 解 计算 比较得 最大值点为x 2 最大值为f 2 1 例7 最小值点为x 0 最小值为 因为 比较得f x 在 0 3 上 比较 1 极值是函数值 极值点是自变量的值 2 极值是局部性的 最值是全局性的 3 极值一定在区间内部取得 最值可在区间端点取得 4 极值可有多个 而最值唯一 且极大值不一定大于极小值 练习题 极值是函数的局部性概念 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点 函数的极值必在临界点取得 判别法 第一充分条件 第二充分条件 注意使用条件 小结 最值是函数的全局性概念 最大值和最小值通常产生在区间端点处或极