带电粒子在磁场中的圆周运动.doc

带电粒子在磁场中的圆周运动1 圆心的确定1.1半径与半径的交点（已知速度可做垂直于速度的直线做为两个半径所在直线）1.2弦的中垂线和另一弦的中垂线的交点1.3半径和弦的中垂线的交点1.4半径大小和半径所在直线已知可在线上截取等于半径的长度确定圆心位置2基本公式2.1半径公式由 可得 2.2周期公式由 和 可得 3角度关系速度偏转角等于转过的弧所对圆心角等于弦切角的2倍。如图所示，。4对称性4.1粒子进出直线边界与边界所成角相等OABHMN4.1OABC4.2对称性的证明：如图所示，很容易可以看出，三角形OAH与三角形OBH全等。可知角OAH等于角OBH，而，因此，进一步得到：。4.2粒子沿径向射入圆形匀强磁场则一定沿径向射出对称性的证明：如图所示，很容易可以看出，三角形OAC与三角形OBC全等。因此角OAC与角OBC相等，而角OAC为直角，因此角OBC为直角。粒子经过B点时的速度沿BC的垂线方向，而OB亦沿BC的垂线方向，因此，过B点的速度反向延长过磁场区域圆心O。小结：通过上面的两个对称性的证明，可以得到结论：对称性来自于三角形全等，来自于在同圆或等圆中半径相等。在需要的时候可以利用半径相等构造对称性。例1：2012全国课标卷HI解：辅助线如图所示，则H为轨迹圆的圆心。容易知道三角形HOb与三角形HOa全等。因此角HbO与角HaO相等。可以得到，进一步有，即，。从而有（后面的解题过程略）上面用半径相等构造了对称性，很方便的得到轨迹圆的半径r。如果用参考答案的解法，则可能要解二次方程，计算量较大，可以比较体会一下。参考答案：5运动时间5.1时间的定量计算已知周期和圆心角：已知弧长和线速度（或圆心，半径和线速度）：已知圆心角和角速度：5.2时间长短的比较5.2.1用上面的公式进行比较5.2.2在同圆或等圆中更长的弦对应更长的弧，从而对应更长的时间。例2：如下图一所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知AOC =60，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为（ B ）HDABCD解：最短的弦对应最短的时间，过S作SH垂直于OC，垂足为H，则粒子在弦SH对应的弧上运动的时间最短。由题意知，SH对对应的圆心角为60度，所以圆的半径r=SH。求粒子在磁场中运动的最长时间，只需找最长的弦，如图中的SD=2r，由粒子在磁场中的走向可知此种情况是可能的（轨迹如图），所以粒子在磁场中的运动的最长时间为。例3：（2010全国卷第26题改编）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0180范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上P点离开磁场。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R；（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围。C解：粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有解得QR假设磁场足够大，此时所有的粒子在以OP为半径，以O为圆心的圆上（相等的弦对应相等的弧，对应相等的时间），如图所示。结合磁场的边界以及初速度的范围可知，只有在弧QR上的粒子仍在磁场中。对于弦OP来说，其初速度方向与其所成的角为POy，此角为60度。由此可知，此时到Q点和R点的粒子的初速度方向与弦OQ和QR所成的角也应是60度。所以Q与R处的带电粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角为60度和120度。速度与y轴的正方向的夹角范围是60到1206画图计算再画图有些时候，需要先画出运动草图，再结合条件进行定量计算，得以结果后对画出的草图进行修正，得到更准确的图形，从而得到答案。体会下面的高考题。例4：（2007全国卷）两荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y0，0x0，xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间之比为25，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。解：对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a，y轴上的最高点为y=2r=2a;对于 x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是C和C 由对称性得到 C在 x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满足解得 由数学关系得到： 代入数据得到： 所以在x 轴上的范围是7临界与相切，放缩法，动圆法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，图中只画出粒子带正电的情景，速度越大，运动半径也越大。可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP上。由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”。例5：用放缩法讨论例4中的第1问。如图所示，带电粒子的速度从零逐渐增大，其运动半径亦逐渐增大。当轨迹与磁场边界相切时，有临界情况，此时带电粒子到达y轴上的位置离O点最远。从而得到y轴上亮线的范围是02a。小结：在考虑带电粒子能够到达的区域时，必须接照速度从小到大或从大小到的顺序考虑，这样可以避免考虑问题没有章法，思路混乱。体会下面的试题：例6： (2013保定一模）如图10所示，在x0的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子初速度为零，经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进人匀强 磁场区域。有一块厚度不计、高度为d的金属板竖 直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板 截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d), N点 的坐标为（d，d)。不计正离子的重力。(1)加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离 子才能全部打在金属板上？(2)求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值？ (sin37=0.6 cos37=0.8)解：（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得： （1分）正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： （1分）当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为，如答图3。根据几何知识可以判断： （1分）所以 （2分）当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为，如答图4。根据几何知识可以判断： （1分）解得： （1分）所以： （2分）所以，加速电压的取值范围为： （1分）（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动周期为T，根据圆周运动规律得： （2分）与联立得： （1分）及离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关。离子在答图3所示的轨迹中运动时间最短： （1分）离子在答图4所示的轨迹中运动的时间最长： （1分）根据几何知识： （1分）则：所以 （2分）例7：如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=_，打在O点左侧最远距离OQ=_。解：如图所示，可用硬币或瓶盖等圆形物体代表粒子的运动轨迹，其中S作为圆周上的一定点，移动“轨迹”圆，结合带电粒子的走向，可得结果。，8归纳法找规律带电粒子在磁场中进行多次周期性的运动时，可以观察归纳粒子开始运动一段时间内的运动规律，总结出规律，列出通式，解决问题。体会下面的试题例8：（2009全国卷一）如图，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y平面向外。P是y轴上距原点为h的一点， 为x轴上距原点为的一点。A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为，A的中点在y轴上长度略小于。带电粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变y方向的分速度反向、大小不变。质量为m，电荷量为 (0)的粒子从P点瞄准点入射，最后又通过P点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。解：设粒子的入射速度为v，第一次射出磁场的点为N0 ，与板碰掩后再次进入磁场的位置为N。粒子在磁场中运动的半径为R得R = 粒子速率不变，每次进入磁场与射子磁场位置间距离x1保持不变x1 = N0N0 = 2R sin 粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2 始终不变，与N0N1相等。由图可以看出x1 = a 设粒子最终离开磁场时，与挡板碰碰n次( n =0，l，2)。若粒子能回到P点，由对称性，粒子的出射点的x坐标标应为 a，即 由式得 x1 = a 若粒子与挡板发生碰撞，有 x1 x2 联立式得 n 3 联立式得 v = a 式中 sin = 代入式得 v0 = ，n = 0 v1 = ，n = 1 v2 = ，n = 2 9解题方法与得技巧9.1一般问题中会涉及到带电粒子运动的半径及周期，在没有任何思路时，可结合题中已知量（这是必须的，否则不得分）写出运动半径的表达式和周期的表达式：由 可得 由 和 可得 9.2有些物理量的关系题中以文字叙述的方式给出，只