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量子力学练习题 量子力学练习题 一 简答题一 简答题 1 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象 2 简述简述 Planck 的光量子假设 的光量子假设 3 写出写出 Einstein 光电方程 并阐述光电方程 并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释 对光电效应的量子解释 4 简述简述 Compton 散射实验 散射实验 5 简述简述 Bohr 的量子论 并对它进行简单的评价 的量子论 并对它进行简单的评价 6 写出写出 Sommerfeld 用正则坐标与正则动量表示的量子化条件 用正则坐标与正则动量表示的量子化条件 7 利用光波的双缝干涉实验 说明利用光波的双缝干涉实验 说明 Born 的概率波解释 的概率波解释 8 阐述概率波波函数的基本特性 阐述概率波波函数的基本特性 9 设设 ikx xe 粒子的位置几率的分布如何 此波函数能否归一化 粒子的位置几率的分布如何 此波函数能否归一化 10 设设 xx 粒子的位置几率的分布如何 此波函数能否归一化 粒子的位置几率的分布如何 此波函数能否归一化 11 设粒子波函数为设粒子波函数为 x y z 写出在 写出在 d x xx 范围找到粒子的几率 范围找到粒子的几率 12 N 粒子系的波函数为粒子系的波函数为 12 N r rr 写出在 写出在 111 d r rr 中找到粒子中找到粒子 1 的几率 其它粒 子的位置不限 的几率 其它粒 子的位置不限 13 设一维自由粒子的初态设一维自由粒子的初态 0 0 ip x xe 写出 写出 x t 14 写出动量算符 动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的表达式 写出动量算符 动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的表达式 15 写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式 写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式 16 简述粒子动量与位置的不确定关系 简述粒子动量与位置的不确定关系 17 简述量子力学的态叠加原理 简述量子力学的态叠加原理 18 描述微观粒子的隧道效应 描述微观粒子的隧道效应 19 写出一维谐振子的写出一维谐振子的 Hamilton 量 定态量 定态 Schr dinger 方程以及能量本征值的表达式 方程以及能量本征值的表达式 20 简述处于基态的一维谐振子的特征长度 经典回转点 简述处于基态的一维谐振子的特征长度 经典回转点 21 简述 箱归一化 方法的基本思想 简述 箱归一化 方法的基本思想 22 完整阐述不确定性原理 完整阐述不确定性原理 23 如果算符如果算符 A的本征值分别为的本征值分别为 123 A A A 在算符 在算符 A的自身表象中写出算符的自身表象中写出算符 A的矩阵 形式 的矩阵 形式 24 什么是守恒量 简述在概率密度分布不随时间改变的问题上 定态与守恒量的区别 什么是守恒量 简述在概率密度分布不随时间改变的问题上 定态与守恒量的区别 25 在在 z S表象下 写出算符表象下 写出算符 z S及其本征态及其本征态 和和 的矩阵表达式 的矩阵表达式 26 设角动量设角动量 1 J和和 2 J彼此独立 在无偶合表象中写出总角动量彼此独立 在无偶合表象中写出总角动量 12 JJ 的所有本征态 的所有本征态 1 1 1j 2 1 2 j 2 1 2j 2 1 2 j 3 1 1j 2 1j 27 设角动量设角动量 1 J和和 2 J彼此独立 在偶合表象中写出总角动量彼此独立 在偶合表象中写出总角动量 12 JJ 的所有本征态 的所有本征态 1 1 1j 2 1 2 j 2 1 2j 2 1 2 j 3 1 1j 2 1j 28 对非简并态的微扰 写出能级与波函数的一级近似值与能级的二级近似值 对非简并态的微扰 写出能级与波函数的一级近似值与能级的二级近似值 29 简述变分法的基本思想 简述变分法的基本思想 30 设体系的微扰设体系的微扰 H 从从0t 时刻开始引入 在微扰作用下 在时刻时刻开始引入 在微扰作用下 在时刻 0 t内体系从初态内体系从初态 k 跃迁到终态跃迁到终态 m 的概率是多少 的概率是多少 二 证明题二 证明题 1 证明黑体辐射的辐射本领证明黑体辐射的辐射本领 ET 与与 ET 之间的关系 之间的关系 2 从从 Schr dinger 方程出发 证明量子力学中定域几率守恒的表达式方程出发 证明量子力学中定域几率守恒的表达式 0j t 式中 概率流密度式中 概率流密度 2 i j m 并阐明定域几率守恒表达式的物理 意义 并阐明定域几率守恒表达式的物理 意义 3 设设 1 r t 和和 2 r t 均为同一均为同一 Schr dinger 方程的两个解 证明 方程的两个解 证明 3 12 d d 0 d rr tr t t 4 证明 如果证明 如果 r 是定态是定态 Schr dinger 方程的解 则其方程的解 则其 r 也是定态也是定态 Schr dinger 方 程的解 并且与 方 程的解 并且与 r 对应同一能量本征值 对应同一能量本征值 5 证明 如果证明 如果 V r 具有空间反演不变性 即具有空间反演不变性 即 V rVr 并且 并且 r 是定态是定态 Schr dinger 方程的解 则方程的解 则 r 也是定态也是定态 Schr dinger 方程的解 并且与方程的解 并且与 r 对应 同一能量本征值 对应 同一能量本征值 6 证明 对一维阶梯形势场证明 对一维阶梯形势场 1 2 Vxa V x Vxa 若若 12 VV 有限 则定态波函数有限 则定态波函数 r 及其导数及其导数 r 一定是连续的 一定是连续的 7 证明 如果证明 如果 1 x 和和 2 x 是一维定态是一维定态 Schr dinger 方程的对应同一能量本征值的解 则 方程的对应同一能量本征值的解 则 1221 C 常数 常数 并且对于束缚态 有并且对于束缚态 有0C 8 证明 如果在规则势场 即不存在奇点的势场 中运动的粒子处于束缚态 则波函数 一定是不简并的 证明 如果在规则势场 即不存在奇点的势场 中运动的粒子处于束缚态 则波函数 一定是不简并的 9 证明坐标与动量算符之间的对易关系式证明坐标与动量算符之间的对易关系式 x x pi 10 证明 不管体系处于什么状态 厄米算符的平均值必为实数 证明 不管体系处于什么状态 厄米算符的平均值必为实数 11 证明 若线性厄米算符证明 若线性厄米算符 A和和 B有不止一个共同本征函数 且这些共同本征函数构成完 备系 则算符 有不止一个共同本征函数 且这些共同本征函数构成完 备系 则算符 A B必定可以对易 必定可以对易 12 证明 如果一个量子力学体系存在守恒量证明 如果一个量子力学体系存在守恒量A 则在体系的任何状态下 守恒量 则在体系的任何状态下 守恒量A的概 率分布不随时间改变 的概 率分布不随时间改变 13 在在 z 表象中 利用算符的对易关系证明 表象中 利用算符的对易关系证明 xyz i 14 证明 如果角动量证明 如果角动量 1 J和和 2 J彼此独立 则对于总角动量彼此独立 则对于总角动量 12 JJJ 仍然有 仍然有 JJi J 15 证明 如果角动量证明 如果角动量 1 J和和 2 J彼此独立 则对于总角动量彼此独立 则对于总角动量 12 JJJ 仍然有 仍然有 2 0JJ 其中 其中1 2 3 分别表示分别表示 x y z 16 根据轨道角动量升降算符的定义 根据轨道角动量升降算符的定义 xyxyLLiLLLiL 证明 证明 2zLLL 17 在在 Pauli 表象下 用矩阵形式证明 表象下 用矩阵形式证明 0 2 18 对于一维谐振子的产生算符对于一维谐振子的产生算符 a 和湮灭算符和湮灭算符 a 证明 证明 1 1annn 1a nn n 三 计算题三 计算题 1 质量为质量为m的粒子在一维无限深方势阱 的粒子在一维无限深方势阱 0a 0 00 xxa V x xa 中运动 用中运动 用 de Broglie 的驻波条件 求粒子能量的可能值 的驻波条件 求粒子能量的可能值 2 设质量为设质量为m的粒子限制在长 宽 高分别为的粒子限制在长 宽 高分别为a b c的箱内运动 用的箱内运动 用 Sommerfeld 量子化条件求粒子能量的可能取值 量子化条件求粒子能量的可能取值 3 设质量为设质量为m的粒子在谐振子势的粒子在谐振子势 22 1 2 V xmx 中运动 用中运动 用 Sommerfeld 量子化条件求 粒子能量 量子化条件求 粒子能量E的可能取值 的可能取值 积分公式 积分公式 2 2222 darcsin 22 xax axxaxC a 4 一个平面转子的转动惯量为一个平面转子的转动惯量为I 用 用 Sommerfeld 量子化条件求能量的可能取值 量子化条件求能量的可能取值 5 设设 22 2 x xAe 为常数 求归一化常数为常数 求归一化常数A 6 设粒子在宽度为设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动 能量本征值为的一维无限深势阱中运动 能量本征值为 222 2 2 n n E ma 对应的归 一化本征函数为 对应的归 一化本征函数为 2 sin n n x x aa 如果粒子的状态由波函数 如果粒子的状态由波函数 0 xAx axxa 描写 求归一化常数描写 求归一化常数A 粒子能量的几率分布和能量的平均值 粒子能量的几率分布和能量的平均值 7 设设0t 时 质量为时 质量为m的粒子的状态为的粒子的状态为 2 1 sincos 2 xAkxkx 求此时粒子的平均动量与平均动能 求此时粒子的平均动量与平均动能 8 在坐标表象中 利用求平均值的方法 推导一维动量算符的表达式 在坐标表象中 利用求平均值的方法 推导一维动量算符的表达式 9 在一维空间中 设粒子的态函数为在一维空间中 设粒子的态函数为 xxa 求动量表象下粒子态函数的表 达式 求动量表象下粒子态函数的表 达式 10 在一维空间中 设粒子的态函数为在一维空间中 设粒子的态函数为 0 ppp 求坐标表象下粒子态函数的表 达式 求坐标表象下粒子态函数的表 达式 11 试从一维自由粒子的波函数出发 推测微观粒子的运动规律 即试从一维自由粒子的波函数出发 推测微观粒子的运动规律 即 Schr dinger 方程 方程 12 利用分离变量法 由利用分离变量法 由 Schr dinger 方程推导定态方程推导定态 Schr dinger 方程的表达式 并简述 处于定态下粒子的基本性质 方程的表达式 并简述 处于定态下粒子的基本性质 13 质量为质量为m的粒子在一维无限深方势阱 的粒子在一维无限深方势阱 0a 0 00 xxa V x xa 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 14 质量为质量为m的粒子在一维无限深方势阱 的粒子在一维无限深方势阱 0a 0 2 2 xa V x xa 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 15 质量为质量为m的粒子在深度为的粒子在深度为 0 V 宽度为 宽度为a的方势阱的方势阱 0 0 2 2 xa V x Vxa 中运动 求阱口刚好出现束缚态能级的条件 中运动 求阱口刚好出现束缚态能级的条件 说明 当 说明 当 0 EV 时 粒子处于束缚态 所谓的阱口 是指时 粒子处于束缚态 所谓的阱口 是指 0 EV 的状态 阱口处的 束缚态 是指 的状态 阱口处的 束缚态 是指 0 0EV 时的束缚态 时的束缚态 16 质量为质量为m的粒子被一维势垒的粒子被一维势垒 0 0 00 Vxa V x xxa 散射 设散射 设 0 EV 求反射系数与透射系数的表达式 求反射系数与透射系数的表达式 17 质量为质量为m的粒子被一维势阱的粒子被一维势阱 0 0 00 Vxa V x xxa 散射 求反射系数与透射系数的表达式 并求共振透射条件和共振透射能级 散射 求反射系数与透射系数的表达式 并求共振透射条件和共振透射能级 18 质量为质量为m的粒子被一维势垒的粒子被一维势垒 0 V xVx 散射 求反射系数与透射系数的表达式 散射 求反射系数与透射系数的表达式 19 质量为质量为m的粒子在一维势阱的粒子在一维势阱 0 V xVx 中运动 中运动 0 0V 求束缚态能级和波函 数 求束缚态能级和波函 数 说明 束缚态条件为 说明 束缚态条件为x 时 时 0 x 20 质量为质量为m的一维谐振子的基态波函数为的一维谐振子的基态波函数为 2 e 其中 其中x m 求 在经典禁区出现粒子的概率 求 在经典禁区出现粒子的概率 积分公式 积分公式 2 0 d 2 x ex 21 0 d0 75 x ex 21 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置 已知谐振子的本征函数为求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置 已知谐振子的本征函数为 2 2 nnn N eH 其中 其中 2 n n N n x m Hermitian 多项式多项式 22d 1 d n n n n Hee 22 求角动量求角动量z分量算符分量算符 zLi 的本征值与本征函数 的本征值与本征函数 23 设平面转子的转动惯量为设平面转子的转动惯量为I 能量的经典表达式为 能量的经典表达式为 2 2 L H I L为角动量 求该平面为角动量 求该平面 转子的能量本征值与本征态 转子的能量本征值与本征态 24 求动量求动量x分量算符的本征函数 并求一维波函数分量算符的本征函数 并求一维波函数 x 在动量表象中的表示 在动量表象中的表示 25 求一维自由粒子的能量本征态 求一维自由粒子的能量本征态 26 求算符求算符 2 L和和 z L的共同本征函数系 的共同本征函数系 27 对总能量算符对总能量算符 E和时间算符和时间算符 t 求对易子 求对易子 E t 28 对于一维谐振子的能量本征态对于一维谐振子的能量本征态 n 有 有 11 1 1 22 nn x nnn 2 2 1 1 221 1 2 2 2 xnn nnnnnnn d1 1 1 d22 nn nnn x 22 2 d 1 221 1 2 2 d2 nn nnnnnnn x 在一维谐振子的能量表象中 求坐标算符在一维谐振子的能量表象中 求坐标算符x 动量算符 动量算符 p 和和 Hamilton 算符算符 H的矩阵 表示 的矩阵 表示 29 氢原子处于基态氢原子处于基态 0 3 0 1 r a re a 2 0 2 a e 为为 Bohr 半径 求 半径 求 1 r的平 均值 的平 均值 2 势能 势能 2 e r 的平均值 的平均值 3 最可几的半径 最可几的半径 4 动能的平均值 动能的平均值 5 动量的 几率分布函数 动量的 几率分布函数 30 当一个质子俘获一个当一个质子俘获一个 子 带电量和电子相同 时 就形式了一个所谓的子 带电量和电子相同 时 就形式了一个所谓的 原子 已 知质子的质量为电子的 原子 已 知质子的质量为电子的 1800 倍 倍 子的质量为电子的子的质量为电子的 200 倍 求倍 求 原子的基态与第 一激发态的能量 原子的基态与第 一激发态的能量 31 设已知在设已知在 2 L和和 zL的共同表象中 算符的共同表象中 算符 xL和和 yL的矩阵表示分别为的矩阵表示分别为 010 2 101 2 010 x L 00 2 0 2 00 y i ii i L 求它们的本征值和归一化的本征函数 并将矩阵求它们的本征值和归一化的本征函数 并将矩阵 x L和和 y L对角化 对角化 32 在在 z S表象中求算符表象中求算符 x S及及 y S的矩阵表达式 的矩阵表达式 33 在在 z S表象中求