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高等数学电子教案中国石油大学 华东 理学院基础数学系金贵荣 前言 高等数学的基本内容和方法 几点要求 第一章函数与极限1 1函数的概念及其初等性质1 2数列极限1 3函数极限1 4无穷小与无穷大1 5函数连续性1 6闭区间上连续函数的性质 1 1函数的概念及其初等性质 1 1 1预备知识 1 一些常用的符号 2 实数集 有理数集的稠密性 任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数 无理数集 实数集 无理数 实数 无理数 实数 实数集的连续性 实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系 或完备的 3 常用不等式 绝对值 三角不等式 平均值不等式 调和平均值 几何平均值 算术平均值 证明略 更一般地 4 邻域 1 1 2函数的概念 一 函数的定义 定义 函数传统的习惯符号 注意 一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示 则称之为分段定义的函数 简称分段函数 有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 并用约定的符号予以表示 称为取整函数 例如 5 3 4 9 求极限时有用 阶梯曲线 称为非负小数部分函数 例3符号函数 三 函数的初等性质 1 函数的有界性 定理 证 2 函数的单调性 减 3 函数的奇偶性 证 偶函数 奇函数 4 函数的周期性 定义 1 1 3复合函数和反函数 1 复合函数 定义 注意 2 反函数 定义 注意 求反函数的方法 解 定理 证明略 注意 1 1 4初等函数 基本初等函数 6类 常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 1 常值函数 2 幂函数 3 指数函数 4 对数函数 5 三角函数 6 反三角函数 都是初等函数 解 解 1 2数列极限 一 数列极限的定义 数列是整标函数 注意 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 问题 意味着什么 如何用数学语言定量地刻划它 定义1 定义2 注意 用定义 验证数列极限 关键是如何由任意给定的寻找N 例1 证 例2 证 注 例3 证 证 综合之 故 二 收敛数列的性质和运算 定理1 唯一性 证 由定义 证毕 定理2 有界性 证 由定义 证毕 子数列的概念 定义 左向右任意选取无穷多项 并按它们在原数 列中的次序排成一个新的数列 表为 简称子列 定理3 证 证毕 推论1 推论2 证 证毕 定理4 四则运算 注意 四则运算只对有限个收敛数列而言 否则不能用 无穷多个收敛数列 这是错误的 例5求下列极限 解 三 数列收敛的判别 定理5 迫敛性或两边夹定理 证 证毕 例6 解 由两边夹定理 练习册习题7 例7 解 由两边夹定理 单调数列 定理6 单调有界原理 证明略 上界 下界 例8 证 例9 证 计算可得 1 3函数的极限 一 函数在有限点处的极限 一般地有 定义1 几何解释 单侧极限 例如 左极限 右极限 定理 左右极限存在但不相等 例1 证 例2 解 左右极限存在且相等 用定义 验证函数极限 关键是如何由寻找 证 证 证 问题 如何用数学语言刻划两个 无限趋近 二 函数在无穷远处的极限 定义2 定理 1 几何解释 用定义 验证函数极限 关键是如何由寻找 具体方法 证 证 证 三 函数极限的性质和运算 性质1 唯一性 性质2 局部有界性 证 证毕 性质3 局部保号性 证 证毕 性质4 四则运算 证明略 注 四则运算对有限个存在极限的函数而言 性质5 极限不等式 证 注意 性质6 迫敛性或两边夹定理 性质7 海涅 Heine 1821 1881 德 定理 证明略 注 海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系 证明略 推论 判断不存在的方法 证 性质8 极限的变量代换 证明略 四 两个重要极限 1 证 证毕 2 证 证毕 1 4无穷小与无穷大 定义1 一 无穷小及其性质 定理1 一般极限与无穷小的关系 定理2 解 解 二 无穷小阶的比较 极限不同 反映了趋向于0的 快慢 程度不同 观察各极限 定义2 定理3 证 证毕 定理4 乘积因子等价无穷小代换定理 证 证毕 注意 只能对函数的乘积因子作等价无穷小代 换 对于代数和中各无穷小不能作等价 无穷小代换 否则 因丢失高阶无穷小 而导致错误的结果 错误结果 导致错误的结果 三 无穷大及其性质 定义3 性质 无穷大与无穷小的关系 注意 证明略 定义4 1 5连续函数 一 函数的连续 定义1 增量式定义 例1 证 定义2 定理 例2讨论下列函数在指定点的连续性 右不连续 左连续 解 函数在区间的连续性 连续函数的图形是一条连续不断的曲线 定义3 例3 证 例4 证 二 间断点及其分类 第一类间断点 特点 第二类间断点 例5 解 解 解 解 解 三 连续函数的运算 四则运算 定理1 证明从略 在其定义域区间上都连续 在其定义域区间上都连续 反函数的连续性 定理2 证明略 在其定义域区间上都连续 在其定义域区间上都连续 复合函数的连续性 定理3 极限符号可以进入到连续函数的函数符号 内 它对求复合函数的极限是很有用的 证明略 一般结论 四 初等函数的连续性 注意 1 初等函数仅在其定义域区间上连续 例如 函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义 因此在这些孤立点无法讨论其连续性 在其定义域内不一定连续 又如 函数在0点的空心邻域内没有定义 因此在 0点无法讨论其连续性 例6 例7 解 i ii 1 6闭区间上连续函数的性质 性质1 有界性 注意 若区间是开区间 或闭区间内有间断点 则结论不