2026年中考数学常考考点之二次根式

2026年中考数学常考考点专题之二次根式

一.选择题（共13小题）

1.（2025•滨州一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三

斜求积术“，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积.若设三角形的三条边长分别为。，〃，

三角形的面积为5,则5=丸02b2一（1

)2].已知在AABC中,48=710,i4C=V6,BC=2VL

2

那么△ABC的面积为（）

3

A.——B.VTic.2V1T

24

2.（2025•中山市校级模拟）观察下列各组式子:

①>/4X9=V36=6,V4xV9=2x3=6；

911回199

②=20*J100=2X10=20;

③V0.01x0.25=V0.0025=0.05,>/0?01xV025=0.1x0.5=0.05.

可猜想得到：夜=几&（«>0,b>0）,上述探究过程体现的数学思想方法是（）

A.从特殊到一般B.类比

C.转化D.公理化

3.（2025•遂平县三模）下列选项的计算结果为无理数的是（)

A.x/2+V2C.>/2xV2D.V2-V2

4.（2025•丽江模拟）若13E2,则化简何。2一20+1+|〃-2|的结果是（）

A.2a-3B.3-laC.-2。D.1

5.（2025•大观区二模）下列各式计算正确的是)

A.&+国=遥B.4V3-3V3=1C.y/2xx/3=x/6D.712^2=V6

6.（2025•宁江区校级三模）卜.列计算正确的是()

A.V2x-V7B.V8-i-V2-2C.2+V2-242D.35/2--3

7.（2025•焦作一模）下列运算正确的是（)

A.=我B.a2*a*a2=a5

C.(/)3=/D.(a+b)2=a1+h2

8.（2025•福山区一模）下列各数中与3互为相反数的是（）

A.|-3|B-1c.VT3)D.7(-3)

9.（2025•孝义市三模）下列运算正确的是（)

A.V2+V3=V5B.V2-V8=-V2

C.(V3+2)(V3-2)=1D.(V6+V2)-bV2=V3

10.(2025•内丘县模拟)下列计算正确的是()

A.2V3+2V2=2V5B.A/184-V2=3

D.国毡

C.573x273=1073

11.(2025•竞秀区一模)若£1+遮二/①,则表示实数。的点会落在数轴的（）

①②③④

✓---、、\✓/--、、\//、、、/J'、

/、/%/、/、、

I，■“UIf“I、

01234

A.段①上B.段②上C.段③上D.段④上

12,（2025•张家II一模）如图，大圆的面积为小圆的面税为加，图中三部分的面积分别为Si,S2,

13.（2025•息县模拟）如图，矩形48CQ的边AD=2夕，AB=273,以顶点A为圆心，线段AO为半径

的弧与8c边交于点F,以顶点8为圆心，线段B/长为半径的弧与边AD交于点E,则阴影部分的面

积为（）

O

C.|TT-2V3D.48+我

二.填空题（共7小题）

14.（2025•东光县二模）任何实数出可用同表示不超过。的最大整数，如［4］=4,［遍］=1,现对72进

>1次一弟2次第3次

行如下操作：72-[V72]=8-[㈣=2-=这样对72只需进行3次操作后变为1,

类似地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是.

15.（2025•连云港校级二模）已知y=正旦在E+7,则3x+y的值为.

人O

16.（2025•淮安）计算：7nx，=.

17.（2025•唐山二模）已知我x布=4,则〃=.

18.（2025•香坊区一模）计算VII-亨=.

19.（2025•阿城区二模）我们规定：对于任意的正数加，”的“※”运算为：/〃※兀=标⑺-加），计算2X8

的结果为.

20.（2025•盐山县校级模拟）若闻+&=&（a+l）,则。的值为.

三,解答题（共5小题）

21.（2025•岛新区校级二模）（1）计算：（-3）Z-V2x次+（近一1）。；

⑵化简：（告+备）・岩・

22.（2025•莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图I所示的方

式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A,B,

C.

（1）正方形木板A的边长为分米，B的边长为分米，C的边长为

分米；

（2）求木板①中阴影部分的面积；

（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，

请你判断能否截出，并说明理由.

图1图2

23.（2025•武都区校级模拟）计算：302xJ|—弼+2属.

24.（2025•肥城市三模）按要求完成下列各题.

（1）计算：（&+I）一】+4cos45°+|V3-2|-（3.14-TT）0；

（2）化简：（鲁一a+D+贰盘♦

25,（2025•永昌县校级三模）计算：x/24-V3-V18xS+V32.

2026年中考数学常考考点专题之二次根式

参考答案与试题解析

一,选择题（共13小题）

题号12345678910H

答案BAADCBBCBBB

题号1213

答案AC

一.选择题（共13小题）

I.（2025•滨州一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三

斜求积术“，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积.若设三角形的三条边长分别为“，b,c,

三角形的面积为S,则S=2bZ—ig+'cZy].已知在△ABC中,4?=VlO,AC=V6,BC=2企，

那么△ABC的面积为（）

Vilr——yfll

A.-----B.VT1C.2VTTD.-----

24

【考点】二次根式的应用.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】依据题意，根据所给公式，然后代入数据计算可以判断得解.

【解答】解：由题意，•・・在△八中，AB=V10,AC=瓜,BC=2>/2,

ASAABC=[8x6-（8+^~10）2]

（48-4）

=VTT.

故选：B.

【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意代入数值计算是关键.

2.（2025•中山市校级模拟）观察下列各组式子:

①，4x9=V36=6,V4xV9=2x3=6：

③“0.01x0.25=V0.0025=0.05,VMTXV025=0.1x0.5=0.05.

可猜想得到：痛=瓦•加（«>0,历0）,上述探究过程体现的数学思想方法是（）

A.从特殊到〜般B.类比

C.转化D,公理化

【考点】二次根式的乘除法.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】4

【分析】根据相应的数学思想方法进行分析即可.

【解答】解：由题意得：探究过程体现的数学思想方法是：从特殊到一般.

故选：A.

【点评】本题主要考查一次根式的乘除法，解答的关键是对相应的定义的掌握.

3.（2025•遂平县三模）下列选项的计算结果为无理数的是（）

A.V2+\[2B.V2-V2C.V2xV2D.&+迎

【考点】二次根式的混合运算；无理数.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】计算出各个选项中的结果，即可判断哪个选项符合题意.

【解答】解：V2+V2=2V2,故选项A符合题意；

V2-V2=0,故选项4不符合题意；

V2xV2=2,故选项C不符合题意；

或+尤=1,故选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查二次根式的混合运算、无理数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

4.（2025•丽江模拟）若137S2,则化简—2a+1+|。・2|的结果是（）

A.2a-3B.3~2uC.-2aD.1

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】利用二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可.

【解答】解：・・・10K2,

AVa2-2a+1+\a-2|

=\a-l|+k/-2|

=a-1+2-a

=1,

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时注意：值=同.

5.（2025•大观区二模）下列各式计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.4V3-3V3=1C.V2xV3=V6D.V122=\/6

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据合并同类二次根式的方法可以判断4根据二次根式的减法可以判断8；根据二次根式的

乘法可以判断G根据二次根式的除法可以判断。.

【解答】解：或+百不能合并，故选项A错误，不符合题意；

4百-3百=百，故选项B错误，不符合题意；

V2xV3=V6,故选项C正确，符合题意；

V12^2=2V3^2=V3,故选项。错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

6.（2025•宁江区校级三模）下列计算正确的是（）

A.V2xV5=V7B.时+应=2C.2+72=272D.3企一e=3

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】利用二次根式乘除法则，加减法则一一判断即可.

【解答】解：4、V2xV5=vTO,本选项错误不符合题意；

B、+本选项正确符合题意；

C、2与VI不是同类一次根式，不能合并，本选项错误不符合题意；

D、3V2-V2=2A/2,本选项错误不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

7.(2025•焦作一模)下列运算正确的是()

A.V10—V2=V8B.a2*a*a2=a5

C.(«4)3=/D.(〃+〃)2=a2+b2

【考点】二次根式的加减法；同底数塞的乘法；暴的乘方与积的乘方；完全平方公式.

【专题】整式；二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】利用二次根式的加减法则，同底数寻乘法法则，哥的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可.

【解答】解：国与鱼不是同类二次根式，无法合并，则4不符合题意，

a2*a*a2=a5,则8符合题意，

(/)3=/2,则C不符合题意，

(〃+/?)2=/+2曲见则。不符合题意,

故选：B.

【点评】本题考查二次根式的加减，同底数基乘法，累的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则

是解题的关键.

8.(2025•福山区一模)下列各数中与3互为相反数的是()

A.|-3|B.|C.一-3尸D.«-3)2

【考点】二次根式的性质与化简；立方根.

【专题】实数；应用意识.

【答案】C

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【解答】解：A、3和3的绝对值是同一个数，故A错误，不符合题意.

1

B、3和£是互为倒数，故8错误，不符合题意.

C、在可二一3,故C正确：符合题意；

。、“可=3,不是相反数，故。错误•

故选：C.

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

9.（2025•孝义市三模）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2-V8=-V2

C.（V3+2）（V3-2）=1D.（V6+V2）-bV2=V3

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、虎与遥不能合并，故A不符合题意；

B、V2-V8=V2-2V2=-V2,故8符合题意；

C、（V3+2）（V3-2）=3-4=-1,故C不符合题意；

。、（V64-V2）+&=百+1,故。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

10.（2025•内丘县模拟）下列计算正确的是（）

A.2V3+2V2=2V5B.同+2=3

C.5V3x2V3=10V3D.居=号陋

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据二次根式的加法，乘法，除法，二次根式的性质与化简进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：人、2百与2a不能合并，故A不符合题意；

B、g+&=g=3,故B符合题意；

C、575x275=30,故C不符合题意；

D、R=店=空，故。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

11.（2025•竞秀区一模）若a+疝=S再，则表示实数。的点会落在数轴的（）

，或艮，③、「久

✓✓X、/zX、/Z、、/.、、

/，、"/%V/、“/\'

।■IfI

01234

A.段①上B.段②上C.段③上D.段④上

【考点】二次根式的加减法；实数与数轴.

【专题】二次根式：运算能力.

【答案】B

【分析】先化简二次根式，计算出。的值，再估算出。范围，再结合数轴即可得出结果.

【解答】解：根据题意可知，a=718-V8=3V2-2V2=^,

V71<A/2<>/4,

/.1<V2<2,BPl<d<2,

故实数。的点会落在数轴的段②上.

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，实数与数轴，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键.

12.（2025•张家口一模）如图，大圆的面积为S国，小圆的面积为四，图中三部分的面积分别为Si,S2,

S3,其中S2是Si,S3的平均数，则S2的值为（）

5>/2

C.2V2D.——

2

【考点】二次根式的应用.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】根据平均数的计算方法求解即可.

【解答】解：三部分的面积分别为Si,S2,S3,其中S2是S.,S3的平均数,

由题意，得Si+S2=g=3&，S3+S2=V8=2V2,

则Si+S3+2S2=5V2.

又YSI+S3=2S2,

/.4S2=5a

._5、泛

••c七-~4~-

故选：A.

【点评】本题主要考查了平均数及二次根式的运算，正确进行计算是解题关键.

13.（2025•息县模拟）如图，矩形A8C。的边AD=2近，AB=2瓜,以顶点A为圆心，线段A。为半径

的弧与4c边交于点人以顶点3为圆心，线段4*长为半径的弧与边A。交于点£,则阴影部分的面

积为（）

BC

8888

十

A4-B十2CD4-

--73

7337r37r37r37r

【考点】二次根式的应用.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】连接必由矩形的性质和勾股定理求出"，进而得到4E,根据siM48E=^=g求出乙4BE

的度数，进而得到NEB/的度数，然后利用S阴影=S隔形防尸+SAA8£-S△八步•来求解.

【解答】解：连接8E,如下图，

由条件可得力F=AD=277,BF=BE=\lAF2-AB2=J(2V7)2-(2A/3)2=4,NE4B=N/WC=90。,

：.AE=>/BE2-AB2=J42—(2百叶=2,

AE_21

/.sin£ABE=BE=42

・•・N4BE=30°,

JNEB/=90°-30°=60°，

•'•S明森二S⑥形ABE-SAABF

27r

=6啜3bU+1Zx2x2VZ3-|x2V3x4

=5^+273-473

=2TT—2v5.

•J

故选：c.

【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数值的求法，勾股定理，求出/4BE

的度数是解答关键.

二,填空题（共7小题）

14.（2025•东光县二模）任何实数小可用同表示不超过a的最大整数，如［4］=4,［遮］=1,现对72进

第1次J_第2次L第3次一

行如下操作：72->［V72］=8-［V8］=2t［夜］=1,这样对72只需进行3次操作后变为1,

类似地，只需进行4次操作后变为I的所有正整数中，最小的是一236.

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】256.

【分析】根据题中的操作顺序，对256进行运算，结合二次程式的估算，要想确定只需进行4次操作后

变为1的所有正整数，关键是确定第三次操作后数的大小不能大于4,第二次操作时根号内的数不大于

16,而一次操作时正整数必须不大于256,据此即可解答.

【解答】解：•・•

2564gQ6工-4S巾=2…，

255巫g=15三8=33［开…，’

・••只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是256,

故答案为；256.

【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键.

15.（2025•连云港校级二模）已知y=居用上+7,则3/y的值为-2.

AO

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】-2.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得，-9K）,9-?>0,根据二次根式有意义的条件可得X-3和,

解可得x的值，进而得到），的值，然后再代入未知数的值求出3x+），即可.

（%2-9>0

【解答】解：由题意得9一产NO，

□-3Ho

解得：x=-3,

则y=7,

/.3x+y=3x（-3）+7=-2.

故答案为：・2.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开

方数是非负数.分式有意义的条件是分母不为零.

16.（2025•淮安）计算：V12xg=2.

【考点】一次根式的乘除法；一次根式的性质与化筒.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】2.

【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再利用二次根式的性质即可求得答案.

【解答】解：原式=J12>4

=V4

=2,

故答案为：2.

【点:评】本题考查二次根式的乘除法及性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

17.（2025•唐山二模）己知我XX/H=4,则〃=2.

【考点】二次根式的乘除法.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】2,

【分析】根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：7§右=代，

:.8〃=16,

・・・〃=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是热练运用二次根式的乘法运算法则，本题属于基

础题型.

18.（2025•香坊区一模）计算—印=_空—.

【考点】二次根式的加减法.

【答案】见试题解答内容

【分析】先把各根式化为最减二次根式，再令并同类项即可.

【解答】解:原式=2百一空

3V3

=~T，

故答案为：军.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，

再把被开力数相同的一次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.

19.（2025•阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m,〃的“※”运算为：小※n=标⑺一可），计算2派8

的结果为，或-.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】新定义；运算能力.

【答案】2V2-4.

【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.

【解答】解：由题意得：2X8

=V2（2-V8）

=2企一后

=242-4,

故答案为：2^2-4.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练的进行计算是解题的关键.

20.（2025•盐山县校级模拟）若闻+&=或（。+1）,则。的值为5.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】5.

【分析】先将同化简，再合并同类二次根式得到&（a+l）=6&,再利用二次根式的除法法则运算

得到a+1=6,然后解一次方程即可.

【解答】解：•・•同+及=加（。+1）,

A5V2+V2=V2（。+1）,

即鱼（«+1）=672,

.4_6&_公

••〃+1—不一6,

>12

解得a=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题

的关键.

三,解答题（共5小题）

21.（2025•高新区校级三模）（1）计算：（-3）2-V2XV8+（A/2-1）°；

（2）化简：（告+击）+岩'•

【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算；零指数基.

【专题】分式；二次根式；运算能力.

【答案】（1）6；

【分析】（1）利用有理数的乘方法则，二次根式的乘法法则,零指数幕计算后再算加减即可:

（2）将括号内的通分并计算，然后将除法化为乘法，最后进行约分即可.

【解答】解：（1）原式=9一m+1

=9-4+1

=5+1

=6

(2)原式—“+11•(x+l)(x-1)

2)以八一(x+l)(x-l)x+2

=2%

一(x+l)(x-l)*x+2

2x

x+2'

【点评】本题考查分式的混合运算，二次根式的混合运算，零指数耗，熟练掌握相关运算法则是解题的

关键.

22.（2025•莲池区校级模拟）如图，现有两块同样人小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方

式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A,B,

C.

（1）正方形木板A的边长为2分米，8的边长为」近_分米，C的边长为小企_分米；

（2）求木板①中阴影部分的面积：

（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板,

请你判断能否截出，并说明理由.

图1图2

【考点】一次根式的应用.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】（1）2,2V2,3V2：

（2）不能截出.理由见解答.

【分析】（1）根据正方形方面积公式求解；

（2）根据题意列出代数式，再计算求解；

（3）比较无理数的大小.

【解答】解：。）•・•在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的

正方形木板A，B,C,

・••正方形木板人的边长为2分米，8的边长为2四分米，C的边长为3a分米，

故答案为：2,2V2,3企；

（2）（2V2+3V2）x（2+2V2）-4-8-18=1072+20-30=（10V2-10）平方分米；

（3）不能截出.

理由：正方形木板的边长为4分米，

V2+2>/2>4,5A/2<B,

，不能截出.

【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形的面积公式和二次根式的运算是解题的关健.

23.（2025•武都区校级模拟）计算：属.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式：运算能力.

【答案】15V2.

【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可.

【解答】解：原式=3jl2x>2企+8企

=9^2-2V2+8V2

=1572.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除

运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰

当的解题途径，往往能事半功倍.

24,（2025•肥城市三模）按要求完成下列各题.

（1）计算：（V2+1）T+4cos45。+|西一2|一（3.14-〃）°：

⑵化简：（生-a+D+田.

【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】（1）3V2-V3；

Q+1

（2）——.

a+2

【分析】（I）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

【解答】解：(1)(V24-1)-1+4cos45°+|V3-2|-(3.14-TT)0

二焉+4'¥+2-6-1

=V2-1+2V2+2-V3-1

=3V2-V3；

（2）（生-0+1）+Q+2

次+2。+1

a2(。+1)2

=[------—(«-1)]-

a+1Q+2

a2-(a2-l)(。+1)2

,a+2

1一9+1)2

a+1a+2

_Q+1

=a+2,

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

25,（2025♦永昌县校级三模）计算：V24-V3-V18xJ|+V32.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】6V2-3.

【分析】先算乘除，再算加减即可.

【解答】解：原式=g_J184+4企

=V8-V9+4加

=2企-3+4^2

=672-3.

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

考点卡片

1.立方根

（I）定义：如果一个数的立方等于小那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果/=〃，

那么X叫做。的立方根.记作：幅.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求•个数a的立方根的运算叫开立方，其中〃叫做被开方数.

注意：符号置中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个

立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

2.无理数

（I）、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、2的平方根

等.

（2）、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,：=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如四=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有7T

的数，如分数］是无理数，因为TI是无理数.

无理数常见的三种类型

（I）开不尽的方根，如VL北等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003...（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有K的绝大部分数，如2TT.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如质是有理数，而不是无理数.

3.实数与数轴

（I）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数4的绝对值就是

在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

4.同底数嘉的乘法

（I）同底数凝的乘法法则：同底数辕相乘，底数不变，指数相加.

（加，〃是正整数）

（2）推广：（小，〃，〃都是正整数）

在应用同底数基的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（«V）3与（.2力2）4,（x-.v）2

与（x-y）3等；②〃可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数

相加.

（3）概括整合：同底数'标的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用时要抓

住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数累.

5.基的乘方与积的乘方

（I）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（6）n=an,n（小，〃是正整数）

注意：①塞的乘方的底数指的是嘉的底数；②性质中“指数相乘”指的是寤的指数与乘方的指数相乘，这里

注意与同底数暴的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每•个因式分别乘方，再把所得的哥相乘.

（曲）〃=/〃（〃是正整数）

注意；①因式是三个或二个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计

算出最后的结果.

6.完全平方公式

（I）完全平方公式：（4±〃）2=々2±2"+〃2.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方：②右边是一个三项式，其中首末两项

分别是两项的平方，都为正，中间•项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的。可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或

差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方

公式.

7.平方差公式

（【）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

（a+b）（a-b）=a2-lr

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方：

③公式中的。和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对■形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便.

8.分式的混合运算