初中动态几何问题教学策略探究.doc

初中动态几何问题教学策略探究摘要：动态几何问题是用运动的观点去探究几何图形的变化规律的问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过图形的运动或变换渗透运动变化观点的一类问题。随着九年义务教育的不断推进与新课程标准的实施，动态几何问题进入了课本，融进了课堂教学，并且要求越来越高，越来越突出对学生探究能力的考查。鉴于动态几何问题在数学教学中的地位，鉴于提高学生数学能力，我们可以采取如下教学策略：一、引导学生动中取静，寻找变化的本质；二、引导学生静中求动，猜想变化的规律；三、引导学生综合分析，理清解题的关键；四、引导学生分析变量，发现变量的关系；五、引导学生利用函数，探索解决的方法。关键词：教学策略 动态几何 变量 探究 猜想 动态几何问题是用运动的观点去探究几何图形的变化规律的问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过点、线、面、体的运动或图形的变换渗透运动变化观点的一类问题，按运动的形式可分为平移、旋转、折叠、滚动，按运动的图形可分点动、线动、面动与体动几类。动态几何问题常常集几何、数与式、方程与函数于一身，有着极强的综合性，包含着丰富的数学思想与方法，数形结合、动中有静、静中含动，能够很好地考查学生的空间想象能力与演绎推理能力。随着九年义务教育的不断推进与新课程标准的实施，动态几何问题悄悄进入了课本，融进了课堂教学，有关平移、旋转、折叠等图形的变化的问题已是教学中常见的例题，并且要求越来越高，越来越突出对学生探究能力的考查。另外，创设动态几何问题也是命题教师极力追求的一个目标，动态几何问题在一些中考试题也扮演着压轴题的角色。鉴于动态几何问题在数学教学中的地位，鉴于提高学生数学能力，下面，就动态几何问题的教学策略做出如下的探究：一、引导学生动中取静，寻找变化的本质动态几何问题之所以“难”，除了它复杂的图形之外，主要原因就是因为它是在变化之中的，学生无法穿越“动态”而抓住解决问题的关键，“动中取静”是解决这一难题的方法，在教学之中，我们可以引导学生尝试在特殊位置上的“静态”去分析图形的有关特征，研究“静态”之下图形存在的性质，去猜想、去寻找、去验证“动态”之下图形具有的特点，进而抓住动态几何问题的本质。（理论加例题分析）找图形瞬间的静止状态，？静止状状存在的哪些特征，？简单说明。二、引导学生静中求动，猜想变化的规律我们在动态几何问题的教学中，应当引导学生形成“静中求动”的习惯，因为这不仅可以大大拓展问题本身的内涵，起到举一反三的作用，而且可以训练学生的猜想能力。猜想能力对一个学生、一个民族、一个国家来说都是非常之重要的，爱因斯坦曾说过：“想象力比知识重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”动态几何问题是培养学生猜想能力的好素材，在研究几何问题时，教师可以有目的地让问题“动态”化，引导学生在静中求动，引发学生的猜想，猜想图形变化的规律，如下面“例一”：例一、如图1，在正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点（点P不与点A点C重合）过点P作PEAD于点E，点M为CP的中点，分别连接MB、MD、ME（1）求证：MB=MD；（2）连接BE，证明BME是等腰直角三角形；（3）将图1中PEA绕点A顺时针旋转45（在备用图中画出图形），设点M仍为PC的中点，连接ME、MB、EB，问：（2）中的结论是否仍成立？请回答，并论证你的结论图1ABCDPEM备用图ABCD“例一”中的第（1）（2）两个问题是“静态”几何问题，在研究（1）（2）两个“静态”几何问题后，我们再把第（3）问题抛出来“将图1中PEA绕点A顺时针旋转45（2）中的结论是否仍成立？”引导学生在“静中求动”。“静中求动”容易引发学生的猜想，猜想图形变化的规律，而在解决第（3）小题的“动态”几何问题后，可以进一步把问题“动态”化“将图1中PEA绕点A旋转任意角度，（2）中的结论是否仍成立？”又如“例二”：例二、如图2，在菱形ABCD中，A60，点P、Q分别在边AB、BC上，且APBQ（1）求证：BDQADP；（2）已知AD3，AP2，求COSBPQ的值（结果保留根号）APBQCD图2“例二”是海南省2011年中考真题，这道题目不是（3）点P、Q分别是边AB、BC上的动点，并且APBQ，猜想：PDQ的形状，并说明理由遇到一些抽象的“动态”化，教师可借用几何画板、flash等软件辅助教学。“静中求动”不仅使教学起着举一反三的作用，而且可以引发学生对图形变化规律的猜想，培养学生的猜想能力。 “任何一个科学理论的产生,都开始于大胆的猜想，是伟大的猜想造就了非凡的智慧。” 学生在解决猜想得到的问题的时，容易触动灵感，获得解决问题的方法“大脑之中电光一闪，思维豁然顿悟，感叹原来如此” ，顿悟到学习数学的方法，顿悟到解决动态几何问题的方法，学生也能因之领略到数学之美尽在于此。三、引导学生综合分析，理清解题的关键在几何证明中，综合法与分析法是两种最常用的数学方法，动态几何问题由于其复杂的图形与复杂的数量关系，教学时，可以引导学生用分析综合法，从条件与结论两头向中间推理，用综合法拓展条件，由条件向结论推理，执因索果；用分析法转化结论，由结论向条件层层假设与猜想，执果索因；这样往往更能发现解决问题的关键所在，如下面“例二”：例二如图2，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H（1）求证： BCGDCE BHDE （2）试问当点G运动到什么位置时，BH 垂直平分DE？请说明理由图2（A）图2（B）12“例二”是2005年海南省中考23题，是一道典型的动态几何问题，其中的第（2）小题是属于较难的题型，学生不容易发现解题的关键点，但是如果用分析综合法，则容易发现解题的突破口。如果学生只利用综合法，由条件向结论进行单向性地推理，思维很快就会受到阻碍！CE=CG12=900四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形 BHDE （已证）已知所以？思维受阻所以但是，如果再由结论往条件逆向猜想（利用分析法），效果就不一样了。DH=EHBHDEBH 垂直平分DE如果则应有BD=BE或DG=EG则应有发现突破口！则应采用分析综合法，可以很快发现“例二”的第（2）小题的解题关键“添加辅助线”，即“连结BD”或“连结EG”（如图2B）。我们在进行动态几何问题教学时，引导学生利用分析综合法，从已知条件出发，逐步往下推理，同时从需要证明的结论往上做假设与猜想，有助于学生理清解题的思路，找到解题的突破口。四、引导学生分析变量，发现变量的关系图形的运动与变化往往会引发几个量之间的相互变化，当某个量发生变化时，另一个量也会随之而发生变化，往往量与量之间的变化是相互制约的。引导学生分析线段与线段之间的相互制约性的变化、线段与面积之间的相互制约性的变化，发现图形中变量之间的联系是动态几何问题的解题途径，如例三：例三如图2，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.ABCPDE图2点P运动AP变化引发PCBECE变化PBEABPACPCDPCEP变化引发引发“例三”是海南省2008年中考真题，第（2）小题正是研究动态几何问题中的变量与变量之间的关系的一道题，点P在AC上运动，引发一些线段、一些图形也随之变化，如：图形之中各种“量”之间的变化往往是相互制约的，当线段AP发生或大或小的变化时线段PC、BE、CE及PBE、ABP、ACP、CDP、CEP面积也会发生相应的变化，当然图形之中别的“量”发生变化，也会引起其余的“量”的变化，我们要引导学生不要被“运动”与“变化”迷惑，分析图形之中的“变”与“不变”，分析图形之中线段与线段、线段与面积、面与面之间的相互关系，是解决初中动态几何问题的途径。五、引导学生利用函数，探索解决的方法“函数”揭示了某运动过程之中几个量之间的变化规律，是解决问题的模型，而动态几何问题往往隐含着“函数”。图形的运动与变化往往夹带着几个相互联系、相互制约的量，如果把其中一个当成自变量，而另一个也就是它的“函数”了。初中动态几何问题的教学中，我们要引导学生挖掘图形中隐含的“函数”，构造“函数”，用“函数解析式”解决动态几何问题。如“例三”（海南省2008年中考真题）的第（2）小题：例三如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.ABCPDE图3FG解决第（2）的第小题只需根据AP这个变量与BE、PF之间的相互关系就可构造出PBE的面积y与AP的长x之间的函数关系式：过点P作FG/AB交BC于点F，交AD于点G设AP=x 则BF=PG=，PF=1-.则有SPBE=BFPF=() 则 (0x). “函数”是解决动态几何问题的方法，我们需要引导学生找出图形的运动与变换所形式的变量，求出函数关系式，然后利用函数关系式所反映的变化规律去解决问题，而如何构造函数关系式，教师可引导学生用“勾股定理、比例式、全等图形、图形面积”等去构造。动态几何的教学策略除了以上几点之外，还有“引导学生动手实践、引导学生一题多解、引导学生。动态几何问题综合性强，以几何图形为载体集代数、几何于一身，包含丰富的数学思想方法，不仅折射出设计者的智慧，也蕴涵与演绎着数学最美的一面，是数学中一道美丽的风景，数学因之而变得更加精彩璀璨，其精心构置的框架是学生攀登知识巅峰的手脚架，在图形变化之中查考学生的空间想象能力，在思维的运动之间发展学生的演绎推理能力。动态几何问题灵活多变，动中有静，静中含动，分析处理其中的数量关系，可