平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习.doc

平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小没有方向的量称为数量.2.几何表示: 向量可以用有向线段表示.长度：向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记做.向量也可用字母（印刷用黑体，手写用）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，.零向量：长度为0的向量.记做.单位向量: 长度为1的向量.平行向量: 方向相同或相反的向量.记作. 规定: 零向量与任一向量平行.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做.注意: 向量相等与有向线段的起点无关.共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)1.向量加法的三角形法则 已知非零向量、，在平面内任取一点，作，则向量叫做 和的和，记做，即求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则.2.向量加法的平行四边形法则以同一个点为起点的两个已知向量、为邻边作,则以为起点的对角线是与的和,即.此法叫做向量加法的平行四边形法则. 规定：对零向量与任一向量，3.小结论对任意向量、，有； 当、同向时，；当、反向是，（或）4.向量加法交换律：；向量加法结合律：5.与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量.6.向量减法的几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.7.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) ； (2) 当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相同.8.数乘的运算律： (1) ; (2) ; (3) .9.向量共线充要条件:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.三、平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一个实数、，使得把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的基底.2.向量的夹角 已知两个非零向量，作，则 叫做向量与的夹角. 如果与的夹角是，称与垂直，记作. 当时，同向；当时，反向.3.正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，由平面基本定理可知，有且只有一对实数、，使得 这样，平面内的任一向量都可以由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作.其中，分别叫做在轴上，在轴上的坐标. 在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.5.平面向量的坐标运算 (1) 若，则； (2) 若,则； (3) 若,，则.6.平面向量共线的坐标表示设,则向量共线的充要条件为.7.设,.(1) 若是的中点，则；(2) 若，则.前三部分总结1.向量相等(长度和方向).2.加法的三角形法则(首尾相连)、四边形法则(起点相同)及其几何意义. 注意与平面几何相结合小结论：(1)为的重心(中线的交点)； (2)为的外心3.共线(平行)向量.(1) ；(2) 三点共线.4.平面向量基本定理 四、平面向量的数量积：1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义:如果两个非零向量的夹角为，那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做即：（2）投影：在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若向量，则3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量的平行与垂直问题：（1）若，则（2）若，则例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用例1（1）已知向量的夹角为，求（2）已知求：；若，求的坐标2、向量的夹角问题例2（1）已知向量、都是非零向量，且向量与向量垂直，向量与向量垂直，求向量与的夹角。（2）若向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围基础练习：一、选择题1下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）Ae1=(0,0), e2 =(1,2) ; Be1=(-1,2),e2 =(5,7); Ce1=(3,5),e2 =(6,10); De1=(2,-3) ,e2 =2已知向量a、b，且=a+2b ,= -5a+6b ,=7a-2b,则一定共线的三点是 （ ）AA、B、D BA、B、C CB、C 、D DA、C、D3如果e1、 e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）e1e2(, R)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使a=e1e2的, 有无数多对；若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数k,使2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若实数, 使e1e2=0，则=0.A B C D仅5若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( )A-a+3b B3a-b Ca-3b D-3a+b*6平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足=+，其中,R且+=1，则x, y所满足的关系式为 （ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0二、填空题7作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;8若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且=2,则x= ，y= ;9已知A(2,3),B(1,4)且=(sin,cos), ,(-,),则+= *10已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为 11、若，则与的夹角的取值范围是 。12、 ，与的夹角是 。13、 已知若与的夹角为钝角，实数m的取值范围为 。14、已知，则与的夹角是 三、解答题15.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b16如果向量=i-2j ,=i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。17已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,求证：*18已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若，试求为何值时，点P在第三象限内？19、已知若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围。20、已