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流体力学关于绕流问题的几点扩充 学生： 学号： 专业： 摘要： 1、选题背景： 圆柱体是一种最基本的钝体，但工程中其他形状的钝体，例如圆球体、串列的双圆柱体、椭圆柱体随处可见，因此对于除了圆柱体外其他形状物体的研究在理论上和实际工程中都有很重要的意义。2、主要内容： 类比于圆柱绕流，研究了圆球的绕流问题；利用“二阶投影法求解二维不可压粘性流体的N - S 方程”的方法计算了高雷诺数Re = 1 105 下串列圆柱的非定常绕流，以此来研究串列的双圆柱绕流问题；采用将“椭圆化圆”的方法研究椭圆柱体的相关绕流问题；最后采用了边界元方法对“三椭圆柱体的绕流流场和压力场”问题进行了研究。3、结论： 通过研究，对工程上的多种绕流问题有了进一步的理解与系统化的归纳与总结。关键词：圆球绕流、双列圆柱绕流、椭圆绕流、三椭圆柱体绕流。正文： 在对流动现象展开描述之时，我们先介绍下高等流体力学的概念，发展和实际生活方面上的应用。流体力学的有关概念：流体力学是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科。主要研究在各种力的作用下，流体本身的状态及流体和固体壁面、流体被间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体（包含气体及液体）现象以及相关力学行为的科学。可以按照研究对象的运动方式分为流体静力学和流体动力学，还可按应用范围分为水力学，空气动力学等。 理论流体力学的基本方程是纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。纳维-斯托克斯方程由一些微分方程组成，通常只有通过一些边界条件或者通过数值计算的方式才可以求解。它包含速度v=（u,v,w),压强,密度，粘度温度等变量，而这些都是位置(x,y,z) 和时间t的函数。通过质量守恒、能量守恒和动量守恒，以及热力学方程 f(,P,T)和介质的材料性质我们可以确定这些变量。流体的流动曲线流体力学中研究得最多的流体是水和空气。它的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律，常常还要用到热力学知识，有时还用到宏观电动力学的基本定律、本构方程和高等数学、物理学、化学的基础知识。1738年伯努利出版他的专著时，首先采用了水动力学这个名词并作为书名；1880年前后出现了空气动力学这个名词；1935年以后，人们概括了这两方面的知识，建立了统一的体系，统称为流体力学流体力学的应用领域：除水和空气以外，流体还指作为汽轮机工作介质的水蒸气、润滑油、地下石油、含泥沙的江水、血液、超高压作用下的金属和燃烧后产生成分复杂的气体、高温条件下的等离子体等等。气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，汽车制造（联众集群），以及天体物理的若干问题等等，都广泛地用到流体力学知识。许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了它不断地发展。1950年后，电子计算机的发展又给予流体力学以极大的推动流体力学的理论基础： 流体力学是人类同自然、灾难作斗争，在长期的生产实践中逐步认识和掌握自然规律，通过科学实践发展起来的，是人类集体智慧的结晶。人类最早对流体力学的认识是从治水、灌溉、航行等方面开始的。在我国水力事业的历史十分悠久。古代的铜壶滴漏（铜壶刻漏）计时工具，就是利用孔口出流，水位随时间变化的规律来计算时间的。说明当时对孔口出流已有相当的认识。清朝雍正年间，何梦瑶在算迪一书中提出流量等于过水断面 面积乘以断面平均流速的计算方法。 与我国情况相类似，早在几千年前，在埃及、巴比伦、希腊和印度等地，为了发展农业和航运业，也修建了大量的渠系。古罗马人则修建了大规模的供水管道系统。这些事实说明人们在大量的生产实践中也认识了一些水流运动的规律。但是，真正对流体力学学科形成最早作出贡献的是西西里岛的古希腊学者阿基米德（Archimedes），他在公元前3世 纪撰写了“论浮体”，奠定了流体静力学的基础。此后千余年间，流体力学没有重大发展。 流体力学的主要发展是从牛顿时代开始的，1687年牛顿在名著自然哲学的数学原理中讨论了流体的阻力、波浪运动等内容，使流体力学开始成为力学中的一个独立分支。此 后，流体力学的发展主要经历了三个阶段 ： 第一阶段：伯努利所提出的液体运动的能量估计及欧拉所提出的液体运动的解析方法，为研究液体运动的规律奠定了理论基础，从而在此基础上形成了一门属于数学的古典 “水动力学”（或古典“流体力学”）。 第二阶段：在古典“水动力学”的基础上纳维和斯托克思提出了著名的实际粘性流体的基本运动方程纳维-斯托克思方程(N-S方程)。 从而为流体力学的长远发展奠定了理论基础。但由于其所用数学的复杂性和理想流体模型的局限性，这些纯理论的推导所作的某些假定与实际不尽相符，或由于数学上难于求解，不能满意地解决工程问题，故为了解决生产实际问题，另一类的研究是从大量的实验和实际观测中总结出来一些经验关系式，并根据简化后的一维方程进行数学分析，建立各运动要素间的定量关系。便形成了以实验方法来制定经验公式的“实验流体力学”。但由于有些经验公式缺乏理论基础，使其应用范围狭窄，且无法继续发展。 第三阶段：从19世纪末起，人们将理论分析方法和实验分析方法相结合，以解决实际问题，同时古典流体力学和实验流体力学的内容也不断更新变化，如提出了相似理论和量纲分析，边界层理论和紊流理论等，在此基础上，最终形成了理论与实践并重的研究实际流体模型的现代流体力学。20世纪以来，随着生产和科学技术的发展，特别是航空技术堵塞迅速发展，使得理论分析和实验方法日益结合，形成了现代流体力学。根据侧重不同，又可将侧重于理论分析的流体力学称为理论流体力学，将侧重于应用研究的流体力学称为 工程流体力学。流体力学的应用更是日益广泛。流体动力学的重大进展：20世纪初，飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展。航空事业的发展，期望能够揭示飞行器周围的压力分布、飞行器的受力状况和阻力等问题，这就促进了流体力学在实验和理论分析方面的发展。20世纪初，以儒科夫斯基、恰普雷金、普朗特等为代表的科学家，开创了以无粘不可压缩流体位势流理论为基础的机翼理论，阐明了机翼怎样会受到举力，从而空气能把很重的飞机托上天空。机翼理论的正确性，使人们重新认识无粘流体的理论，肯定了它指导工程设计的重大意义。流体动力学的典例：空气的流动在日常生活中是看不见的，但低速气流的流动却与水流有较大的相似性。日常的生活经验告诉我们，当水流以一个相对稳定的流量流过河床时，在河面较宽的地方流速慢，在河面较窄的地方流速快。流过机翼的气流与河床中的流水类似，由于机翼一般是不对称的，上表面比较凸，而下表面比较平，流过机翼上表面的气流就类似于较窄地方的流水，流速较快，而流过机翼下表面的气流正好相反，类似于较宽地方的流水，流速较上表面的气流慢。根据流体力学的基本原理，流动慢的大气压强较大，而流动快的大气压强较小，这样机翼下表面的压强就比上表面的压强高，换一句话说，就是大气施加与机翼下表面的压力(方向向上)比施加于机翼上表面的压力(方向向下)大，二者的压力差便形成了飞机的升力。简单来说，飞机向前飞行得越快，机翼产生的气动升力也就越大。当升力大于重力时，飞机就可以向上爬升；当升力小于重力时，飞机就可以降低高度。 观察时可以发现我们生活在一个流体的世界里.生活离不开流体，同样我们也离不开流体.鹰击长空，鱼翔浅底；许许多多的现象都与流体力学有关.生活中的很多事物都在经意或不经意中巧妙地掌握和运用了流体力学的原理，让其行动变得更灵活快捷. 比如高尔夫球的表面做成有凹点的粗糙表面，而不是平滑光趟的表面，就是利用粗糙度使层流转变为紊流的临界雷诺数减小，使流动变为紊流，以减小阻力的实际应用例子.最初，高尔夫球表面是做成光滑的，后来发现表面破损的旧球反而打的更远.原来是临界Re数不同的结果.同样在游泳的时候也受到流体的作用.游泳是在水中进行的周期性运动.人在水中的漂浮能力与身体所持姿势直接相关.身体保持流线型（吸足气），使重心与水的浮心接近一条直线，就能漂浮较长时间；如果先吸足气，双臂却紧贴体侧，胸腔虽充足气，但下肢相对上身比重较大，下肢很快就会下沉.因此，游泳不但要充分利用水的浮力，而且要尽量减少失去浮力的时间，如头不要抬得太高，身体不能起伏转动太大，空中移臂时间宜短等.游泳者游进时受到相反方向的阻力作用.游泳得阻力包括水的摩擦阻力、波浪阻力和物体得形状阻力.设流线型物体的阻力为1，那么其他形状物体的阻力就大几倍至100倍.推进力是指做臂划水或腿打水（蹬夹水）动作时给水一个作用力，水就给人体一个力量大小相等的反作用力，这个力就叫推进力.游泳就是靠臂绕肩关节和腿绕髋关节，以复杂的弧线做圆周运动.根据圆周运动的有关原理，角速度相等时，半径越长线速度越大.所以，游泳运动过程中，距肩和髋最远的手和脚的速度最大.臂划水的作用面是手掌和前臂，腿打、踢水的作用面主要是脚面和小腿前侧；腿蹬夹水的主要作用面则是脚和小腿内侧.增加这些部位对水的横切面（如佩带蹼具等），就能产生更大的推进力. 在我们身边来来往往飞驰的汽车，更是与流体力学的巧妙结合.汽车发明于19世纪末，当时人们认为汽车的阻力主要来自前部对空气的撞击，因此早期的汽车后部是陡峭的，称为箱型车，阻力系数（CD）很大，约为0.8.实际上汽车阻力主要来自后部形成的尾流，称为形状阻力.20世纪30年代起，人们开始运用流体力学原理改进汽车尾部形状，出现甲壳虫型，阻力系数降至0.6.20世纪5060年代改进为船型，阻力系数为0.45.80年代经过风洞实验系统研究后，又改进为鱼型，阻力系数为0.3，以后进一步改进为楔型，阻力系数为0.2.90年代后，科研人员研制开发的未来型汽车，阻力系数仅为0.137.可以说汽车的发展历程就是代表了流体力学不断完善的过程.流体力学的研究范围：流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。20世纪初，世界上第一架飞机出现以后，飞机和其他各种飞行器得到迅速发展。20世纪50年代开始的航天飞行，使人类的活动范围扩展到其他星球和银河系。航空航天事业的蓬勃发展是同流体力学的分支学科空气动力学和气体动力学的发展紧密相连的。这些学科是流体力学中最活跃、最富有成果的领域。石油和天然气的开采，地下水的开发利用，要求人们了解流体在多孔或缝隙介质中的运动，这是流体力学分支之一渗流力学研究的主要对象。渗流力学还涉及土壤盐碱化的防治，化工中的浓缩、分离和多孔过滤，燃烧室的冷却等技术问题。燃烧离不开气体，这是有化学反应和热能变化的流体力学问题，是物理-化学流体动力学的内容之一。爆炸是猛烈的瞬间能量变化和传递过程，涉及气体动力学，从而形成了爆炸力学。沙漠迁移、河流泥沙运动、管道中煤粉输送、化工中气体催化剂的运动等，都涉及流体中带有固体颗粒或液体中带有气泡等问题，这类问题是多相流体力学研究的范围。等离子体是自由电子、带等量正电荷的离子以及中性粒子的集合体。等离子体在磁场作用下有特殊的运动规律。研究等离子体的运动规律的学科称为等离子体动力学和电磁流体力学，它们在受控热核反应、磁流体发电、宇宙气体运动等方面有广泛的应用。风对建筑物、桥梁、电缆等的作用使它们承受载荷和激发振动；废气和废水的排放造成环境污染；河床冲刷迁移和海岸遭受侵蚀；研究这些流体本身的运动及其同人类、动植物间的相互作用的学科称为环境流体力学(其中包括环境空气动力学、建筑空气动力学)。这是一门涉及经典流体力学、气象学、海洋学和水力学、结构动力学等的新兴边缘学科。生物流变学研究人体或其他动植物中有关的流体力学问题，例如血液在血管中的流动，心、肺、肾中的生理流体运动和植物中营养液的输送。此外，还研究鸟类在空中的飞翔，动物在水中的游动，等等。因此，流体力学既包含自然科学的基础理论，又涉及工程技术科学方面的应用。此外，如从流体作用力的角度，则可分为流体静力学、流体运动学和流体动力学；从对不同“力学模型”的研究来分，则有理想流体动力学、粘性流体动力学、不可压缩流体动力学、可压缩流体动力学和非牛顿流体力学等。流体力学的研究展望：从阿基米德到二十一世纪，特别是从20世纪以来，流体力学已发展成为基础科学体系的一部分，同时又在工业、农业、交通运输、天文学、地学、生物学、医学等方面得到广泛应用。今后，人们一方面将根据工程技术方面的需要进行流体力学应用性的研究，另一方面将更深入地开展基础研究以探求流体的复杂流动规律和机理。后一方面主要包括：通过湍流的理论和实验研究，了解其结构并建立计算模式；多相流动；流体和结构物的相互作用；边界层流动和分离；生物地学和环境流体流动等问题；有关各种实验设备和仪器等。 课堂上卢苇老师关于圆柱绕流的各种情况进行了很细致地讲解，本文将就圆球、双圆柱、椭圆柱体、三椭圆柱体绕流问题加以拓展。圆球绕流问题： 圆球绕流是所有三维物体绕流中最简单的一种，随着雷诺数的增大，圆球与圆柱的阻力形成发展有很大的相似性，只是圆柱和二维物体如翼型往往连带着涡街，而对三维物体却不存在涡街，这是例外。代替涡街的是涡环，发生在Re=10左右，并当200Re2000,涡环就变得不稳定，倾向于物体的下游方向运动并立即被新的涡街所代替。然而这个过程不是周期性的，并不引起圆球的振动。圆球绕流的研究具有很重要的现实意义，因为它是流体力学一个分支的基础，即质点力学。研究对象涉及到与流体中固体质点的流动或气体中液体质点的流动有关的所有问题，并包括气体输运、质点分离、沉淀、渗漏等质点问题。当Re值很小时，在圆球绕流期间亦叫“蠕动”，可假定不计惯性影响，从而恒定流动的N-S方程可省略方程左边的惯性项而大大简化，这样求解压强的梯度gradp得到压强分布，因而使粘性阻力的计算成为可能。斯托克斯根据简化的N-S方程与极坐标表示的连续性方程联立，并用圆球表面处所有的速度分量皆为零的边界条件得到了阻力的解，即众所周知的公式：，式中R是圆球半径，是流体自由流速度，是流体自由粘性系数。此公式真正适用于Re0.1，但当忽略误差时可应用于Re=0.2。在此范围内常称为斯托克斯流动。由一般阻力公式和斯托克斯解相等可得到绕流阻力系数表达式：。当Re较大时边界层发生分离，并且N-S方程不能用。因此必须依靠经验公式。斯托克斯公式构成油的粘性系数测定的基础，要点是使已知直径的圆球可以在油中自由下落。经起始加速度后，该圆球获得称之为极限速度的某一恒定速度，这是当作用于该球体表面上绕流阻力与浮力之和等于重力时达到的。校核圆球下落速度，测量极限速度，即可确定流体的动力粘性系数。在已知动力粘性系数的流体中，也可用该方法确定球体质点的平均直径。在大Re值的情况下，圆球前半部范围内的流动可划分成一薄边界层。在此区域内，粘性作用是主要的，而在外区，相当于无粘性流体流动。在圆球前半部范围内，自滞点向前，压强是减小的，因而对边界层起稳定作用，该边界保持层流直到Re=5*105左右，超出圆球上最小压强点（约在80度处），则边界层受到逆压强梯度的作用而发生分离。在小Re值的情况下，分离始于后方滞点并随Re值的增大分离向前移动，当Re值约为1000时，分离从前方滞点开始到80度位置。压强阻力开始处于支配地位，直到Re=5*105时变成与Re无关，边界层转变发生，在分离发生之前就由层流转变为紊流，分离点移至后方，形成较小的尾流，而值约从0.5突然减到0.2。从质点力学看可把圆球绕流分成3个区：斯托克斯流区：(1)Re0.2，=24/Re； (2)艾伦流区：0.2Re500,=f(Re)；(3)牛顿流区：500Re105,=0.44。圆球绕流的流谱以及随Re的变化与圆柱绕流相似，所不同的是圆球绕流时剥落下来的是一个接一个的螺旋形涡，而圆柱绕流剥落下来的是平面点涡，且形成卡门涡街。圆球绕流出现这种螺旋形涡的雷诺数范围与圆柱绕流出现卡门涡街的雷诺数范围类似。双圆柱问题：圆柱体是种基本的钝体,串列的双圆柱体在工程中随处可见,如吊桥中的并列索、桥塔的两根塔柱及高耸的建筑群等。 因此,双圆柱绕流研究在理论上和实际工程中都有很重要的意义。这方面现有的研究成果大多是通过实验获得的， 随着计算流体动力学方法和计算机技术的发展,数值模拟作为一种工具越来越广泛地应用于工程领域。本文模拟计算了雷诺数Re= 100 ,200 ,1 000 下的双圆柱绕流,但在实际工程中,雷诺数往往很大(超过亚临界区) ,外形也更复杂,并不可避免地伴随着分离流动、涡的脱落等。 本文选定雷诺数Re = 1 105 ,假定均匀来流,并忽略粗糙度的影响, 对固定串列双圆柱绕流进行计算。 串列圆柱的绕流,受到雷诺数、来流湍流度、两圆柱间距和圆柱表面粗糙度这几个参数的影响,显示出不同的特性。 根据试验结果,存在两种基本不同的流态,其区别就是前柱分离的剪切层是直接作用在后柱上,还是能单独形成自身的旋涡脱落。 它们的临界间距在圆柱间距与直径比P/D = 3.5 左右 ,在临界间距段P/D = 3.53.8 ,两种流态会随机地交替变化,从而引起前后圆柱的阻力系数的不连续跳跃。在P/D 4.0 时,前柱的涡脱频率和阻力系数都接近于单圆柱绕流的情况,而后圆柱则在不同的雷诺数、间距下有不同的变化。在本文的计算中,选用圆柱间距与直径比P/ D = 1.5,5.0的两种排列,清楚地反映了这两种基本流态。 控制方程和数值方法：采用采用二阶投影方法求解N - S 方程,对时间离散后,求解以下方程: 在每一时间步上,速度和压力项通过一个迭代过程来求解。先不计方程中的压力项求解中间速度场,再求解压力项和速度,用连续条件来修正进行迭代。 粘性项即对拉普拉斯算子的离散采用二阶中心差分格式,但在边界上要做适当的修改。 网格划分及边界条件：网格采用分区结构化网格,网络分区进行加密,并保证贴面层网格厚度yp满足：，其中为流体运动粘性系数, B 为特征长度, U为来流速度。 由此贴面网格厚度取B/1000 ,圆周长向取B/ 100。计算区域为矩形,上游边界距前柱(肋)5B ,下游边界距后柱(肋)15B . 区域宽为18B 。 B对圆柱取直径,拱肋 B为肋高。总网格数在2万左右。 图1 两圆柱的排列 图二 拱肋尺寸 图三 计算区域 边界条件:圆周上u=0，v=0,在上游边界上取u=1,v=0。下游边界 ，。压力界条件为，n 为边界外法线,下游边界上取P = 0。计算前设定:在整个计算区域内和边界上P =0 ，圆周上取u =0 , v =0 ，在流场内和其它边界上u =1 ,v =0， 计算过程中先设定雷诺数Re =100 ,速度、压强的差分格式为一阶格式,计算得到定常绕流的稳态解,把此解作为初始条件,改设速度、压强的差分格式为二阶格式,再计算雷诺数Re = 1 105 下的非定常绕流。 计算结果及其分析：选定雷诺数Re = 1105 ,圆柱间距与直径比P/D有1.5 5.0 两种排列(见图1) 。流体的粘性系数取1.4607 10 (- 5) m2 s (- 1) ,密度为1. 225 kgm(- 3) 。 计算时假定来流为均匀来流， 圆柱表面绝对光滑。两种间距的圆柱排列,分别属于两种不同的基本流态,见下图： P/ D = 5.0 此时属于流态2 ,前柱因受后柱的影响很小,会形成独自的涡脱落,阻力系数CD 和斯特劳哈尔数S r均接近相同雷诺数下单柱绕流的值。对升力系数CL 时程曲线进行Fourier 变换,可得到斯特劳哈尔数S r。 在斯特劳哈尔数图上,前柱有一卓越涡脱频率,却接近单柱的值,说明其受后柱的影响确实很小,而后柱在前柱的尾流的影响下,在S r = 0. 54 处还有个小波峰。 比较两圆柱的阻力、升力时程图,还可知升力周期为阻力周期的两倍,这与理论相符。 P/D = 1.5此时属于流态1 ,气流在前柱前缘分离后,再在后柱产生再附,随着后柱涡的脱落,再附现象在后柱两边交替出现。两圆柱间形成两个明显的负压区,这样前柱的阻力系数会比单圆柱绕流时小,而后柱产生负的阻力系数. 涡脱频率后柱要比前柱大,但都比单柱小。计算所得结果仍然很好。 椭圆绕流：总体思路：椭圆变圆。为平面内圆方程，茹柯夫斯基变换: 长半轴 ，短半轴 。长轴沿 x 轴，短轴沿Y 轴。 设Z平面内均匀来流速度为U，相对于椭圆主轴攻角为。因为在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换，可知平面内无穷远处的相应速度也为U，攻角也为。平面内均匀来流复位势为 。在平面原点放置圆柱，根据圆周定理可得绕流圆柱复位势为：为了满足Z趋于时，趋于Z。根号前取+号，平面椭圆绕流复位势，第一部分为均匀来流复位势；第二部分为由于椭圆引起的扰动流的复位势，在物面附近时影响显著，当 Z趋于时趋于零。以下是两个特例 =0，=/2。驻点：平面圆柱绕流驻点， Z平面椭圆绕流驻点， 驻点为 三个椭圆柱体的绕流：采用边界元方法处理此类问题，弥补了用有限差分法及有限元法处理同类问题的不足。使问题处理起来十分方便、简捷，精度比较高。有限差分法是较为通用的方法，但是它不便于处理非本质边界条件，有时因边界条件的处理不当而影响计算结果的稳定性。所以，一般适应性较差，有限元方法比较适应对各类边界条件的处理，但是，一般需要输入的信息量较大，计算也相对较繁杂。边界元方法在处理粘性流动中显示了较大的优越性。其特点有两个：一是边界化，即把求解区域内的定接问题化为求解边界的积分方程。从而降低了维度，计算量呈指数减少。二是离散化，即对边界进行剖分，得到了离散化的代数方程组。从而把求解边界上未知量的值与内点未知量分开来计算。当求得边界点上的变量值之后，便可任意求出需要求解的内点之值，无须对所有内点同时求解，计算时个别内点的错误并不影响其他点求解的正确性，因而比较灵活。 求解的积分方程：对粘性不可压流体的控制方程用加权余量法进行处理，得到如下的等价积分方程：Re为雷诺数， 、为基本解，、分别为对应于V和W 的张量，式(1)中具有奇点的积分均为柯西主值积分。式(1)为确定速度v(x)=和边界应力，的积分方程组。 压力的积分表达式为：式（1）和式（2）为处理定常不可压粘性流动的基本积分方程组。离散化处理：将边界剖分为N个小单元，=（1，2，N)，于是得离散化公式：在计算上述系数时，考虑到本块影响是主要的，所以对i=j 时，先计算出系数的解析式，再编程序，这样，可以提高精度，为了适应任意形状物体的绕流问题，对于角点处出现的角点问题采用非协调单元法进行处理。 计算结果分析：考虑外边界为矩形。其长宽各为20和12个单元，取坐标轴x轴为水平方向，Y轴为铅直方向，外边界为速