基于Mathematica7_0下构建数学模型求解最优化问题_朱琳琳.pdf

2012 年第 2 期 收稿日期 2012 03 01 作者简介 朱琳琳 1980 男 辽宁丹东人 讲师 研究方向为应用数学 数学建模 基于 Mathematica7 0 下 构建数学模型求解最优化问题 朱琳琳 辽宁机电职业技术学院 辽宁 丹东118000 摘要 研究利用Mathematica7 0求解导数应用中的最值问题 分析了求解最优化问题的数学模型和 Mathematica7 0设计最值的操作步骤 并列举实例进一步说明使用该数学软件是解决工程技术 经济等领域遇 到最优化问题的有效途径 关键词 数学软件 数学模型 最优解 中图分类号 O 224文献标识码 A文章编号 1671 2153 2012 02 0027 04 0引 言 在工程技术及科学实验中 往往会遇到怎样 用料最省 成本最低 效率最高 等最优化问 题 这些在数学中都可以归纳为求最值问题 在解 最值问题时 总会涉及到大量的计算与公式的推 导 传统手工计算已经不能满足工程与实验的需 要 但随着数学建模的发展与计算机的应用 这种 工作效率低的局面得到了极大的改善 本文将着 重 讨 论 构 建 最 值 的 数 学 模 型 以 及 基 于 Mathematica7 0进行计算机辅助设计 1Mathematica7 0构建最优化模型 2008年出版的Mathematica7 0是一款功能强 大的处理数学问题的系列软件系统 它在数值计 算 符号运算 图形处理等方面都有着出色的表 现 当利用该软件设计最优化问题时 除了需要思 考如何将问题构建成数学模型 同时也要思考如 何将模型转换成软件程序 下面以一个标准的最 优化问题为例 制作盒子 1 进行说明 通过从12 cm 12 cm的方形马口铁 图1a 的 四角切去全等的四个小正方形 再把四边向上折 起制作成一只无盖方盒子 图1b 从四角切掉多 大的正方形才能使方盒子体积最大 在构建数学模型的过程中 首先根据已知条 件设四角处正方形的边长为x 盒子体积模型为 高 长 宽 则V关于x的函数为 V x x 12 2x 2 144x 48x2 4x3 其次 原马口铁的边长为12 cm 所以V x 函 数的定义域为x 0 6 这就限定了下步求解驻点 时的范围 再次 对V x 取一阶导数确定符合定义域内 的驻点 即 dV dx 144 96x 12x2 12 2 x 6 x 令 dV dx 0解驻点得 x 2 cm x 6 cm 最后 比较驻点函数值与端点函数值V 2 宁波职 业技 术学 院学 报 Journal of Ningbo Polytechnic 2010年4月Apr 2010 第14卷第2期Vol 14 No 2 宁波职 业技 术学 院学 报 Journal of Ningbo Polytechnic 2012年4月Apr 2012 第16卷第2期Vol 16 No 2 图1方盒子的制作 12 2x 12 12 2x x x x x xx x x 12 12 a b 27 2012 年第 2 期 宁波职业技术学院学报E mail nbtpxb 163 com 128 V 0 0 V 6 0 可知符合题意只有V 2 128 cm3 故当x 2 cm时盒子体积最大为128 cm3 通过以上的模型分析 利用Mathematica7 0设 计程序命令时就需要用到设置函数 解方程 求 导 函数赋值 最值比较和图像描绘等命令 2 即 In 1 v x x 12 2x 2 In 2 v x Out 2 12 2 x 2 4 12 2x x In 3 Solve v x 0 x Out 3 x 2 x 6 In 4 v x x 0 2 6 Out 4 0 128 0 In 5 Max Out 5 128 In 6 Plot v x x 0 6 AxesLabel 边长为 cm 体积为cm3 Out 6 由上述结果绘制曲线 结果如图2所示 由图2可以看出 当四角处正方形的边长为2cm 时 马口铁制作的盒子体积最大为128 cm3 与此同 时 绘制了在不同边长情况下 x 0 6 方盒子 的体积变化图像 从而可以方便观察比较盒子体 积的最大值 通过例题可以看出 一方面构建数学模型对 解决最优化问题所起到的指导性作用 另一方面 Mathematica7 0设计的数学模型程序简洁 直观 做题效率大大提高 因此 可以利用软件设计的这种 模板 去解 决更多最优化问题 这种 模板 可以归纳为如下 步骤 3 a 设置合适模型函数 f x b 求模型函数一阶导数 f x c 利用一阶导数求符合定义域的函数驻点 Solve f x 0 x d 输出驻点 端点的函数值比较 最值者为 要求的最优化解 Max x1 x2 或者Min x1 x2 e 在定义域内画f x 图像 进一步验证所求 最优化解 Plot f x x a b 2最优化方案举例 根据 模板 的设计 这里再列举实例进一步 进行阐述 数学模型和软件辅助设计在解决最优 化问题中的作用 4 2 1造价最省问题 铁路线上AB段的距离为100 km 工厂C距 A处为20 km AC垂直于AB 如图3所示 为了 运输需要 在AB线上选定一点D向工厂修筑一 条公路 已知铁路每公里造价为3000美元 公路 每公里造价5000美元 为了使从B到C的工程造 价最省 问D设于何处 为解决此问题 不妨根据题意设AD x km 0 x 100 那么DB 100 x CD 202 x2 姨 需要 解决的是总造价 设为S x 美元 模型为 总造价 CD段公路造价 DB段铁路造价 因此 总造价可以表示为 S x 5000CD 3000DB 即 S x 5000202 x2姨 3000 100 x 0 x 100 通过对例题的数学建模 问题就归纳为 x在 0 100 内取何值 S x 最小 因此 基于Mathematica7 0 设计的 最优化模板 可以输入程序为 In 7 cd x 5000202 x2姨 In 8 db x 3000 100 x In 9 s x cd x db x In 10 s x Out 10 3000 100 x 5000400 x2姨 这里设置的是需要研究的总造价模型S x 图2方盒子体积变化曲线 边长 cm 体积 cm3 图3路面示意图 20km BA C D100km 28 2012 年第 2 期 函数 In 11 s x Out 11 3000 5000 x 400 x2姨 给出造价函数的一阶导数 为求其驻点 In 12 Solve 0 x Out 12 x 15 解出驻点 为下一步比较最省造价做准备 In 13 N s x x 0 15 100 Out 13 400000 380000 509902 In 14 Min Out 14 380000 比较驻点与端点函数值 确定最小造价 In 15 Plot s x x 0 100 AxesOrigin 0 300000 AxesLabel 里程为km 造价为美元 Out 15 由上述结果绘制曲线 结果如图4所示 由图4可以看出 x在定义域内不同取值处造 价走势 因此 得到当x 15 km时 总造价最省为 380 000美元 按 最优化模板 的形式设计解题程序 当公 路 铁路每公里造价改变时 仍可以在原有的模型 基础上进行适当调整 说明 模板 的通用性较强 另外 在程序设计时需提前设置好相应的未知数 及其定义域 这在程序中是不能直接体现的 需要 根据题意先行整理 2 2存货成本最小化 某零售电器商店每年销量为2 500台电视机 库存一台电视机一年 商店需花费10美元 为了 再订购 需付20美元的固定成本 再每台另付9 美元 为了最小化存货成本 商店应按多大的批量 再订购 且每年应订购几次 在分析过程中发现 商家一方面希望通过低 批次大批量进货的方式可以使进货成本降低 但 同时会导致持产成本增加 另一方面选择多批次 低批量进货可以降低持产成本 但再订购成本会 增加 商家希望能找到持产成本和再订购成本之 间的一个平衡点 能够让总存货成本最小 基于这 样的设想 构建数学模型帮助解决存货成本最小 化 设x表示批量 且根据题意x 1 2 500 存 货成本C x 表示为模型 即 C x 年度持产成本S x 年度再订购成 本R x a 年度持产成本S x 可以根据现有平均存 货量 x 2 和每台库存花费10美元得到 年度持产成本S x 每台年度成本 平均台 数 10 x 2 b 年度再订购成本R x 用设置的批量x 再 假定每年再订购N次 于是Nx 2500 且N 2500 x 因而 年度再订购成本R x 每次订购成本 再订 购次数 20 90 x 2500 x 综 上 C x 10 x 2 20 9x 2500 x 5x 50000 x 22500 需要求定义域x 1 2500 上的最小值 先求 C x 5 50000 x2 对于定义域内的x C x 都存在 所以当C x 0得x值为 C x 5 50000 x2 0圯x 100 根据题意 x 100台 因此 为了最小化存货成本 商店应每年订25 次 25000 100 批量为100台 次 同样 利用Mathematica7 0软件的 最优化模 板 命令设计为 In 16 s x 10 x 2 In 17 r x 20 9x 2500 x In 18 c x s x r x In 19 c x Out 19 5x 2500 20 9x x 通过函数设置命令 预整理存货成本函数 In 20 c x 朱琳琳 基于Mathematica7 0下构建数学模型求解最优化问题 图4总造价变化曲线 里程 km 造价 美元 29 2012 年第 2 期 宁波职业技术学院学报E mail nbtpxb 163 com Construction of a mathematical model for solving optimization problems based on Mathematica7 0 ZHU Lin lin Liaoning Jidian Polytechnic Dandong 118000 China Abstract A study on the adoption of Mathematica7 0 is made in the derivative application of computing the maximum and minimum values of a function It analyzes the mathematic model to solve the optimization problems and the operating procedures designed by Mathematica7 0 and then further illustrates that the adoption of the mathematical software is the most effective way to solve the optimization problems in engineering economics and other fields by providing practical examples Key words mathematical software mathematical model the optimal solution Out 20 5 22500 x 2500 20 9x x2 求存货成本一阶导数 In 21 Solve c x 0 x Out 21 x 100 x 100 利用Solve解方程命令 解驻点并根据实 际题意取得 x 100 In 22 c x x 1 100 2500 Out 22 72505 23500 35020 In 23 Min Out 23 23500 利用Min命令 确定最低存货成本 In 24 Plot c x x 1 2500 AxesOrigin 100 20000 AxesLabel 批量为台 存货成本为美元 Out 24 由上述结果绘制曲线 结果如图5所示 由图5 中得出存货成本的最小值 3结束语 综上所述 在研究最优化问题时 最大的特色 就是可以借助Mathematica7 0软件设计数学模型 的 最优化模板 利用这种 模板 可以方便的求 出所遇