张仁友_高能物理过程的精确计算.pdf

2011 12 301 高能物理过程的精确 计算 高能物理过程的精确 计算 中国科学技术大学张仁友 2006年10月31日桂林 中国科学技术大学张仁友 2006年10月31日桂林 2011 12 302 1 引言1 引言 标准模型的检验 W Z top等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量 Higgs粒子的寻找与测量 Higgs粒子是否存在粒子是否存在 Higgs粒子的物理特性 是否是标准模型的 粒子的物理特性 是否是标准模型的Higgs粒子粒子 新物理的发现与精确测量 超对称 额外维 小超对称 额外维 小Higgs模型模型 等新模型的发现 模 型参数测量 等新模型的发现 模 型参数测量 2011 12 303 高能对撞机高能对撞机 Tevatron running com 1 96 TeV PPbar lumi 2E32 cm 2s 1 CDF D0 LHC 2007 com 14 TeV PP lumi 2E33 cm 2s 1 low luminisity then 2E34 cm 2s 1 ATLAS CMS LHCb Alice LC in the future e e collision and gamma gamma collision or e gamma collision NLC JLC TESLA CLIC 2011 12 304 大量费曼图的计算 大量费曼图的计算 标量积分函数的计算 标量积分函数的计算 张量积分函数推导为标量积分函数的计算 张量积分函数推导为标量积分函数的计算 控制数值计算的精度 控制数值计算的精度 多体末态 高精度 多体末态 高精度 理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题 2011 12 305 2 量子场论计算的基础知识2 量子场论计算的基础知识 可观测量O的期望值 其中为过程的矩阵元 动力学部分 为相空间体积元 n M 121nn kkppd 2011 12 306 a 费曼规则 费曼图 数学表达式费曼规则 费曼图 数学表达式 图形与幅度的转换过程是按照费曼图图形技术中所对应的 规则进行的 图形与幅度的转换过程是按照费曼图图形技术中所对应的 规则进行的 外线对应自由波函数 内线对应着传播函数 顶点对应相 互作用顶点 例 费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则 外线对应自由波函数 内线对应着传播函数 顶点对应相 互作用顶点 例 费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则 2011 12 307 例 矩阵元 其中 例 矩阵元 其中 2011 12 308 二阶张量圈图积分函数部分 矩阵元中剩余部分 标量积分函数 2011 12 309 b IR和和UV发散的正规化发散的正规化 k 0 IR发散 发散 k inf UV发散 发散 维数正规化方案 维数正规化方案 n 4 2 UV发散的l圈图积分函数则出现最高达阶极点项 发散的l圈图积分函数则出现最高达阶极点项 IR发散的l圈图积分函数则可以出现直到阶的极点项 发散的l圈图积分函数则可以出现直到阶的极点项 l 1 l2 1 2011 12 3010 c N条外线过程的条外线过程的NLO计算计算 含胶子 光子或轻夸克辐射的含胶子 光子或轻夸克辐射的N 1条外线树图的对应幅度 产生 条外线树图的对应幅度 产生 实实 胶子 光子 轻夸克胶子 光子 轻夸克 辐射过程软 共线发散的分离 辐射过程软 共线发散的分离 PDF抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散 共线发散共线发散 的分离 的分离 N条外线单圈图条外线单圈图 包括抵消项图包括抵消项图 的对应幅度的产生 的对应幅度的产生 计算单圈图 分离出软 共线发散 计算单圈图 分离出软 共线发散 将上述贡献相加 消除紫外及红外发散 将上述贡献相加 消除紫外及红外发散 有限贡献的幅度数值计算 有限贡献的幅度数值计算 2011 12 3011 3 单圈标量积分函数计算3 单圈标量积分函数计算 n 4 2 维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积 分函数与外部张量 维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积 分函数与外部张量S的乘积求和的乘积求和 即即 其中 S只与外线运动学相关 2011 12 3012 I的一般形式为 对应于对称张量组合 例如 标量系数可以通过 的一般形式为 对应于对称张量组合 例如 标量系数可以通过Passarino Veltman方法求 出 它们由标量积分函数表示出 上述即为张量积分的约化过程 方法求 出 它们由标量积分函数表示出 上述即为张量积分的约化过程 m n j sssc 1 2011 12 3013 1 标量 1 标量A B C D圈积分函数定义 圈积分函数定义 其中 其中 24 nD 0 2 4 00 1 2 D qd i mA D D 10 2 4 1010 1 2 DD qd i mmpB D D 210 2 4 210210 1 2 DDD qd i mmmppC D D 3210 2 4 32103210 1 2 DDDD qd i mmmmpppD D D imqD 2 0 2 0 impqD 2 1 2 11 impqD 2 2 2 22 impqD 2 3 2 33 2011 12 3014 2 基本标量积分函数计算 2 基本标量积分函数计算 以为例来说明标量函数的计算 以为例来说明标量函数的计算 1 Feynman 或或 Schwiger 参数化参数化 Feynman参数化参数化 Schwiger参数化参数化 2 积分变量平移 积分变量平移 定义 定义 1 3 3 2 2 2 1 2 1 kkki kd I D D 2011 12 3015 3 Wick旋转旋转 4 D维欧氏空间的球坐标变换 维欧氏空间的球坐标变换 2011 12 3016 5 角向及径向积分 角向及径向积分 作变换 并对径向作积分 有 作变换 并对径向作积分 有 123311221 2 sxxsxxKt 角向积分 角向积分 2011 12 3017 3 3 A B标量积分函数的解析结果 标量积分函数的解析结果 4log 4 2 41log 2 2 2 0 E D DO m mmA ip mmmpmmp x x x x x p mmpB 2 2 1 2 2 0 2 1 22 0 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 10 2 0 2 4 1 1log 1 1loglog2 其中 G t Hooft and M Veltman NLB153 365 1979 2011 12 3018 对标量五点积分函数 对标量五点积分函数 A Denner and S Dittmaier hep ph 0212259 4 五点标量函数计算 4 五点标量函数计算 2011 12 3019 5 六点标量积分函数计算 5 六点标量积分函数计算 Guo 方法 方法 定义定义5点和点和6点标量积分函数 并用表示消去传播子后得到的 点标量积分函数 并用表示消去传播子后得到的5点函数 点函数 0 E i 0 F i N 2011 12 3020 定选择系数 使得 取 定选择系数 使得 取 2011 12 3021 得到 其中 为 得到 其中 为Gram行列式 行列式 Binoth的方法 的方法 其中 其中 2011 12 3022 2011 12 3023 4 张量积分函数计算4 张量积分函数计算 1 Passarino Veltman 方法 方法 例如 对于例如 对于3点点2阶张量积分 阶张量积分 N点点p阶张量积分 利用下面的性质降阶 阶张量积分 利用下面的性质降阶 2011 12 3024 其中 其中 三 四 五点张量积分函数推导中出现的三 四 五点张量积分函数推导中出现的Gram矩阵分别为 矩阵分别为 将将p阶的阶的N点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的N点和点和N 1 N 2 的 积分函数系数 降阶过 程中会出现 的 积分函数系数 降阶过 程中会出现Gram矩阵求逆 矩阵求逆 递归地采用递归地采用PV方法 解线性方程组 最终将张量积分函数系数表示为标 量积分函数 方法 解线性方程组 最终将张量积分函数系数表示为标 量积分函数 2011 12 3025 小 结 小 结 该方法原则上适用于该方法原则上适用于所有1 2 3 4 5点张量多点积分函数 的计算 所有1 2 3 4 5点张量多点积分函数 的计算 这种方法会出现这种方法会出现 Gram 矩阵求逆 当矩阵求逆 当Gram行列式值很小时 会产生 行列式值很小时 会产生积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定性 四点以下四点以下 含四点 积分函数数值计算中 含四点 积分函数数值计算中Gram行列式值很 小的区域仅仅出现在 行列式值很 小的区域仅仅出现在相空间的边缘附近相空间的边缘附近 如前后向区 阈值 附近 如前后向区 阈值 附近 5点5点积分函数数值计算中积分函数数值计算中Gram行列式值很小的区域可能出现 在 行列式值很小的区域可能出现 在相空间中间相空间中间 2011 12 3026 2 Denner Dittmaier 方法 方法 hep ph 0212259 2011 12 3027 矢量积分 矢量积分 2阶张量积分 阶张量积分 2011 12 3028 3阶张量积分 阶张量积分 2011 12 3029 该方法该方法避免出现避免出现Gram矩阵求逆矩阵求逆的计算的计算 2011 12 3030 5 六点张量积分的计算5 六点张量积分的计算 1 Guo 方法 方法 利用上式将利用上式将6点张量积分化为点张量积分化为5点同阶及低阶张量积分 得到的点同阶及低阶张量积分 得到的5点张量积 由 点张量积 由Denner Dittmaier方法化为方法化为5点及更低点标量积分的计算 点及更低点标量积分的计算 2011 12 3031 2011 12 3032 2 2 Denner Dittmaier 方法 方法 hep ph 0509141 6点张量积分点张量积分 2011 12 3033 张量积分的系数为张量积分的系数为 2011 12 3034 6 6 IR发散的分离发散的分离 Nucl Phys B675 2003 447 定义变量 一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子 设外线动量为类光四矢量 发散发生在 此时传播子n的动量与外线的动量在共线 位形上 因此这种发散称为共线发散 2011 12 3035 两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子 此时发散发生在 传播子n的动量 因 此这种发散称为软发散 2011 12 3036 圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离 为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式 将一个圈积分划 分为 为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式 将一个圈积分划 分为有限部分有限部分和和发散部分发散部分 其中有限部分的计算是与正规化方案无关 我们可以用标准的程序包 其中有限部分的计算是与正规化方案无关 我们可以用标准的程序包FF在在质量正规化方案质量正规化方案下计算 而发散部分可 以用相应的3点积分表示 下计算 而发散部分可 以用相应的3点积分表示 发散部分的计算 发散部分的计算 其中对于共线发散 其中对于共线发散 2011 12 3037 对于软发散 对于软发散 例例 五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算 2011 12 3038 根据