大学物理 薛定谔方程.pdf

2011 12 14大连理工大学 余 虹1 作者余 虹作者余 虹 2011 12 14大连理工大学 余 虹2 第第19章 实验基础与基本原理章 实验基础与基本原理 第第20章 薛定鄂方程章 薛定鄂方程 第第21章 量子物理的应用章 量子物理的应用 2011 12 14大连理工大学 余 虹3 20 1 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 20 2 双态系统双态系统 20 3 一维定态问题一维定态问题 20 4 原子中的电子原子中的电子 Erwin Schr dingerErwin Schr dinger 2011 12 14大连理工大学 余 虹4 经典理论经典理论 沿沿x方向传播的单色平面波方向传播的单色平面波 cos 2 x x tAt 2 x it x tAe 量子理论量子理论 沿沿x方向运 动的自由粒子的德布罗 意波是单色平面波 一 波函数 方向运 动的自由粒子的德布罗 意波是单色平面波 一 波函数 i Px xCe 一维定态波函数一维定态波函数 1 什么是波函数 1 什么是波函数 20 1 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 i Px Ce 2 xi itEtpx x tCeCe 一维波函数一维波函数 2 i h i Et e 2011 12 14大连理工大学 余 虹5 在在 在在 2 P rrrr 可测量可测量 r 2 d dddPrxyz r 在在V空间发现粒子的概率空间发现粒子的概率 2 d d d V P x y zxy z 意义 意义 附近可观测到粒子的概率密度附近可观测到粒子的概率密度 附近 附近 dV dx dy dz区域 内发现粒子的概率区域 内发现粒子的概率 可能性可能性 N个中子个中子中子半衰期中子半衰期616s 哪些中子衰 变 哪些中子衰 变 616s中有中有50 的中子 衰 变 的中子 衰 变 一 个 中 子 在一 个 中 子 在 616s中衰变的概率是中衰变的概率是 50 不能做绝对确定 性的断言 不能做绝对确定 性的断言 2011 12 14大连理工大学 余 虹6 2 波函数的条件2 波函数的条件 1 r 必须是时空的 必须是时空的单值单值函数函数 确定的时间 地点 粒子出现的概 率是确定的 确定的时间 地点 粒子出现的概 率是确定的 2 r 必须是 必须是有限有限的的 因为概率因为概率 W x y z 1 3 两个区域的边界处波函数两个区域的边界处波函数 1 2 1 2 连续 连续 粒子出现 在边界处确定点的概率是定值 粒子出现 在边界处确定点的概率是定值 4 粒子在全空间出现的概率粒子在全空间出现的概率 1 标准条件标准条件 2 d d d1x y z 归一化条件归一化条件 2011 12 14大连理工大学 余 虹7 如果如果 1 2 3 n 是粒子或系统的波函 数 则 是粒子或系统的波函 数 则 C1 1 C2 2 C3 3 Cn n也是粒子 或系统的波函数 也是粒子 或系统的波函数 3 态叠加原理态叠加原理 本征函数本征函数 本征态本征态 叠加态叠加态 对粒子进行某力学量 例如能量 测量对粒子进行某力学量 例如能量 测量 H ii E 相应的相应的本征值本征值 重复测量 重复测量 Ei以一定的概率出现 若有 以一定的概率出现 若有N个本征态对应一个本征值 则称该本征态个本征态对应一个本征值 则称该本征态N度简并度简并 2 度简并度简并 1 HE 2 HE 3 HE 2011 12 14大连理工大学 余 虹8 22 2 d 2d UE mx 0 2 d d 22 2 UE m x 二 薛定谔方程二 薛定谔方程 1 一维自由粒的波函数一维自由粒的波函数 PxEt i Cetx t i xm 2 22 2 一维自由粒子的一维自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程 2 一维势场一维势场U x t 中运动粒子的薛定谔方程 中运动粒子的薛定谔方程 t iU xm 2 22 2 3 一维势场一维势场U x t 中运动粒子的定态薛定谔方程 中运动粒子的定态薛定谔方程 2011 12 14大连理工大学 余 虹9 量子力学处理问题的方法量子力学处理问题的方法 1 分析 找到粒子在势场中的势 能函数 分析 找到粒子在势场中的势 能函数U 写出薛定谔方程 写出薛定谔方程 2 求解求解 并根据初始条件 边界条 件和归一化条件确定常数 并根据初始条件 边界条 件和归一化条件确定常数 3 由 由 2 得出粒子在不同时刻 不同 区域出现的概率或具有不同动量 不同 能量的概率 得出粒子在不同时刻 不同 区域出现的概率或具有不同动量 不同 能量的概率 2011 12 14大连理工大学 余 虹10 20 3 一维定态问题一维定态问题 0 U U 0 0 x a U U0 其他 其他 势阱势阱 无限深无限深 势能势能 量子力学预言 测量势阱里的粒子的 能量只可能得到一系列 量子力学预言 测量势阱里的粒子的 能量只可能得到一系列分立分立的的本征值本征值 对应的波函数是能量对应的波函数是能量本征态波函数本征态波函数 1 U 与与t 无关 写出定态定谔方程无关 写出定态定谔方程 0 2 d d 22 2 mE x 0 ax 2 解方程解方程 2 2 2 k mE 0 d d 2 2 2 k x cos kxAx 1 0 3 0 U 0 x 1 2 3 一 一维无限深势阱 令 一 一维无限深势阱 令 a 2011 12 14大连理工大学 余 虹11 3 确定常数确定常数A 势阱无限深 则阱外无粒子势阱无限深 则阱外无粒子 0 x 0 x a 由波函数 由波函数连续性 连续性 边界条件边界条件 0 0 a 0 cos kxAx cos sin0 2 aAkaAk a n k a n 1 2 3 222 2 2 n n E m a 22 2 22 2 n mEn k a ka n cos0 2 A n sinAk x 2011 12 14大连理工大学 余 虹12 n 1 n 2 n 3 1 2 sinx aa 2 22 sinx aa 3 23 sinx aa n a 22 12 2 E ma 2 nn p 12 4EE 1 p 2 p 3 p 13 9EE 0 x n E 0 x n E a 一维无限深势阱中粒子的能级 波函数和概率密度一维无限深势阱中粒子的能级 波函数和概率密度 2011 12 14大连理工大学 余 虹13 0 a一维无限深势阱中粒子的本征函数为一维无限深势阱中粒子的本征函数为 sin 2 n an xx a 求 求 1 发现处于第一激发态粒子概率最大的位置 发现处于第一激发态粒子概率最大的位置 2 在 在a 4 x 极大值极大值 2011 12 14大连理工大学 余 虹14 求求 1 发现处于第一激发态粒子概率最大的位置 发现处于第一激发态粒子概率最大的位置 2 在 在 a 4 x 3a 4 区间发现基态粒子的概率区间发现基态粒子的概率 3 4 2 1 4 2 sind a x a x Px aa 5 8 2 1 3 8 2 sind a x a x Px aa 50 81 8 50 搜索范围小 效率高 搜索范围小 效率高 11 81 8 2 0 a一维无限深势阱中粒子的本征函数为一维无限深势阱中粒子的本征函数为 sin 2 n an xx a 解解 2 a 0 x p1 x 4 a3 4 a 2 a 3 85 8 axa U0 越过势垒 越过势垒 1 粒子能量粒子能量E U0 的粒子 也存 在被弹回的概率 的粒子 也存 在被弹回的概率 反射波反射波 1 E U0 的粒子 也可 能越过势垒到达 的粒子 也可 能越过势垒到达3 区区 隧道效应隧道效应 a 穿透概率穿透概率 0 2 2 a m UE pe 二 势垒穿透 二 势垒穿透 U0 0 E2 E1 2011 12 14大连理工大学 余 虹16 日常生活中豆子总是首先待在 锅底 不加热 不撞击不会自 行出来 日常生活中豆子总是首先待在 锅底 不加热 不撞击不会自 行出来 崂山道士的穿墙术也是 骗人的 原子核势阱中的核子以很高的 概率位于底部 但也有一定的 概率到势阱外边 崂山道士的穿墙术也是 骗人的 原子核势阱中的核子以很高的 概率位于底部 但也有一定的 概率到势阱外边 核辐射核辐射 射线 中子射线 射线 中子射线 射线射线 射线射线许多在宏观世界不可思议的事 在微观世界却司空见惯 许多在宏观世界不可思议的事 在微观世界却司空见惯 E r MeV26 MeV8 78 势垒的高度取决于势垒的高度取决于Ze和半径和半径R fm 212 Po 84 5ZR 2011 12 14大连理工大学 余 虹17 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜 STM ScanningTunnelingMicroscope 1981年IBM公司 金属样品金属样品 隧 道 电 流 隧 道 电 流 I b As IUe 微小 电压 微小 电压 1 测样品表面测样品表面 保持保持I恒定或者保持恒定或者保持S恒定恒定 2 分辨样品表面离散的原子分辨样品表面离散的原子 3 重新排列原子重新排列原子 x s 电子云电子云 1nm 2011 12 14大连理工大学 余 虹18 三 谐振子 两个原子间相互作用势能 三 谐振子 两个原子间相互作用势能 0 2 d d 22 2 UE m x 22 1 2 Umx 2 2mE m a 令令 a U x x 有单值 连续 有限解的条件有单值 连续 有限解的条件 21 0 1 2nn a 11 22 0 1 2 n Ennh n 0 1 2 E 零点能零点能 2 2 d 0 d x 22 a x 2011 12 14大连理工大学 余 虹19 22 111 nm R 氢原子光谱 氢原子光谱 经典理论下原子核式模型遇到的问题经典理论下原子核式模型遇到的问题 电磁波与发射振子的频率是相应的电磁波与发射振子的频率是相应的 最简单的氢原子中居然有那么多的谐振子 原子不稳定 最简单的氢原子中居然有那么多的谐振子 原子不稳定 20 4 原子中的电子 原子光谱是连续光谱 原子中的电子 原子光谱是连续光谱 n 1 2 3 mn 玻尔定态理论已经解决玻尔定态理论已经解决 2011 12 14大连理工大学 余 虹20 22 2 d 2d UE mx 一维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 一维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 2 2m 2 222 222 xyz UE 20 4 原子中的电子原子中的电子 2011 12 14大连理工大学 余 虹21 20 4 原子中的电子原子中的电子 一 氢原子的薛定谔方程一 氢原子的薛定谔方程 2 2 2 UE m cossinrx 球坐标球坐标 y z x O r sinsinry cosrz 2 0 4 e U r 通过分离变量将方程分解为分别与变通过分离变量将方程分解为分别与变 量量r 有关的三个方程有关的三个方程 方程有解的条件直接引出了微观领 域里的量子化条件 方程有解的条件直接引出了微观领 域里的量子化条件 P r 轨道轨道 出 现概率最多 的点的集合 出 现概率最多 的点的集合 2011 12 14大连理工大学 余 虹22 氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程 22 2 0 24 e E mr sincosxr sinsinyr coszr 分离变量 令分离变量 令 2222 22222 0 11 sin 22sinsin4 re E mrrrrr 22 222 2 0 2 2 sindd2 sin dd4 1dd1 d sinsin ddd Rme rrE Rrrr rR r 代入方程 由 得 代入方程 由 得 2 l m 只能只能 分得三个独立变量的方程 再根据波函数的条件 自然得到三 个量子数 分得三个独立变量的方程 再根据波函数的条件 自然得到三 个量子数 2011 12 14大连理工大学 余 虹23 具有确定能量的原子不辐射 电磁波 仅当电子在不同的 具有确定能量的原子不辐射 电磁波 仅当电子在不同的 轨道轨道 之间跃迁或者说在不 同的 之间跃迁或者说在不 同的能级能级间间跃迁跃迁时才辐射时才辐射 mn EEh 2 n Rhc E n n 主量子数主量子数 1 2 3 4 K L M N n 1基态基态 激发态激发态 L S B S P S 二 能量量子化二 能量量子化 13 6 eV 13 6 电离一个电离一个基态基态氢原子需要氢原子需要 13 6 eV 能量 电离一个 能量 电离一个第一激发态第一激发态氢原子需要氢原子需要 3 4 eV 能量能量 氢原子氢原子 eV 6 5 4 3 2 2011 12 14大连理工大学 余 虹24 具有确定能量的电子角动量可有若干 角动量大小 三 角动量量子化 具有确定能量的电子角动量可有若干 角动量大小 三 角动量量子化 1 llL s p d 角量子数角量子数l 0 1 2 n 1 l决定角动量大小 决定角动量大小 Enn个个 例例 第二激发态的电子第二激发态的电子 n 3 对应角量子数对应角量子数 l 0 1 2 3s 3p 2 L 3d 6 L L 0 对应确定的对应确定的n 可 有 可 有 n个不同的个不同的l值 值 2011 12 14大连理工大学 余 虹25 对应确定的对应确定的 l 可有可有 2 l 1 个不同个不同m值值 四 角动量取向量子化 具有确定角动量的电子 角动量方向可有若干 四 角动量取向量子化 具有确定角动量的电子 角动量方向可有若干 L 在 任意一轴上 在 任意一轴上 如 沿磁场方向如 沿磁场方向 投影投影Lz z Lm 磁量子数磁量子数m 0 1 l m决定角动量方向决定角动量方向 12 2 L 6 0 2 z L 210 m 例题例题 已知已知 l 2 求 求L m和和Lz 解解 z m 00 z L m 1 z L m 1 z L m 2 2 z L m 2 2 z L 2011 12 14大连理工大学 余 虹26 1 斯特恩 盖拉赫实验 斯特恩 盖拉赫实验 1921 电子在核周围运动电子在核周围运动 L m e e 2 银原子最外层电子银原子最外层电子5s l 0 无论有无磁场应该都只有一条 无论有无磁场应该都只有一条 实验结果 实验结果 z方向加非均匀磁场 底板上是呈对称分 布的两条纹 方向加非均匀磁场 底板上是呈对称分 布的两条纹 证实了电子还存在自旋磁矩证实了电子还存在自旋磁矩 L 有有 2l 1 种不同值 种不同值 z也 有 也 有 2l 1 种不同值种不同值 五 第五 第4个量子数个量子数 自旋 磁矩角动量 自旋 磁矩角动量 Ag z 1943 诺贝尔物理奖 诺贝尔物理奖 2011 12 14大连理工大学 余 虹27 2 电子自旋理论 电子自旋理论 1924年 年 电子除了绕核运动外 还绕自身轴旋转自转磁矩电子除了绕核运动外 还绕自身轴旋转自转磁矩 s 角动量 角动量Ls Lsz 根据量子理论根据量子理论 1 2 sz L ms s s 对称对称 银原子可分为两类 受力大小相等方向相反 银原子可分为两类 受力大小相等方向相反 1 2 z也有两个也有两个 大 小相等方向相反 大 小相等方向相反 3 1 2 s Ls s s s 1 s 1 2 2011 12 14大连理工大学 余 虹28 2 电子自旋理论 电子自旋理论 1924年 年 电子除了绕核运动外 还绕自身轴旋转自转电子除了绕核运动外 还绕自身轴旋转自转 自旋磁矩自旋磁矩 s 角动量 角动量Ls Lsz根据量子理论根据量子理论 ssz mL 对称对称 银原子可分 为两类 受力大小相 等方向相反 银原子可分 为两类 受力大小相 等方向相反 z也有两 个 也有两 个 大小相等方向 相反 大小相等方向 相反 且且 s 1 s 1 2 s m 1 s Ls s 3 2 s L 泡利泡利 乌伦贝克乌伦贝克 高德思密特高德思密特 埃伦费思特埃伦费思特 洛伦兹洛伦兹 爱因斯坦爱因斯坦 s mss 2 sz L 2011 12 14大连理工大学 余 虹29 1 能量量子化能量量子化 3 量子数小结量子数小结 mn EEh 2 n Rhc E n 2 角动量量子化角动量量子化 1 llL 主量子数主量子数n 1 2 3 角动量取向量子化角动量取向量子化 mL Z 磁量子数磁量子数 m 0 1 l 电子的状态可用电子的状态可用n l m ms四个量子数表 示 相应的波函数 四个量子数表 示 相应的波函数 nlmms 角量子数角量子数 l 0 1 2 n 1 4 自旋量子化 自旋磁量子数 自旋量子化 自旋磁量子数ms 1 2 22 3 Z ss LL 2011 12 14大连理工大学 余 虹30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 r a p r 4 氢原子电子径向概率分布图氢原子电子径向概率分布图 a 氢原子玻尔半径氢原子玻尔半径 1s p10 2s p20 2p p21 3s 图 中 信 息 图 中 信 息 1 半径