重庆大学线性代数答案.doc

习题一解答1、 填空 （3）设有行列式含因子的项为 答：或（5）设，的根为 解：根据课本第23页例8得到 的根为 （6）设是方程的三个根，则行列式= 解：根据条件，比较系数得到，；再根据条件，；原行列式=（7）设 ，则= 解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.（8）设，则= 解 将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=0.=，则 证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：=行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列式变成=或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。7、计算下列行列式：（1）， （2）其中（3）（4）（5）解（1）第2行、第3行、第和第行全加到第1行后，第1行提出得=. （2）= =第行减去第行、第行减去第行、第4行减去第3行、第3行减去第2行、第2行减去第1行得 (3)=（4）将按第一行展开=+ =（5）+，其中=于是= =习题二解答8题 设，求为正整数）解 记，则， 20题 设，为正整数，证明 证 因为，所以= 21题设，求。 解 因为，=，所以=23、填空选择题：（1）为阶方阵，为其伴随阵，则 解 因,所以,（7）设均为阶方阵，可逆，则可逆，且= ；解法一：题目只说均为阶方阵，没有说可逆，于是全错.解法二： 因可逆，设其逆矩阵为，则，于是.因为=所以可逆，且=24、设，（为正整数），证明.证 所以.推论：设均为阶方阵，若，则，26、设均为阶方阵，且，证明 可逆，并求其逆.证 由得，代入得到=，于是，所以可逆，27、若对任意的矩阵，均有=0，证明必为零矩阵.证 =，因为对任意的矩阵，均有=0，于是分别取=、，代入=0得到，.所以为零矩阵28、设为阶方阵，证明的充分必要条件是.证 若，则；反过来设=，若=0则，于是习题三解答第97页2选择题（4）设线性相关，线性无关，则（ ）线性相关.线性无关.能由线性表示.能由线性表示.解 因为线性相关，所以线性相关，又因为线性无关；于是能由线性表示.答：（5）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（）：线性表示，记向量组（）：，则（ ）.不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示，不能由（）线性表示，但能由（）线性表示，能由（）线性表示，也能由（）线性表示能由（）线性表示，但不能由（）线性表示.解 因为向量能由向量组线性表示，所以存在，使=+；因为不能由向量组线性表示，于是，=+，即能由（）线性表示.假若能由（）线性表示，则存在，使=+代入=+得到能由（）线性表示.矛盾，故选择7、设向量能由向量组线性表示，且表示唯一，证明线性无关.证 设+=， 即 =+ （1）因为向量能由向量组线性表示，即=+ （2）（1）+（2）得 =+表示唯一得到 ，于是全为零，故线性无关.8、设向量组线性相关，线性无关，证明：（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示证（1）因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故能由线性表示，即存在使=+；（2）假若能由线性表示，则存在，使=+；将=+代入=+得到能由线性表示，于是线性相关，与条件线性无关矛盾.故不能由线性表示. 12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关.证 因为维向量组能由单位坐标向量组线性表示，根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为，因此向量组线性无关. 13、设是维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都能由它们线性表示. 证 设线性无关，为任一维向量. 向量组，一定线性相关，于是能由线性表示； 反过来 若任一维向量都能由线性表示，则维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，根据第12题向量组线性无关.14、设向量组（）：的秩为，向量组（）：的秩为，向量组（）：，的秩为，证明.证不妨设向量组（）的最大线性无关组为，向量组（）的最大线性无关组为.向量组（）能由其最大线性无关组线性表示，向量组（）能由其最大线性无关组线性表示，于是向量组（）能由向量组，线性表示.故是，中个线性无关的向量，于是，同样可以证明，因此.故.15、设是矩阵，是矩阵，证明：.证 设=，=，则=根据第14题得到16、设，都是矩阵，证明证 设=，=，则+=而且能由线性表示.根据第14题，得到17、设是矩阵，是矩阵，证明：证 设=，=，=，于是=即能由线性表示，因此.同样可以证明故.习题四解答：6（4）求的通解解 ，方程组有无穷多个解，解空间的维数是2，同解方程组为，原方程组的通解为7、当为何值时，非齐次线性方程组有解？并求其通解.解=第一行除以2后加到第二行、第三行；第一行除以. .当或时，非齐次线性方程组有解.当时，原方程组同解于,通解.当时，原方程组同解于,通解.8、 当为何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？此时求其通解.解=第二行减去第一行；第三行减去第一行的倍. .当且时，有唯一解.当时，无解.当时，有无穷多解.，原方程组同解于,通解.9、当为何值时,非齐次线性方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无穷多解？此时求其通解.第二行、第三行分别减去第一行解= .当且时，有唯一解.当时，或者当时，无解.当时，有无穷多解.，原方程组同解于，通解.10、设向量组, 试问：当满足什么条件时（1）能由,线性表示,且表示式唯一； （2）不能由,线性表示,（3）能由,线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.分析：非齐次线性方程组+=，即（1）只有一个解能由,线性表示,且表示式唯一；（2）无解不能由,线性表示,（3）有无穷多解能由,线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.解=当时，能由,线性表示,且表示式唯一.当且时，不能由,线性表示.当，时，有无穷多解. 原方程组同解于，一般表示式=+.11、 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明 （1），线性无关；（2），线性无关.证 （1）假设，线性相关，由条件线性无关，则能由线性表示，即存在，使=，而是的解，则也是的解.矛盾，故，线性无关.（2）设，即+=，由，线性无关得，即全为零，所以，线性无关.12、设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解.证明它的通解为，其中证 是的个线性无关的解，则，是的个线性无关的解，因此，为的一个基础解系，的通解为+=其中，13、 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知是它的三个解向量，求该方程组的通解.解 ，的基础解系中只有2个线性无关的解向量，而，是的2个线性无关的解向量，于是的通解为，方程组的通解14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，已知它的三个解向量，满足+=，+=，+=，求它的通解解 ，的基础解系中只有两个解向量.因为=，=是两个线性无关的解；=该三元非齐次线性方程组的通解15、 设，是阶方阵，且，证明证