三角函数同步练习.doc

三角函数同步练习例1、计算下列各式的值：1、；2、；3、。解：1、原式。2、原式。3、原式。例2、比较下列各式的大小。（1）sin10和cos10 （2）tan49和cot42（3）tan46和sin46 （4）sin27和cot27解：（1）cos10cos（9080）sin 80，而sin80sinl0，sin10cos10。（2）ctg42ctg（9048）tg48，而tg49tg48，tg49ctg42。（3）tg46tg451，而sin461，tg46sin46。（4）sin27sin30，ctg27ctg30，而，sin27ctg27。例3、已知：如图所示，ADBC，B90，AD4，ABBC28，tanC。求：梯形ABCD的面积。分析：此题欲求梯形面积，不难发现只需求出AB，BC的长。由条件tgC，想到按处理方法把它转换成线段比，但C未在直角三角形中，故须作垂直线，怎么做呢？由ADBC，B90，想到梯形中常用辅助线：作DEBC于E，则DEAB，ADBE，设ABDEx，EC3x，由ABBC28，AD4，不难求出x的值，进而求出AB和BC。解：作DEBC于E，B90，ABDE，ADBC，ABDE，BEAD4。，设DEx，则ABx，EC，ABBC28，ABBEEC28， x43x28，x6。ABx6，BCBE3x41822，梯形ABCD面积（ADBC）AB（422）678。说明：通过此题解法，读者可从中体会：题目条件中有三角函数值时常用处理方法在解题中加以具体应用。例4、已知：如图所示，ABC中，C90，E是AC上一点，EDAB于D，若cotBED，cosA，CE。求：DE的长。分析：此题条件中有两个三角函数值条件，按解题思路想到将它们转化为线段比，注意二个三角函数所对应的相应线段比有公共线段，这样我们看到可以在一个直角三角形内用三角函数值表示线段比，然后设未知数，这时就可以将另外直角三角形的边长用这个未知数表示出，再利用另一个三角函数值所对应的线段比便可得到含未知数的方程，进而求出未知数的值，从而求出题目所要求的线段的长。解法一：EDAB ，ctgBED，设DE3x，则BD4x。C90，cosA，设AD12y，AE13y，则DE5y。DE3x5y，yx，AD12yx，AE13yx，CE，ACAECEx，ABADBDx4xx。，整理，得165x165，x1，DE3x3。解法二：如图所示，EDAB，cosA，设AD12x，AE13x，则DE5x，ctgBED，BDDEx，CE，ACAECE13x，ABADBD12xxx，C90，cosA，整理得，55x33，x，DE5x3。解法三：如图所示，C90，cosA，设AC12x，AB13x，则BC5x，CE，AE12x。EDAB，EDA90C，A公用，ADEACB，DE，AD，BDABAD，ctgBED，整理得，65x56，x，DE3。例5、已知：如图所示，ABC中，三边长为a、b、c，E是AB 上一点，EDAC，且BEED，a、b是关于x的方程的两个根，tanA。求：AD的值。分析：此题容易想到tgA，设DE3x，AD4x，则AE5x，AB8x，但苦于找不到另一个含x的等式，怎么办？注意条件：a、b是方程的两根，想到ab4c，ab4c8，从中想到若能将a、b、c都用x表示出，问题便迎刃而解，从表面上看仍看不出a、b、c 之间有何联系，但题目实在又没有其他条件可用，只有从ab4c与ab4c8中进一步挖掘性质，将ab4c 两边平方：a2b22abc28c16，注意2ab8c16，从中得到a2b2c2，故C90，进而发现了a、b、c之间的另外一关系式。解法一：a、b是方程的两个根，,得a2b2c2，故C90，EDAC，设DE3x，AD4x，则BEDE3x，AE5x，cABAEBE8x，设a3y，b4y，则，5y8x，a3y，b4y，代入有：48x，解得：x，AD4x45。解法二：如图所示，由解法一知：C90，ab4c，设a3x，b4x，则cAB5x，代入式，得：3x4x45x，x2，AB5x10。DEAC，设DE3y，AD4y，则BEDE3y，AE5y，ABAEBE8y，8y10，y，AD4y45。例6、已知：如图所示，在ABC中，ACB90，CDAB于D，CD1，若AD、BD的长是关于x的方程x2pxq0的两根，且tgAtgB2。求：此二次方程。分析一：此题由条件tgAtgB2，想到将其转换成线段比，从中观察其意义，不难得到，注意CD1，CD2ADBD，则有BDAD2，ADBD1，因AD，BD是方程的根，则必有ADBDp，ADBDq1，从中发现只需求ADBD的值。这由BDAD2，ADBD1不难求得。解法一：ACB90，CDAB，ACDCBD，CDADBDCD，CD1，ADBDCD21，BDAD2，BD2AD22ADBD4，ADBD1，BD2AD22ADBD448，（AD十BD）28，ADBD2，pADBD2，qADBD1，所求二次方程是x22x10。分析二：此题关键是处理条件：tgAtgB2，充分注意条件ACB90，则AB90，故有tgBctgA，故有tgAtgBtgActgA1，从中可解得：tgA1，tg B1，即1，1，注意CD1，从中可求出AD和BD的值，进而求出二次方程。解法二：ACB90，AB90，tgBtg（90A）ctgA，tgActgA1，tgAtgB1，tgAtgB2，解，得tgA1，tgB1，CDAB于D，CD1，tgA1，AD1，tgB1，BD1。AD、BD是方程x2pxq0的两个根，pADBD112，qADBD（1）（1）211，所求二次方程是x22x10。例12、已知：如图所示，ABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E。 求证：sin2AcosA。分析：此题由结论中有三角函数，故想到应将它们转化为线段之比，由于图中有许多三角形，A分别在RtADE，RtADC，RtACB中，又易证12A，可见在图中任何一个直角三角形中，都可以将sinA和cosA转化为线段比，问题是选哪些才能证出本题结论，由于结论另一边与CE、AB有关，因此应选能涉及CE与AB的直角三角形，从图中看有ACB和DCE，这样有sinA，因此sin2A，再和结论比较发现只需证cosA，而CD、BC在RtBCD中，cos2cosA。证明一：ACB90，AB90，CDAB，2B90，A2，同理1A2。在RtABC中，sinA，在RtDEC中，sin1，在RtADE中，cos2，由，有sinAsin1cos2，sin2AcosA。分析二：由于sin2Acos2A1，故sin2A1cos2A，故只需证cosA（1cos2A ），如证明一，我们选取与AB，