幂和不等式及其在偏微分中的应用1.doc

幂和不等式及其在偏微分中的应用龙群飞，曹文慧，杨文斌云南省云南民族大学数学与计算机科学学院，650500摘要：主要问题是讨论一类不等式“幂和不等式”。在论证的过程中主要是应用数学归纳法进行证明，但是柯西-施瓦兹不等式和命题1起到关键性的作用。采用了作差比较法对命题1进行证明。最后将“幂和不等式”用于偏微分中的一个例子作为文章的结尾。关键词：幂和不等到式；应用；偏微分中图分类号：O178 文献标志码：A 介绍文章讨论的问题是在研究文献1时总结出来的结果。在解决文献1的证明过程时，用直接计算的方法去处理像“已知 和对满足小性的 且有，求证 。”这样的问题时，这是一个冗长而繁琐的过程，而且容易出错。况且这只是对其进行估计。又回想导师在上课时提到的二项式的2、3次幂的估计。结合这两个问题使我产生了寻求一种能解决此类问题捷径的念头。经过大量的运算总结出了命题1、 命题2。但是，我查寻了许多数学资料2，3，5，6，7，8以及在网上搜索也没有找到此内容的文章出现。1幂和不等式在给出主要命题及其证明之前，我们先给出在证明幂和不等式中出现的一个关键结论。那就是下面的命题。命题 1：如果，那么对，不等式成立。其中等号成立当且仅当.证明：因为 由，所以与同正负，因此有 ，即不等式（1）成立。下面我们来叙述这篇文章的中心命题且给予证明。命题2（幂和不等式）：如果是个非负数，那么这个数的和的 ( ) 次幂小于等于它们各自的次幂的和的倍。那就是等号成立当且仅当全部相等或者时；此外有 证明：下面我们用归纳法证明 10 、 当时，命题显然成立。 20 、当时，有 因为把（2）代入（1），得 当时， 而从而推出 把（7）代（6），我们可以得到把（8）代入（5），得所以当时命题成立。30、假设时命题也成立。那么当时，有而 由（1）知把（11）代入（10），有 把（12）代入（9）得到(是表示（2）中的 换成的式子）。由数学归纳法知命题成立。二、在偏微分中的应用对于介绍部分的这个问题，如果我们用土办法将其直接展开的话那是一个比较大的运算量，况且这只是一种估计，如果我们用不等式（2），很快就可以得出结论。因为条件不等式的右边有6项，而且要求的是4次幂，所以其第一步结果就是其它的只须根据条件、索伯勒夫不等式和要求就可以完成。参考文献:1Ling Hsiao, Peter A.Markowich, and Shu Wang, The asymptotic behavior ofglobally Smooth solutions of multidimensional isentropic hydrodynamic model for semiconductorsJ. Differential equations 192(2003)111-1332邢家省，苏克勤，陶鹏飞，Young不等式与Young逆不等式的应用J.周口师范学院学报,第24卷 第2期 Vol.No.2 2007.03(2007.05)3叶其孝，沈永欢，实用数学手册M.第二版，北京，科学出版社，2006，ISBN 7-03-016344-3 7-8,760-7634王术，Sobolev 空间与偏微分方程引论M.北京，科学出版社5张恭庆，林源渠， 泛函分析讲义M.北京大学出版社6(作者)美E.贝肯巴赫 R.贝尔曼.(译者)文丽 , 不等式入门. M北京大学 1985年2月第1版. 7匡继昌,常用不等式(不等式大全). 山东科学技术出版社. 中国数学资源网./f/8053724.htm l8Lawrence C.evans, Partial Differential EquationsM. American Mathematical SocietyThe Inequality of the Power of the Summation and Its application in Partial DefferntialLONG Qun-fei，CAO Wen-hui, YANG Wen-bin(School of Mathematics and Computer Science, Yunnan University of Nationalities,Kunming Yunna,650500, China)Abstract: The main problem is to discuss a class of inequality which was called as the inequalities of the summation of the power. In the process of proof, we mainly apply mathematical induction, but Cauchy-Schwartzs inequality and proposition 1 play an important role. And yet the proposition 1 was proved by use difference comparison method. In the last place, we will give a example which put the inequality of the summation of the power apply to partial deri