奥数知识总复习_第二版.pdf

内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 1 页 共 9 页 奥奥数数知知识识总总复复习习 第第二二版版 常用数据 常用数据 圆周率常取数据 3 14 1 3 14 3 14 2 6 28 3 14 3 9 42 3 14 4 12 56 3 14 5 15 7 3 15 6 18 84 3 14 7 21 98 3 14 8 25 12 3 14 9 28 26 常用特殊数的乘积 125 8 1000 25 4 100 125 3 375 625 16 10000 7 11 13 1001 25 8 200 125 4 500 37 3 111 常用平方数 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 10 100 20 400 30 900 40 1600 50 2500 60 3600 45 2025 55 3025 65 4225 75 5625 85 7225 常用数列求和 1 123 2 n n n LL 2 135 21 nn LL 2222 1 21 123 6 n nn n LL 2 33332 1 123123 2 n n nn 1111 1 22311 n nnn 1 1 234 1 1 n n a aaaaa a 11112 22323 1 n aaaaaaaaanaa n 基本常识 基本常识 10017 11 13abcabcabcabc 22 ab ab ab 222 2abaabb 1001abcabcabc 关于常用分数与小数的互化 1 4 0 25 3 4 0 75 1 5 0 2 2 5 0 4 3 5 0 6 4 5 0 8 1 8 0 125 3 8 0 375 5 8 0 625 7 8 0 875 1 20 0 05 3 20 0 15 7 20 0 35 9 20 0 45 11 20 0 55 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 2 页 共 9 页 1 25 0 04 2 25 0 08 3 25 0 12 4 25 0 16 6 25 0 24 常用立方数 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 比赛场数 淘汰赛 n 1 循环赛 1 2 n n 推理公式 n 条直线最多交点数 1 1 2 n n n 条直线分平面最多部分 1 1 2 n n 1 n 个圆分平面最多部分 1 n n 2 n 个三角形分平面最多部分 3 1 n n 2 100 内质数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 7 1 73 79 83 89 97 单位换算 1 米 3 尺 3 2808 英尺 1 0926 码 1 公里 1000 米 2 里 1 海里 1852 米 3 704 里 1 15 英里 1 平方公里 1000000 平方米 100 公顷 4 平方里 0 3861 平方英里 1 平方米 100 平方分米 10000 平方厘米 1 公顷 100 公亩 15 亩 1 立方米 1000 立方分米 1000000 立方厘米 1 立方米 27 立方尺 1 308 立方码 35 3147 立方英尺 1 吨 1000 公斤 1000 千克 1 公斤 1000 克 2 斤 市制 2 2046 磅 运算性质运算性质 加减法运算性质加减法运算性质 在加减混合运算中 根据运算定律和运算性质可以归纳为 同级运算时 如果交换数的位置 应注意符号搬家 加 去括号时要注意 以下几点 括号前面是加号 去掉括号不变号 加号后面添括号 括号里 面不变号 括号前面是减号 去掉括号要变号 减号后面添括号 括号里 面要变号 乘除法运算性质乘除法运算性质 乘法性质 1 乘法交换律 2 乘法结合律 3 乘法分配律 4 乘法性质 5 积的变化规律 一扩一缩法 除法性质 当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律 积的变化规律 同扩同缩法 在乘法 除法和乘除法混合运算中 根据运算的定律和运算性质 可 以归纳为 同级运算时 如果要交换数的位置 应该注意符号搬家 加 去括号时注意以下几点 括号前面是乘号 去掉或加上括号不变 号 括号前面是除号 去掉或加上括号要变号 等差数列求和等差数列求和 数列是指按一定规律顺序排列成一列数 如果一个数列中从第二个数开 始 相邻两个数的差都相等 我们就把这样的一列数叫做等差数列 等差 数列中的每一个数都叫做项 第一个数叫第一项 通常也叫 首项 第二 个数叫第二项 第三个数叫第三项 最后一项叫做 末项 等差数列中 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 3 页 共 9 页 相邻两项的差叫做 公差 等差数列中项的个数叫做 项数 公式 和 首项 末项 项数 2 项数 末项 首项 公差 1 第 n 项 首项 n 1 公差 应用题 应用题 和倍问题和倍问题 己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系 求这几个数的应用题叫和 倍问题 解答和倍问题 一般是先确定较小的数为标准数 或称一倍数 再根据其他几个数与较小数的倍数关系 确定总和相当于标准数的多少倍 然后用除法求出标准数 再求出其他各数 最好采用画线段图的方法 和倍公式 和 倍数 1 小数 差倍问题差倍问题 己知两个数的差及它们之间的倍数关系 求这两个数的应用题叫差倍问 题 解答差倍问题 一般以较小数作为标准数 一倍数 再根据大小两数 之间的倍数关系 确定差是标准数的多少倍 然后用除法先求出较小数 再求出较大数 解答这类问题 先画线段图 帮助分析数量关系 差倍公式 差 倍数 1 小数 和差问题和差问题 和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少 的应用题 解答和差问题的基本公式是 和 差 2 较小数 和 差 2 较大数 年龄问题年龄问题 己知两个人或几个人的年龄 求他们年龄之间的某种数量关系 或己知 某些人年龄之间的数量关系 求他们的年龄等 这种题称为年龄问题 年 龄问题的特点是 一般用和差或者和倍问题的方法解答 1 两人的年龄之差是不变的 称为定差 2 两个人的年龄同时都增加同样的数量 3 两个年龄之间的倍数关系 随着年龄的增长 也在发生变化 平均数平均数 求平均数必须知道总数和份数 常用公式 平均数 总数 份数 总数 平均数 份数 份数 总数 平均数 相遇问题相遇问题 行程问题又分为相遇问题 追及问题 火车过桥问题等 路程 速度 时间 时间 路程 速度 速度 路程 时间 相遇问题的特点是两个运动物体或人 同时或不同时从两地相向而 行 或同时同地相背而行 要解答相遇问题 掌握以下数量关系 速度和 相遇时间 路程 路程 速度和 相遇时间 速度 相遇时间 速度和 追及问题追及问题 运动的物体或人同向而不同时出发 后出发的速度快 经过一段时间 追上先出发的 这样的问题叫做追及问题 解答追及问题的基本条件是 追 及路程 和 速度差 追及问题的基本数量关系是 追及时间 追及路程 速度差 追及路程 速度差 追及时间 速度差 追及路程 追及时间 行船问题行船问题 船在江河里航行 前进的速度与水流动的速度有关系 船在流水中行程 问题 叫做行船问题 也叫流水问题 船顺流而下的速度和逆流而上的速 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 4 页 共 9 页 度与船速 水速的关系是 顺水速度 船速 水速 逆水速度 船速 水速 由于顺水速度是船速与水速的和 逆水速度是船速与水速的差 因此行船 问题就是和差问题 所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系 船速 顺水速度 逆水速度 2 水速 顺水速度 逆水速度 2 因为行船问题也是行程问题 所以在行船问题中也反映了行程问题的路 程 速度与时间的关系 顺水路程 顺水速度 时间 逆水路程 逆水速度 时间 过桥问题过桥问题 过桥问题的一般数量关系是 路程 桥长 车长 车速 桥长 车长 通过时间 通过时间 桥长 车长 车速 车长 车速 通过时间 桥长 桥长 车速 通过时间 车长 植树问题植树问题 在首尾不相接的路线上植树 段数与棵数关系可分为三类 1 两端都种树 段数 棵数 1 2 一端种一端不种 段数 棵数 3 两端都不种 段数 棵数 1 在首尾相接的路线上种树 如圆 正方形 闭合曲线等 段数 棵数 还原问题还原问题 还原问题又叫逆推问题 己知一个数的结果 再经过逆运算反求原数 叫做还原问题 解决这类题要从结果出发 逐步向前一步一步推理 每一 步运算都是原来运算的逆运算 即变加为减 变减为加 变乘为除 变除 为乘 方阵问题方阵问题 很多的人或物按一定条件排成正方形 简称方阵 再根据己知条件求 总人数 这类题叫方阵问题 在解决方阵问题时 要搞清方阵中一些量 如 层数 最外层人数 最里层人数 总人数 之间的关系 方阵问题的基本特点是 1 方阵不管在哪一层 每边的人数都相同 每向里面一层 每边上的人 数减少 2 每一层就少 8 2 每层人数 每边人数 1 4 3 每边人数 每层人数 4 1 4 实心方阵人数 每边人数 每边人数 幻方与数阵 幻方的特点 一个幻方每行 每列 每条对角线上的几个数的和都相等 这相相等的和叫 幻和 两种方法 奇阶 1 九子排列法 2 罗伯法 3 巴舍法 偶阶 1 对称交换法 2 圆心方阵法 数阵有三种基本类型 1 封闭型 2 辐射型 3 综合型 解数阵问题一般思路是从和相等入手 确定重处长使用的中心数 是解答 解数阵类型题的解题关键 一般答案不唯一 奇数与偶数奇数与偶数 加法 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数 偶数 奇数 奇数 减法 偶数 偶数 偶数 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 5 页 共 9 页 奇数 奇数 偶数 偶数 奇数 奇数 乘法 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 盈亏问题盈亏问题 解盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用 公式是 同盈同亏用减 法 一亏一盈用加法 两次分配结果差 两次分配数差 人数 牛吃草问题 牛吃草问题涉及三种数量 A 原有的草 B 新长出的草 C 牛吃掉的 草 牛吃草问题解法一般分为三步 一 求每天新生的草量 二 求原有草量 三 求出最终的问题 类似于行程问题中的追及问题 还原问题还原问题 解题关键 在从后往前推算的过程中 每一步都是做同原来相反的运算 原来加的 运算时用减 原来减的 运算时用加 原来乘的 运算时用除 原来除的 运算时用乘 假设问题假设问题 假设法是解答应用题时经常用到的一种方法 所谓 假设法 就是依 据题目中的己知条件或结论作出某种设想 然后按照己知条件进行推算 根据数量上出现的矛盾 再适当调整 从而找到正确答案 余数问题余数问题 一个带余数除法算式包含 4 个数 被除数 除数 商 余数 它们的关系也可表示为 被除数 除数 商 余数 或 被除数 余数 除数 商 一笔画和多笔画一笔画和多笔画 1 凡是由偶点组成的连通图 一定可以一笔画成 画时可以任一偶点为 起点 最后能以这个点为终点画完此图 2 凡是只有两个奇点 其余均为偶点 的连通图 一定可以一笔画完 画时必须以一个奇点为起点 另一个奇点为终点 3 多笔画定理 有 2n n 1 个奇点的连通图形 可以用 n 笔画完 彼 此无公共线 而且至少要 n 次画完 乘法原理乘法原理 如果完成一件事需要n个步骤 在第一个步骤中有m1种不同方法 在 第二个步骤中有m2种不同方法 在第n个步骤中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 mmm n NL 21 种不同的方法 加法原理加法原理 如果完成一件事有几类方法 在第一类方法中有m1种不同的选择 在 第二类方法中有m2种不同选择 在第n类方法中有mn种不同的选择 那么完成这件事共有 mmm n NL 21 种不同的方法 抽屈原则抽屈原则 抽屉原则一 把 n 1 或更多 个苹果放到 n 个抽屉里 那么至少有一个 抽屉里有两个或两个以上的苹果 抽屉原则二 把 m n 1 个 或更多个 苹果放进 n 个抽屉里 必须一 个抽屉里有 m 1 个 或更多的 苹果 说明 应用抽屉原则解题 要从最坏的情况去思考 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 6 页 共 9 页 整除性质 整除性质 整除的特征整除的特征 若一个整数的末位是 2 的倍数 则这个数能被 2 整除 若一个整数的各位数字和能被 3 整除 则这个整数能被 3 整除 若一个整数的末两位能被 4 25 整除的数 这个数就能被 4 25 整除 若一个整数的末位是 0 或 5 则这个数能被 5 整除 若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被 7 整除 则原数能被 7 整除 若一个整数的各位数字和能被 9 整除 则这个整数能被 9 整除 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除 则这个数能被 11 整除 若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被 11 整除 则原数能被 11 整除 若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被 13 整除 则这个数能被 13 整除 若一个数能同时被 a b 整除 且 a b 互素 则这个数能被 ab 整除 若一个整数的末 n 位能被 2 整除 则这个数能被 2 整除 n 1 2 3 分解因式分解因式 把一个合数写成几个质数相乘的形式 叫做分解质因数 一个自然数的约数的个数 恰为各个质因数的指数加 1 后的乘积 一个数的完全平方数 各个质因数的个数 恰好是平方前这个数各个质因 数个数的 2 倍 一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数 最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数 求两个数的最大公约数一般有三种方法 1 分解质因数法 2 短除法 3 辗转相除法 求几个数的最小公倍数的方法也有三种 1 分解质因数法 2 短除法 3 bababa 其它 其它 分数的比较分数的比较 分母相同的分数比较大小 分子大的分数比较大 分子相同的分数比较大小 分母大的分数反而小 分子和分母都不相同的分数比较大小 可以把它们转化成分母相同的分数 比较大小 也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小 性质 1 一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数 所得的新分数比 原分数大 2 一个真分数的分子 分母都减去同一个自然数 这个自然数 小于真分数的分子 所得的新分数比原分数小 3 一个假分数的分子 分 母都减去同一个自然数 这个自然数小于假分数分母 所得的新分数比原 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 zhanggangs 夯实基础作保障 思路创新为关键 第 7 页 共 9 页 分数大 4 一个假分数的分子 分母都加上同一个自然数 所得的新分数 比原分数小 剪纸问题 剪纸问题 公式 2 对 折 后 剪 的 次 数 1 段数 最大最小最大最小 1 解答最大最小的问题 可以进行枚举比较 在有限的情况下 通过计算 将所有情况的结果列举出来 然后比较出最大值或最小值 2 运用规律 1 两个数的和一定 则它们的差越接近 乘积越大 当它 们相等 差为 0 时 乘积最大 3 考虑极端情况 如 连接两点间的线段最短 作对称点 联系实际 考虑问题 等 比较大小比较大小 估算最常用的技巧是 放大缩小 即先对某个数或算式进行适当的 放 大 或 缩小 确定它的取值范围 再根据其他条件得出结果 调整放缩 幅度的方法有两条 一是分组 分段 并尽可能使每组所对应的标准相同 另一种方法是按近似数乘除法计算法则 比要求的精确度多保留一位 进 行计算 钟表问题钟表问题 1 解答钟表问题 我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转化 为相遇或追及问题来解答 需记住以下常用数据 钟表上有 12 大格 60 小格 每大格 30 度 每小格 6 度 分针每分钟走 6 度 时针每分钟走 0 5 度 速度差 5 5 度 2 解答钟表上的时间快慢问题 关键是抓住单位时间内的误差 然后根据 某一时间段内含多少个单位时间 就可以求出这一时间段内的误差 分数应用题的计算分数应用题的计算 1 解答较复杂的分数应用题 一定要找准单位 1 如果单位 1 的量是 变化的 就要从题目中找出不变的量 把不变的量看作单位 1 将己知 条件进行转化 找出所求数量相当于单位 1 的几分之几 再列式解答 2 还可以借助线段图来帮助理解题意 列式解答 3 对较复杂的分数应用题 还可以列方程来解答 利润问题利润问题 利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分密切的 解 答利润问题你必须理解以下的关系式 1 利润 卖价 成本 2 利润的百分数 卖价 成本 成本 100 3 卖价 成本 1 利润率 4 成本 卖价 1 利润率 5 折扣 实际售价 原售价 100 折扣 1 6 利息 本金 利率 时间 7 税后利息 本金 利率 时间 1 20 工程问题工程问题 1 在解答工程问题时 常把 一项工程 看作单位 1 根据工作总量 工作效率和工作时间三者之间的关系进行解题 2 解题时 要善于运用常见的数学思想方法 如假设法 转化法 代换法 数进制数进制 1 将任意一个 P 进制的数 aaaaa mm p0121L 改写成十进制的数 只要写成 apapapapa m m m m0 1 1 2 2 1 1 L 计算其 内部资料 注意保存 严禁复印 修订于 2009 年 12 月 21 日 z