教师眼中的一道中考探究题.doc

教师眼中的一道中考探究题宋彦波（江苏省连云港市新海实验中学 连云港孙朝仁中学数学名师工作室） 毋庸置疑，一道结构良好的中考探究题不仅要考查学生对“四基”的（基础知识、基本技能、基本的数学思想方法和基本的数学活动经验）理解层次和内化水平，还能够有利于让不同的学生的思维水平得到有效地展示，同时数学试题地设计还是今后教与学的“风向标”和“指南针”纵览近几年的中考试卷，这样的试题频频出现，并且已经成为中考数学命题的一个亮点和特色笔者在仔细研究大连市近几年的中考数学试卷时发现该市的中考几何探究题不仅敢于直面过去，而且题型传承、稳定；不仅连续考查图形与变换的核心内容和思想方法，而且试题特色鲜明，亮丽创新然而学生若对数学知识理解不到位或应有的知识方法储备不足，再加上对过往的解题经验缺乏自发体悟和反思，就很难把住问题的深层结构，透彻认识问题的本质的，短时间内使“问题”得以顺利解决就困难重重，这就需要教师平时“高观点”、“广视角”的看待和研究问题，把有选取的“慢镜头”回放给学生，逐渐积累，那么学生在微观上的解题、中观上的数学能力以及宏观上的数学思想等方面都会得到长足地发展下面让我们以教师的“眼光”来打量2011年大连市第25题，也许能给我们的教学带来诸多有益启示一、问题再现：【2011年大连市第25题】在ABC中，A90，点D在线段BC上，EDBC，BEDE，垂足为E，DE与AB相交于点F当ABAC时，（如图1），EBF_；探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；图3当ABkAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）图1F图2二、试题赏析：显然，本试题的设计层次清楚，稳中求新，“生”中有“熟”， 试题无论从已知条件给出或图形地呈现，都展现了一道由特殊到一般的探究性数学试题的鲜明特点，同时也暗含了一种研究问题的数学思想方法题目的结论能够由猜想得出，可以通过演绎进行推理证明，但是在证明过程中，对学生思维要求较高，同时题型的选择有利于发挥本问题模型的考查价值，区分度也非常明显，是一道兼顾公平，保障稳定，有利于选拔的原创性几何探究题波利亚有一句名言“掌握数学就意味着解题”，就是说，“解题”近于“掌握数学”同义语，由此可见解题的重要性这里，我们想用教师的“眼光”来寻找解决这道试题的“切入点”，以期望在分析和解决问题的过程中能够有所总结，有所收获，特别是能够在“解题”过程中“学会怎样解题”，笔者认为坚持这样做，教师才有可能在实际教学中有目的、有条件、有选择、有创造地施教于课堂，游刃有余地开发和挖掘学生的创造性思维，让学生在“火热的思考”中真正体会的数学“冰冷的美丽”，并在研究问题的过程中体会到数学无穷的魅力三、教师分析：我们先来看问题（1），研究它的主要原因是基于它的特殊性（是等腰直角三角形）很明显，问题（1）的第问的答案为，问题（1）的第问也容易猜测出，但是要想证明这个结论对老师或学生来说都有一定难度的，这是因为这两条线段位置比较分散，缺乏明显联系，想要沟通他们之间的关系，需要我们作出更多的努力，提取更多的储存，调动更多的智慧通过仔细分析题意我们可以捕捉到这样一条信息：“，且点D在线段BC上”这条信息让我们自然联想到角平分线这个几何模型，这样就让点所处的位置“退”到让它与点重合时看看（如图3，“一个更特殊的问题”G波利亚语），这时得出是非常顺畅的，但是要证明还不是那么容易但是这个特殊图形和特殊结论能在教师或解题者的心理和思维上能勾起哪些回忆呢？能够采取哪些尝试呢？3.1补全图形：如图4，延长、相交于点根据，说明是一个轴对称图形，其对称轴是线段所在的直线，所以容易证明()，所以；又因为，所以()，故，问题得证补形的这种做法即有心理上需求（图形缺一部分），还有对图形的“模式识别”（角的对称性），实质上是一种巧妙的“补短”图5图6图4 3.2转换角度：如图5，让我们再来看这个问题，如果证明一是补短的话，那么我们的思维自然可以转向“截长”，那么取线段的中点，连结、，由证法一可知，与全等一定成立，这就带来一个问题，如何证明？如果走证法一作辅助线的老路，显然绕了一个弯子，而且情感上也不想这样做若我们仔细分析题目提供的信息可以看出，是等腰三角形，则也必为等腰三角形，即，换句话说，点在线段的中垂线上，这样就产生了一个思路：取线段的中点，连结，则是等腰三角形，所以，又因为，所以，得，又因为，所以，点又是线段的中点，由此得到是线段的中垂线，所以，从而问题得证，这个思路虽然有些复杂，解题长度过长，但是毕竟有了一个新的思路，打开了一个新的视界，当然，伴随自己的还有些许陶醉感！3.3重新审视：至此，可以看到解决问题的关键是，让我们再琢磨琢磨，换一个思考角度，也许作为教师早已经有了新的解决方法，因为前面解决这个问题回路过多就已经给了我们产生再解决问题的“潜意愿”事实上，只要我们提取出平分，思维自然联通到“四点共圆”这个数学模型（如图6），进而利用“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧、弦相等”这个我们非常熟悉的知识，得出，与的全等随即可以解决3.4视角调整：必须相信，每位教师或学生头脑中的认知结构和知识网络都是存在差异的，而且各有所长，所以一个图形信息对每一个解题者来说所引起的反应也是不一样的，主要显示出个人解题思路的走向的不同，呈现明显的个性化，当然它不一定是最优化的解法我们再回头看看图4，点一定是的垂心，则连接并延长交与点，所以(如图7)，所以点、三点共线，根据梅涅劳斯定理，点、三点共线的充要条件是，由前面证明可以知道，所以转化为，又因为，得出,又易知，所以式可以变为，将代人可得：图7图83.5思维扩散：如果我们在大胆地猜测出的前提下，其实我们要走的路很多，前面用“截长补短”的方法就是解决问题的一条行之有效的思路然而，我们要是用线段的中垂线去把线段一分为二的话，也许更令人激动地事情就会发生，让我们试试！（如图8）作线段的中垂线，连结或（这儿我们先选定连结）有作法知，所以，所以，从而得到四边形是等腰梯形，得出这样一个使全等的关键条件，问题得证如果我们选定连结的话，问题解决的思路就更明显（显然是等腰直角三角形），读者可以自己体会事实上，根据已知信息，四边形是一个菱形这种解法用到的知识点较多，思维的回路也较为繁杂，往往会引起解题者心理上的解题障碍，从而使问题的解决出现半途而废现象，这种现象的出现，往往与解题者的情感和心理有关，更与解题者平时缺乏解题后的分析以及解题模式积累有关，是一种典型的解题认识上的自我封闭3.6相似辅助：如果教师的解题经验更丰富的话，那么他就一定会通过相似来沟通线段和线段之间的数量关系，这是由于猜测的结论可以转化为的形式因此我们完全可以通过平行来构造出相似来，进而打通这两条线段之间的关系，不管行不行，我们完全可以一试，也许成功，也许失败，无论怎样做都会给解题者提供正面或反面的经验我们过点作交的延长线于点，延长交直线于（如图9)，容易证明是等腰三角形，又因为，得到，所以，到这一步，自然就会想：是的两倍吗？其实图形信息和符号信息早已经以“黙会的知识”告诉我们这个结论是成立的，即使在没有发生这一步之前它早就已经发生了类似地，读者可以思考过点作的平行线解决问题的方法3.7善于捕捉：让我们再让思维往前走一步，虽然这一步有点巧妙和意料不到，但是也是非常值得欣赏的（如图10）现在我们作的角平分线，交于点，再连结，这时我们就会发现出现了一个新的等腰，至于说明它为什么是等腰三角形，我想读者不会有一点困难的由于，那么只要证明就可以了，事实上，当作出，垂足为时，问题已经迎刃而解了，真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”事实上，这种思路的产生与已知条件（等腰直角三角形和等）都是如影随形，相辅相成的图11图9图103.8数形结合：如果同样用上面的方法解决问题，换了另一位教师他的眼光会怎样呢？让我们来欣赏他的火热的思考和他所擅长的“数形结合”的思想方法为了方便（如图10），不妨设，由作法和题意可以知道，所以因为易证是等腰三角形，故，由此得出，解得所以问题得证3.9充分挖掘：现在我们已经对题目所提供的图形信息和符号信息不仅有了零散的认识，更有了信息之间结构的联系和挖掘有了这样的认识，我们利用平分，根据三角形角平分线性质定理，我们可以得出（如图11），为了方便，我们可设，则，由此可以得到，解方程得，所以在中，根据勾股定理，；又容易知道，所以，把等式两边分别平方得，则根据算术平方根的定义，由、我们显然能够推出.命题得证这种解法仅仅利用角平分线的性质定理、相似知识以及算术平方根的知识，外加上计算，而没有借助一条辅助线，解法直接、简洁 四、原问题的突破我国数学家华罗庚先生曾经说过：解题时先足够地退，退到我们最易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去这就像跳远时，先退步留出一段助跑的距离，然后再迅跑、挟风起跳，冲向新的记录从上面问题解决的“退”至少使我们找到了解题的策略、方法和突破口下面我们尽量利用简短的语言或图形来看看原问题中的（1）、（2）的“新”突破4.1问题（1）的突破从图1到图3相当于把以为位似中心做了两次位似变换所得到的图形（放大），进而产生种种思路；反过来，我们同样可以把以为位似中心也做一次位似变换（如图12），这样我们就非常容易得出问题解决的种种方法，这里就不再赘述，读者可以自行研究4.2问题（2）的突破我们再来看看这个一般情况，事实上，从上面的分析和问题（1）的突破，读者已经明白了或已经产生了种种解决问题的方法（如图13），解决问题的方法我想读者自己会去揣摩和体会这里我们不仅收获了解决问题的方法，优化了认知结构，深化了解决问题的策略，取得了解题经验，还使自己情感有了一种难以言表的愉悦图12图134.3从突破看试题的设计行文至此，当对这道试题能够“鸟瞰”时，教师会产生“丢弃”问题（1），直奔主题问题（2）的心理但事实上，很大一部分学生毕竟没有专业数学教师那样数学背景和解题经验，基于这样的实际，编制符合学生年龄和思维特点，能够让学生拾级而上，探索方法蕴涵题中的优秀试题就摆在每一位教师或命题者面前，毕竟优秀的试题给教与学带来的影响是相当长远的五、结束语显然，特殊化是一条通向解题的高效通途德国数学家希尔伯特也曾说过：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用这是因为特殊值、特殊点、特殊位置、特殊关系即隐含有一般情况的特征，又常常独具一些良