数学教学中记忆与理解关系的调查研究.pdf

第 9期 2 0 0 7年 9月 No 9 Se p 2 0 07 中国教育学刊 J o u rnal o f t h e Ch i n es e So c iet y o f Ed u ca t i o n 数学教学中记忆与理解关系的调查研究 巩子坤 张奠宙 1 枣庄学院 山东 枣庄2 7 7 1 6 0 2 华东师范大学 上海2 0 0 0 6 2 摘要 有些数学知识相对于学生的认识水平具有超验性 合情性和难以理解性 对于这些知识 学生要在初步理解的基 础上先记忆下来并进行一定的训练 然后在以后的学习中慢慢加深理解 相应地 课程标准和教材要基于学生的理解水平 制定适切的目标 不可过高地强调理解 教师也要在教学中正确处理理解与记忆的关系 而不是一味地反对记忆 关键词 记忆 理解 数学教学 中图分类号 G 6 2 3 5 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 2 4 8 0 8 2 0 0 7 0 9 0 0 7 1 0 4 学习数学重在理解 美国学校数学教育的 原则和标 指出 最近几十年 数学教育研究 的重要成果之一是认识到 概念 生的理解 事实 性的知识和操作机制是达到熟练的重要因素 1 1 我国 全日 制义务教育数学课程标准 实验稿 指出 对数与代数学习的评价 应主要考察学 生对概念 法则及运算的理解与运用水平 不应 单纯地考察对知识的记忆 对于运算的评价不能 过分要求技能 圆 然而 一些数学知识由于具 有超验性 合情性和难以理解性 网 因而学生初 学起来并不能获得较好的理解 在这种情况下 就要正确处理理解与记忆的关系 我们选取小数乘法和有理数乘法为案例 采 取问卷调查 访谈等方法 获得第一手数据 通 过对数据的分析 阐述理解与记忆的关系 并对 数学教育改革提出一些建议 一 小数乘法的意义不容易被理解 我们设计了以下两个测试题目 选取山东省 枣庄市两所教学水平较好的城市小学的 1 4 7名学 生 这两所小学在当地同类学校教学质量综合评 估中排在第 2 3位 作为调查对象 调查他们 对小数乘法意义的理解情况 题 目是 1 8 2 X 1 0的意 义 是什 么 2 0 6 X 0 1 5的意义是什么 结果如下 5 3 1 的学生给出了正确解释 有近一半的学生不能够用语言叙述小数乘法的意 义 在所有错误 中 最典型的是把 0 6 X 0 1 5 的意义 说 成是 0 6个 0 1 5的和或者 0 6的 0 1 5倍 学生 S就是其中一个 我们对她进行 了访谈 这里学生用 S 表示 访谈者用 I 表示 I 0 6 0 1 5的意义是什么 S 1 0 6 个 0 1 5相加的和或者 0 6的0 1 5 倍 I 可以说 0 6的 0 1 5 倍吗 S 1 可 以 I 能说一说一个数乘小数的意义吗 S 1 不会 I 能说一说 0 2 0 4表示什么 S 1 0 4个 0 2的和 I 怎样表示呢 S 1 表示成 0 2 0 2 I 0 4个 0 2还不够 1个 0 2呢 S 1 不好解释了 I 能说说一个数乘小数的意义吗 S 1 我只理解 从来不去记 I 你从来不记小数乘法的意义 你记小数 乘法的法则吗 S 1 不记 I 为什么 S 1 妈妈不让记 都是让我理解 收稿 E t 期 2 0 0 7 0 3 0 7 f 乍 者简介 巩子坤 1 9 6 6 一 男 山东枣庄人 枣庄学院数学与信息科学系教授 教育学博士 主要从事数学课程 改革研究 张奠宙 1 9 3 3 一 男 浙江宁波人 华东师范大学数学系教授 主要从事数学教育研究 维普资讯 7 2 中 教 育 学 I 妈妈是做什么工作的 S l 妈妈是教师 妈妈只让我理解 I 既然妈妈只让你理解 那你能谈谈你所 理解的小数乘法的意义吗 S 1 理解小数乘法的意义主要是怎样做 才 对 在考试的时候知道填空题怎样填才是对的 I 我明 白了 你的意思是理解小数乘法 的 意义就是能够正确地做这方面的题 目 你能试着 说一说一个数乘小数的意义吗 S l 我举个例子 好吗 比如 O 2 5 0 4 先按照 2 5 4来做 因为 O 2 5有 2位小数 O 4 有 1位小数 共有 3位小数 所以 再点上小 数点 就得到结果 结果是 O 1 学生习惯 了整数乘法意义 的表述方式 如 5 X 3表示 5个 3的和或者 5的 3 倍 因而很 自 然地将以上乘法算式解释为 几个几的和 这 显示了整数乘法的负迁移作用 也表明学生没有 理解小数乘法的意义 这个学生一再强调她从来不记忆 特别是 对于小数乘法的意义这些内容 而主要是理解 她还强调 妈妈反对记忆 事实 上 她也的确没 有 记 不记忆不要紧 问题是 她理解了小数乘法 的意义没有 退一步说 小数乘法的意义好理解 吗 事实上 小数乘法的意义很不好理解 小数 乘法的意义 依赖于分数和分数乘法的意义 如 果学生对分数 分数乘法 的意义缺乏深刻的理 解 特别是对分数 分数乘法的直观表征缺乏深 刻的理解 那么对小数乘法运算就可能只是记住 或者会使用法则 而对法则背后的东西如运算的 意义知之甚少 对于小学生而言 纯粹抽象的 事物是难以理解的 所谓理解基本 上等同于建 直观形象 既如此 直观地理解小数乘法 的意义 包括运算 必须在学习分数乘法之后 才能实现 但在现行的教材中 分数乘法是在后 续 的学习中才介绍的 从理解的角度讲 这就把 马车放到了马的前 面 既没有对分数 的充分理 解 又没有分数运算 的知识作基础 学生就难以 理解小数乘法 小数乘法的意义是乘法意义的一 次扩展 原有的知识并不能像整数乘法运算为小 数乘法运算那样给小数乘法的意义提供合适 的同 着点 这就需要对 原有认 知结构进行调整 重 组 以容纳新知识 因此 近一半的学生不理解 小数乘法的意义也就不足为奇了 二 负负得正 需要先记忆 然后再慢 慢理解其 背后 的道理 杂交水稻之父袁隆平院士说过 我最喜欢外 语 地理 化学 最不喜欢数学 囚为在学正负 数的时候 我搞不清为什么负负相乘得正 就去 问老师 老师说 你记得就是 我慢慢得出 结论 数学是不讲道理的 原作者注 其实是那 个老师未讲清道理 并非数学不讲道理 学习 时 有些较难的知识应先作为平台接受下来 以 后再慢慢理解也未尝不可 要说明什么是 负负得正 非常容易 但要 解释为什么 负负得正 就不那么容易 甚而有 些困难 为了解学生对有理数乘法算理 关键是 为什么 负负得正 的理解情况 我们设计了 以下题 目 对I J J 东省枣庄市两所中学的 1 3 8 名学 生进行了测试 这两所 中学在当地同类学校教学 质量综合评估中排在第 2 4 位 题目是 计算 一5 X 一 3 是多少 然 后用尽可能多的方法 如文宁解释 画直观图 算式表示等来说明 白己的答案是正确的 即说明 为什么 负负得正 说明得越详细越好 学生 的回答情况见表 1 表 1学生对 一3 X 一5 的理解情况 理解类型 样本量 最小值 最 大值 平均分 正确率 程序理锯 l 3 8 0 2 1 9 4 9 7 0 直观理解 l 3 8 0 2 0 1 3 6 5 抽象理解 1 3 8 0 2 0 1 0 5 0 形式理解 l 3 8 0 0 0 0 0 0 0 说 明 程 序理 解 即利 用 法则 给 出正 确 的计 算 结果 直观 理 解 即通过直观的模 型说明结果 的合理性 抽象理解 即通过 抽 象的模型说明结果 的 合理性 形 式理解 即通过形式化的方 式说明结果的 理性 从表 1 可以看出 9 7 0 的学生给出了正确 的计算结果 也就是说 绝大多数学生知道什么 是负负得正 然而 只有 1 1 5 的学生对为什么 负负得正 给出了合理解释 换言之 学生很 少理解为什么 负负得正 很少理解有理数乘 法的算理 正因为不理解为什 么 负负得正 维普资讯 第 9 期 巩子坤等 关于记忆 与理解关系的调查研究 7 3 很多学生对 负负得正 提出了质疑 以下是对 部分学生的访谈 1 为什么 负负得正 S 2 我认为我们班没几个同学能够说 明为什 么 负负得正 真要说为什么的话 就是两个 负数相乘 就相互抵消了 我感到这个法 则很别扭 数学家创造这个知识的时候 为什么 负负得正就不得负 I 你在学习时怎么办 S 2 还能怎么办 不这样办 又能怎样呢 学生质疑数学家为什么创造了 负负得正 很不情愿地接受下来 从个人的情感上不愿意接 受 但在实际中又不能不接受 2 我错在哪里 S 3 在学有理数乘法的时候 老师讲的和我 的想法不一样 但我认为我的想法是对 的 后 来 老师出了一些运算题 我按照自己的想法做 了 结果是我错了而老师对 了 但我一直发现不 了我到底错在哪里 3 负负得正 可能被推翻 S 4 负负得正虽然是一个规定 但某一天可 能会被推翻 因为这个东西不很合理 I 2 3等于几 S 4 5 I 这个结论可能被推翻吗 S 4 这不可能 2 3等于 5都 已经用 了这 么长 时间 了 再说 2个手指 头加上 3个 手指 头 不就是 5个吗 I 你 的意思是没有 一5个手指头 没有 一3 个手指头 你上面不是说 一5个苹果乘一3个 苹果就是 l 5个苹果吗 注 这是该生为说 明 一5 一3 1 5时所使用的解释 S 4 我觉得我说得也不合理 由上可以发现 让学生接受 负负得正 很 容易 但要让学生心悦诚服 理解性地接受 负 负得正 却非常困难 原因在于这类知识具有超 验性 合情性等特征 首先 负数具有超验性 一个苹果的 l 半 个苹果的 0 5 这些数字虽然也是一种抽象的存 在 但它们都有明确的表征物 且这些表征物与 我们的 日常生活经验紧密相联 同时 这些数字 都与测量密切相关 而 负数则不是测量出来 的 如果说亏损 2 0 元 那个 2 0 仍旧是个正数 因此人们不觉得非要接受负数不可 人们常常 用 得到的钱数是正数 失去的钱数是负数 来 表征正数和负数 但是 拒绝接受负数的人总是 认为 失去的钱数 在实体对应的原则下仍然是 一 个正数值 这时 负号 仅仅是 失去 一词 的代用物而已 14 12 不能够实际测量 正是一些 数学家不愿意承认负数的理由 负数是 由具体 数学向形式数学的第一次转折 要完全掌握这种 转折中出现的问题 需要有高度的抽象能力 昀 如果你知道从一流数学诞生开始 数学家花了 1 0 0 0年 的时间才得到负数的概念 又花了另外 1 0 0 0年的时间才接受了负数概念 那 么 你就 可以肯定 学生在学习负数时将有多困难 因此 我们必须为这样的困难做准备 并帮助他们克服 这样的困难 7 负 数超越了 日常经验 不能够与 物体的个数建立起联系 如果学生仍然习惯于用 物体的个数 测量的结果来表征数字 而不能够 运用推理的方法来理解负数 就会产生这样的质 问 现实生活中负数在哪里 其次 负负得正 具有合情性 理论上 讲 数学知识的获得需要经过严格的演绎证明 数学知识 的基础 即确定数学命题真理性的依 据 是 由演绎证 明所组成的 I 8 l 但在 中小学 由于学生的认知水平较低 许多结论是通过举例 和不完全归纳而得到的 数学知识表现出 合情 性 特点 负负得正 就是这样的知识 在整 数环的公理系统中可以严格地证明负负得正这个 法则 但在 中小学 则无法做到演绎证 明 况 且 从知识发生的角度看 负数的产生也不是演 绎证明的结果 证明 负负得正 是 1 9 世纪数 学家建立了形式化公理系统后才做到的 既然不 能够证明 教师就只能通过一些模型来说明 解 释 负负得正 的合理性 在中小学通过严格 的证明是做不到的 要追求 一种和谐的模式直 观 比如可以直观地认为 乘法对加法的分配律 在负数范围内依旧成立 在此基础上 我们能够 对为什么负负得正作直观的理解 19J 由于负数具有以上两个特点 因而学生在学 习负数时往下找不到经验这块实实在在的地 往 维普资讯 7 4 中 国 教 育 学 刊 2 0 0 7年 上够不到演绎推理这个天 处于两难处境 既难 以找到直观的基础 又未建立逻辑的基础 因而 很难理解 负负得正 这时 只能忍耐一些 先接受下来 再慢慢理解 三两点建议 一 课程标准 确定合理的理解层次 以上调查表明 学生对小数乘法的意义和有 理数乘法的算理的理解是有限的 因此 课程标 准应对有关运算的理解提出适切的目标 不可人 为拔高 目标要具体 明确 具有可操作性 不 可泛泛而谈 比如 有 的教科 书的 教师用书 提 出 对有理数及其运算的评价 要关注学生对有理 数的意义 有理数运算法则的理解水平 对 运算 的评价重点应放在学生对算理的理解 仅仅提 出以上要求而不进行明确 的界说 我们 不禁要问 什么是对有理数运算法则 的理解 理解有几 个水平 什 么是有理数乘法 的算理 如何说 明 理解 了算理 事实上 正如上面调 查所表 明的 只有很少 的学生能够说 明为什么 负负得正 课程标准的制订也好 教材的编写也罢 不 可以把 目标界定得如此模糊 强调理解 要明白 什么是理解 知道理解有几个层次 水平 清 楚有多少学生可以达到哪个层次的理解 否则 就是一句空话 强调理解而又不明确理解应达到 的层次 可能导致教学效率降低 消减学生数学 学习的兴趣 小数乘法的意义亦然 二 教师教学 正确处理理解与记忆的关系 一 方面 数学学习应该注重理解 因为获得 较好理解 的知识能够被牢 固地掌握和灵活地应 用 具有很好的迁移性 另一方面 对于像有理 数乘法 小数乘法的意义这样具有超验性 合情 性 难 以理解性的知识 则应要求学生在不太理 解 或者说初步理解的 的情况下先记下来 能 够做一些基本的题 目 然后再慢慢理解 否则 基本的东西都没有记忆 做题时全凭感觉 一开 始就错 了 将来就不好改正 正确的做法是 记 住一些基本的东西 先学会正确地做 以后再来 说明道理 因为记忆是通向理解的 这也是 我们通常所说的 平 台理论 把前人创造 的知 识作为发展的平 台 不断前行 站在巨人 的肩 上 登高望远 总之 不可一概地强调理解 一 味地反对记忆 要因情制宜 参 考 文 献 1 全美数学教师理事会 美国学校数学教育的原则和标 准 M 蔡金法 等译 北京 人 民教 育出版社 2 0 0 0 2l 一 3 2 2 中华人 民共和 国教育部 全 日制义务教育数学课程标 准 实验稿 s 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 1 89 3 巩子坤 数学知识的特征与学习方式的有效选择 J 中国教育学刊 2 0 0 5 1 1 4 5 4 9 4 张奠宙 张广祥 中学代数研究 M 北京 高等教育出 版社 2 0 0 6 5 罗增儒 案例创作 一 3 一 4 数轴 表示 的挑战 J 中学数学教学参考 2 0 0 4 1 2 3 7 6 克莱 因 高观 点下 的初等 数学 第一册 M 舒湘 芹 译 武汉 湖北教育出版社 1 9 8 9 2 2 7 K L I N E M A p r o p o s a l f o r h i g h s c h