概率论与数理统计考试复习.docx

1、 填空类型1、 用A,B,C表示事件发生情况例 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A，B，C至少有一个发生；ABC（2） A，B，C都不发生；=（3）A，B，C不都发生；2、 概率的性质 ）计算公式P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)P（AB）=P(A)+P(B)-P(AB)A-B= A=A-ABP(A)=1-P()第九面例1.4（可以看看）设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.6 设随机事件A、B及AB的概率分别为0.3,0.4,0.5求P(B)P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)- P（AB）=0.3+0.4-0.5=0.2P(B)=0.4-0.2=0.23、 求概率计算例，一批产品共有100个正品和4个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是正品的概率为（25/36 ） 设抽到正品的事件为A事件，则抽到次品为P=P(A1A2+1A2 )=100/104*99/103+4/104*100/1044、 方差的性质设c为常数，D(C)=0 D(CX)=C2D(X) X，Y相互独立 D（X+Y）=D(X)+D(Y)例，随机变量X ，Y相互独立，D(X)=a,D(Y)=b,D(kx-Y)=K2D(X)+D(Y)=ak2+b5、 PmaxX,Y=1 相互独立P(MAX(X,Y)=FX(z)*FY(z)=F(Z)nP(MIN(X,Y)=1-1-F(z)n详细在书的81面到82面的（3-22到3-27）例 设随机变量X和Y相互独立，且均服从区间(a,b)上的均匀分布，P min(x,y)1=1-1-F(1) 2,其中f(x)=1/b-a,F(X)=x-a/b-a6、 概率性质计算例 设A,B为随机事件，P(A)=a P(A-B)=b P(AB)= ( a-b )P(A-B)= P(A-AB)=P(A)-P(AB) 则b=a-P(AB)7、 可加性（泊）（77面例3.16）8、 相关系数的线性计算例 已知随机变量X服从N（0,1）,Y=2X,则X与Y的相关系数xy=1解，xy=cov(x,y)/D(X)D(Y)1/2=E(XY)-E(X)*E(Y) /D(X)D(Y)1/2 =2E(X2)-2E2(X) /2D(X)D(X)1/29、 泊松分布公式10、 评价的标准（147面无偏性，有效性，一致性）11、 正态分布的边缘分布（X,Y）N（a,b,c,d,e）则 XN(a,c) Y(b,d) xy=e 12、 样本均值与样本方差XN(6,8),X1,X2,X3,.Xn是X的样本，则，S2=E()=6，E(S2)=82、 计算1、 全概率公式(书本P20例题 1.19和1.20) 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的”，C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1） (2) 2、 概率计算（观测） 18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率为3、 一元函数的概率分布（ 46面开始的均匀分布，指数分布，正态分布概率的求法） 4、 一元密度函数的确定（A)及概率（书本上43面例2.10） 15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+,求：（1）A值；（2）P0X1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 当x0时，当x0时， 故 5、 求边缘分布及是否相互独立若独立，则f(x,y)=fx(x)*fy(y) 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立. 题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度.【解】（1） 得.(2) 6、 极大似然估计（141面开始后的例7.1和例7.7）7、 二元函数的和的分布及求概率 卷积公式(79面例3.17和3.18) 32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y0时，当0y1时， 当y1时，故Y的密度函数为