数学美与解题.doc

曹开清趣味数学网 /数学美与解题江苏省泰州市渔行实验学校 曹开清（225300）数学是一个五彩缤纷的美的世界，当我们认识到它时，就可以改变对数学的成见，极大地提高学习数学的积极性. 因此在平时的教学中，我们应注意挖掘数学中美的素材，培养学生的审美意识和数学美感. 在解数学题时，应以审美的心态去观察、思考，看能否运用美学的方法简单性方法、和谐性方法、对称性方法、类比性方法、奇异性方法等来解决数学问题，本文对此略作探索.一、从整体代换和正难则反中实现简单美简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答.”例1 已知一元二次方程axbxc0的两个实数根分别为m、n，记pmn，qmn，rmn，求apbqcr的值.分析：本题若用根与系数的关系mnb/a，mnc/a 直接代入，运算非常复杂；若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷.解：由方程的定义，得ambmc0，anbnc0，则apbqcra (mn)b(mn)c (mn)(ambmcm)(anbncn)m(a mbmc)n(a nbnc)m0n00.例2 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制. 为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛.二、从全局考虑和合理猜测中体现和谐美希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美.”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向.例3 求证：2/15/48/7(3n1)/(3n2) (n为正整数).分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把左边的结构补充完整.解：设A2/15/48/7(3n1)/(3n2)，B3/26/59/83n/(3n1)，C4/37/610/9(3n1)/(3n)2/13/24/30，5/46/57/60， 8/79/810/90，0ABC0AABC2/13/24/35/46/57/6(3n1)/(3n2)3n/(3n1)(3n1)/(3n)3n1. 即A，原不等式成立.例4 如图，ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC1，A60，ABC100，DEC80. 求SABC2SCDE.分析：ABC和CDE都是一般的斜三角形，直接求面积很困难. 注意到A60是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把ABC整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解.解：以AC为一边，A为一内角作正三角形ACM，作MCB的平分线交MB于F.MCAC, MCFACB20, MA60MFCABC 又CDECFB，CECB SCDESCFBSABC2SCDE SABCSCFBSACM.三、从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美对称美的数学内容可谓俯拾皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效.例5 化简的结果为 （ ）（第16届希望杯全国初中数学邀请赛试题）.A. B. C. D. 1分析：因原式是a、b、c的轮换对称式，故化简的结果也应是轮换对称式，但选择支A、B、C都不是轮换对称式，因此选D.例6 已知a0, b0，且ab1，求(a)(b)的最小值.分析：由题设条件可知 a、b具有对称性，因此猜想当ab时，原式有最小值，可考虑均值设元.解：设 (x)则(a)(b)显然，当x0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4.因而，当ab时，原式的最小值为.四、从直觉判断和类比中发现相似美数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或关系、结构的问题. 在数学解题中，注意类比联想，常可由问题形式的相似，或结构特征的相似去猜测解题思路、方法的相似等.例7 已知a、b、c均为非零实数，且(bcab)24(cabc)(abca)0 ， 求证：.分析：注意到式左边的结构与方程根的判别式相类似，不妨构造一个以式左边为判别式的一元二次方程.证明：若cabc0,则有abc，结论显然成立.若cabc0，构造关于x的一元二次方程(cabc)x2(bcab)x(abca)0.方程的系数和为0，1是方程的一个根.由式知 0，此方程有两个相等的实数根x1x21.由根与系数的关系，得x1x211.abbc2ca，即. 例8 如图，H为锐角ABC的垂心，记BCa，CAb，ABc，AHm，BHn，CHp，求证：. 分析：要求证的结论与三角恒等式tanAtanBtanCtanAtanBtanC相类似，可考虑去证 tanA，tanB，tanC.证明：H是锐角ABC的垂心，BCEAHE BC/AHBE/AE，即 tanBAC 同理 tanABC ，tanACB 由锐角ABC中的三角恒等式 tanAtanBtanCtanAtanBtanC，得原式成立.五、从追求创新和出奇制胜中欣赏奇异美例9 已知：如图，ABC中，ABAC.求证：BC（数学史上称之为驴桥定理）. 分析：常规方法是作辅助线，但若把图形看着是由ABC与ACB重合在一起的两个图形，就会有一个创造性的证明。证明：在ABC和ACB中，ABAC，BACCAB，ACAB.ABCACB.BC. 例10 设a、b、c分别是一个三角形的三边长.求证：a2b(ab)b2c(bc)c2a(ca)0 ，并指出等号成立的条件（第24届IMO第6题）.评述：在国际中学生数学竞赛（IMO）中设有一项特别奖，用以奖励那些对试题所作解答有独特之处，比事先拟定的标准答案更简捷的学生.联邦德国的伯恩哈德里普的解答超常的简捷，只用了一道等式：原式a(bc)2(bca)