量子力学备课.doc

量子力学前言量子物理学的发展史（大体分四个阶段）：1 早期量子论（1900-1923）：“经典物理+量子条件”（第一章）2 非相对论量子力学（1924-1927）：即通常讲的量子力学（第二第十二章）3 相对论量子力学（1928-1930）：狄拉克贡献突出4 量子场论（1930-）：“量子力学+相对论+场论”（粒子物理的理论基础）量子力学研究对象：研究微观粒子作低速运动时的基本规律发展起来的，将波粒二象性统一起来的动力学理论。第一章 经典物理学的困难与量子力学的实验基础第一章内容普通物理都已涉及，我们仅概述要点，重点说明“早期量子论到量子力学”的必然性和发展，以解决“为什么要量子力学”的问题。1. 1黑体辐射 普朗克的能量子假设(1900)实验结果 经典理论结果 普朗克公式 普朗克能量子假设=h(1918诺贝尔奖)1. 2光电效应 爱因斯坦的光量子假设(1905)实验结果 经典理论无法解释 爱因斯坦光量子论=h(1921诺贝尔奖)1. 3康普顿效应 光的波粒二象性(1923)康普顿效应 经典理论无法解释光具有粒子性：用光子和自由电子碰撞（能量-动量守恒）成功解释康普顿效(1927诺贝尔奖)1.4原子的线状光谱与原子的稳定性 玻尔的量子论（1913）原子模型的发展：老汤姆孙的蛋糕模型卢瑟福的核式模型玻尔的量子论(1922诺贝尔奖)玻尔理论的意义：1900-1913年达到早期量子论的高峰，一直延续到1923年。玻尔首次打开了认识原子结构的大门，明确指出经典物理对原子内部已不适用，用量子论推动了光谱理论的发展，架起了经典物理通向量子物理的桥梁。但是，玻尔理论只是“搭桥”，并没有登上新物理的“彼岸”。1. 5实物粒子的波动性 德布罗意假设(1924)微观粒子（实物）的波粒二象性： 德布罗意波(1929年诺贝尔奖)实验验证：戴维孙-革末，小汤姆孙，电子衍射（1927; 1937年诺贝尔奖）1. 6量子力学的建立早期量子论的局限性 在解决实际问题中的困难：如玻尔模型，只能解释氢原子光谱，对仅多一个电子的氦原子就无能为力；对氢原子也只能给出频率，不能给出光谱的强度。 理论结构本身的根本性缺陷：不是微观体系的一种严密的物理理论，只不过是“一盘大杂烩” “经典物理+量子条件”的混合物。 真正需要的是：对物理理论重整，使它对所有系统都给出正确结果。并在宏观领域回到经典理论这就是量子理论。量子理论的建立 海森堡矩阵力学（1925;1932年诺贝尔奖） 玻尔理论的发展：认为原子理论应建立在可观察量（如光谱、频率）的基础上，赋予每一个物理量一个矩阵，得到相应的运算法则和运动方程。 薛定谔波动力学（1926;1933年诺贝尔奖） 德布罗意波的发展：德布罗意波波动方程（德拜的“发问”）波函数的统计解释（玻恩1926;1954年诺贝尔奖）。 量子力学 波动力学和矩阵力学合一：薛定谔证明了两者的等价狄拉克将矩阵力学加工成严密的理论体系，通过严格的变换理论将两者统一为量子力学。 狄拉克1930年完成量子力学“圣经”量子力学。（1933年诺贝尔奖） 量子力学的第三种表述 路径积分：狄拉克提出，费曼发展（1948;1964年诺贝尔奖）量子理论建立的特点 众多物理学家共同努力的结晶:标志着物理研究方式的转变（群体化），量子物理公认的领袖是玻尔（哥本哈根学派）。 量子物理学的成就多属于青年人：1905年爱因斯坦提出狭义相对论时才25岁；1912年玻尔提出量子论时27岁；1925年薛定谔、海森伯和泡利建立量子力学时分别是37岁、24岁、25岁；1927年狄拉克25岁完成了相对论性量子力学；1935年汤川秀树提出介子理论,28岁建立了核力基础理论。创建量子力学时，很多从事这方面工作的科学家都访问过玻尔的研究所，那时玻尔年纪也不大，40岁不到，爱因斯坦年纪也不大，按照中国现在的说法是中年和中青年。可是建立量子力学的不是玻尔、爱因斯坦，而是一批更年轻的科学家。到第二次世界大战以后，又是一批年轻的科学家，36岁的朝永振一郎、28岁的施温格、29岁的费恩曼完成了量子电动力学的理论基础。到1950年代，新的基本粒子被发现了，这些新问题的解答，是由另一代年轻的科学家做出的。盖尔曼提出奇异量子数时才24岁。杨振宁和李政道，分别是33岁、29岁发现宇称不守恒。吴健雄44岁实验证明了宇称不守恒。1960年代，29岁的格拉肖和34岁的温伯格统一了电磁作用与弱作用。1999年得诺贝尔奖的霍夫特（G.t Hooft）和费尔特曼（M.J.G.Veltman），也都是更年轻的一代。第二章 量子体系的状态2.1 波函数的统计解释一、 如何描述微观粒子经典粒子：r , p 如“子弹双缝”实验“1”：密度分布P1(x)“2”：密度分布P2(x)“1+2”： 密度分布P12(x)=P1(x)+P2(x) 经典波： （x,y,z,t）如水波双缝实验“1”：强度分布I1(x)= “2”：强度分布I2(x)= “1+2”：强度分布I12(x) I1(x)+I2(x)I12(x)= I1(x)+I2(x)+干涉项微观粒子：如电子双缝实验设电子流很弱，电子几乎一个一个地经过双缝，然后 在感光底片上被记录。起初，电子似乎无规律的“一个一个”地落在感光底片上。长时间后，出现与经典波相似的“衍射花样”。如何理解：电子是“一个一个”地落在感光底片上 原子性 似乎无规律导致有规律的“衍射花样” 波动性 经典粒子的描述无法反映电子的波动性 经典波的描述无法反映电子的原子性（粒子性）如何解决：为了反映波动性，可以借用“经典波”的描述方法 波函数描述 为了反映粒子性，玻恩借用统计中的几率概念 重新解释波函数从而解决了建立完整的微观理论中的一大难题：“波函数形式”+“统计解释” 描述具有波粒二象性的微观粒子微观粒子用波函数描述微观粒子在t时刻出现在r处体元d的几率为d 统计性是微观物理现象的本质特征二、 的不确定性1、 因为只有相对几率才有意义，与C描述同一状态。2、 归一化条件：。若，则 ，C为归一化常数。3、 不能采用上述方法归一化的情形。如自由粒子波函数， ， ，对应单色（）平面波（k）： ，空间各处发现自由粒子的几率相同。 ？！如何归一化，以后再讨论。三、 多粒子体系的波函数（自学）。2.2 态叠加原理一、 电子双缝实验的启示什么量叠加？强度（几率）还是态函数（几率幅）？如果是强度叠加，则无干涉项。所以，对微观粒子，几率不遵守叠加原理，几率幅遵守叠加原理。二、 态叠加原理（基本假设之一） 若1，2，n是体系的可能状态，则是它的线性叠加：。物理意义：1 力学量A 的确定值a1 可能为a12 力学量A 的确定值a2力学量A的值 可能为a2 n 力学量A 的确定值an 可能为an粒子既处于1态，又处于2态， ； 1，2， 是的可能态，各种可能态的几率为， ，且 。（这与经典物理具有本质差异）叠加导致测量的不确定性和各种可能值的几率的确定性三、 动量分布函数（动量表象的波函数）叠加原理的例子 问题：在r处找到粒子的几率 测得动量p 的几率如何呢？若为单色平面波：，, E=h,则。 一般情况下，粒子可能以各种不同的动量p运动，态依叠加原理可表成p取各种可能值的平面波叠加：。若p连续变化， ， 。取 ， 即 ，可得 ，易知 是的付里叶变换。其逆变换为 。可见 一一对应，是同一状态的不同描述。是以坐标为自变量，称为坐标表象的波函数；是以动量为自变量，称为动量表象的波函数。是时刻t粒子动量在内的几率和通过付里叶变换来联系2. 3薛定谔方程 几率守恒定律这是量子力学的核心问题 如何随时间演化？一、波函数随时间变化的规律薛定谔方程（S-方程）（考虑到原子物理中已有讨论，这里只讲要点。）自由粒子的启发： ， 势场U(r)中运动的粒子： 经典公式： 受自由粒子的启发，作算符替代： ， ，作用与得： 薛定谔方程或 ，哈密顿算符几点说明：1、 它揭示了非相对论情形下，微观世界中物质运动的基本规律。地位等同经典力学中的牛顿运动方程。2、 它并非“推导”出来的，而是一种基本假设，其正确性由实验验证。3、 推广到多粒子系统有： ， 。二、定态 定态薛定谔方程 一种极为重要的特殊情形： U(r) 不显含时间令 (r, t)=(r)f(t), 代入S-方程得（与r , t无关的常数 能量值）， (r)称为定态波函数，满足 定态薛定谔方程或 ， 若能量取值为E1，E2，En 则 为的本征值，为的本征函数（对应）。S-方程的通解为 。三、几率守恒定律问题：如何随时间变化？ ，由S-方程：，代入上式： 其中 几率守恒定律类似电动力学电荷守恒的讨论，称J为几率流密度。任何可实现的波函数，应满足平方可积条件： 有限。（导致对行为的要求：，为什么？请思考。）几率守恒定律的积分形式为（类似电动力学电荷守恒的讨论）：当V, S 时，有 ，总几率守恒粒子数守恒2.4 定态S-方程的解法：一维无限深势阱与线性谐振子 无限深势阱 精确解（只有几类） 线性谐振子量子力学中的求解 氢原子 近似解（在量子力学中十分重要） 束缚态（EU） 连续谱一、波函数的标准条件（充分条件；必要条件的讨论可参见曾谨言的书）1、 单值性：单值，但有不定性（相因子）。2、 有限性：有限，导致有限或允许存在孤立奇点（如-函数）。3、 连续性：w, J 连续，导致连续，但对U，的一阶导数不连续。二、 一维无限深势阱（原子物理已有讨论，仅讲要点） 物理背景：金属中的电子、原子中的电子、核中的质子和中子等，都有一个共同特点 粒子被限制在一定范围内运动。 引入物理模型：无限高刚性“壁”（箱）势阱 近似认为粒子在方阱中运动 最理想的情况（近似）在无限深势阱中运动。 0 0xaU= x0, xa方程： 0xa x0 , xa 此方程在时，仅=0。求通解：（0xa） 令 有 ， 由标准条件定解： 连续性 ， n=1, 2,。， n=1, 2,，量子化。 ， 0xa 。由归一化条件定A： 。 0 x0, xa ，= 0xa 。 （请自学解的物理意义）三、 线性谐振子（原子物理已有讨论，仅讲要点） 1、 谐振子问题的重要性 任何一个体系U(x)，在稳定平衡点附近均可用线性谐振子来表示它的势。 稳定平衡点 x=a ，将U(x)在a点附近作台劳展开： 由稳定平衡条件，适当取坐标，使a=0 ,适当取零点，使U(a)=0，则。2、 谐振子问题的解方程： 引入参量简化方程：令 的渐近解：当时，方程变成 （ 略去了“”）取尝试解 （请思考为什么不取？），。 由标准条件定解： 令 代入原方程有厄米方程，可由级数求解（略，见教材）几点讨论：a）一般情况下，H是无穷级数，且 ，不满足有限性条件！b) 为了保证束缚态边条件，必须要求H中断成一个多项式，厄米多项式。中断条件为 。c) 满足归一化条件的波函数为 。可以证明，称的宇称为。（很有用的性质） 能量量子化： n=0，1，2，。3、 物理讨论 与宏观谐振子比较（自学）。例题：教材P192、4。解：x0同谐振子，但连续性要求（0）=0。注意，谐振子波函数满足。由 知，当n=2k+1时，恒满足（0）=0。而n=2k则不能满足（0）=0的要求（这由即可知）。故有 谐振子波函数；。 0 x0第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。31 力学量的平均值公式 力学量用算符表示算符进入量子力学一、坐标的平均值测量值的平均值=测量值的可能值几率 （对连续情形）分量： 问题：能否用导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值 我们希望直接用写出（注意不是的几率）。以x分量为例：将 代入，有 计算有于是 。同理计算py，pz，结果有这就是直接用计算的公式。和之间不是力学量的值，而是算符（）算符进入了量子力学。三、动量算符与坐标算符 ， 四、力学量用算符表示量子力学的基本假设之一力学量算符常用的力学量算符（引导学生写出）： 32 算符的运算法则一、 基本运算法则量子力学中的算符，表示对波函数的一种运算。例如： 一般地， 即 ， 为算符 （算符的基本运算请学生自学，重点讲算符的积对易子）算符的积： 对任意波函数，若 则 为算符和的积它是一种连续作用的运算，作用顺序一般不能交换：。 例如：，。可见 ， 即 。二、 算符的对易关系在量子力学中具有重要作用 引入对易子来反映算符是否对易： 对易；不对易。基本对易子： 对易子恒等式： ，雅可比恒等式。与的对易关系：，重复下标求和（爱因斯坦求和）。 0 有重复下标 。 1 “123”偶排列。 三阶反对称张量。 -1 “123”奇排列。与的对易关系：。之间的对易关系： 。与的对易关系： 证明例子（我们利用恒等式证明，其他方法自学教材）三、 线性算符 厄米算符与么正算符量子力学特定要求下的算符 定义内积： 线性算符： 逆算符： （若存在逆）， 有 。转置算符： ， ，有 。例子：求的转置算符。以上已利用了可实现条件。由于的任意性，有 复共轭算符： 。厄米共轭算符： ， 或 ，有 。厄米算符： ， 或 若，厄米，则厄米。（一般非厄米）证 （对易）。例子：证明是厄米算符。 么正算符： 性质内积不变 。证33 厄米算符的本征值与本征函数 力学量的可能取值与取值的几率分布的本征值方程： 连续谱 简并度d的本征值 分立谱 的属于f 的本征函数混合谱 非简并一、 厄米算符的本征值与本征函数1、本征值为实数设的本征值为分立谱：由厄米算符的定义，。2、不同本征值的本征函数正交性函数正交的定义： 正交。厄米： ，两式相减，由厄米性知 ，即在无简并情形下本征函数正交。考虑到归一化，有 正交归一性： ， （连续谱）。3、有简并的本征函数的正交性 若 d重简并； ， 上述正交性的证明不成立。一般地，这些函数并不一定相互正交。但总可以用个常数把这d个函数线性组合成d个新的函数： ，使这些新函数相互正交。我们不作一般讨论，用举例说明4、 完备性含义：有一函数集。如果任一函数可按展开成 ， Cn 与n的自变量无关，则称的这种性质为完备性，或组成完备集。力学量的完备集：如果是厄米算符的正交归一本征函数集，则任一波函数可按展开（定义域和边条件相同）： 对连续谱）。结论：厄米算符的本征函数组成正交归一完备集。Cn的计算：给定，已知。 对连续谱 。5、 封闭性。（有关证明请自学教材）二、 力学量的可能取值及取值的几率分布问题：力学量与算符的关系可能值？可能值的几率？1、力学量的可能值设体系处于量子态，力学量F的取值一般有各种不同结果，f1, f2,，其平均值为，各种可能值围绕涨落。涨落的定义为 厄米厄米。一种特殊的状态： 本征值方程。量子力学基本假设之一：力学量F的所有可能值都是相应厄米算符的本征值。当体系处于的本征态时，所有可能值都是。2、可能值的分布 按的正交归一完备本征函数集展开：。由叠加原理知，是体系出现在态的几率，而态中F有确定值fn是F取fn的几率，即取fn的，Cn几率幅。 特别地，。 一般地，。 力学量的平均值小结给出三个重要信息 力学量的可能取值 力学量取值的几率分布 都涉及到的本征函数系。34 基本力学量算符的本征函数系一、的本征函数系（自学）二、的本征函数系（自学）1、求解 2、归一化 归一化为-函数。 箱归一化。每个量子态在相空间中的体积为（见教材中的证明）。三、的本征函数系 即求解定态S-方程。四、的本征函数系 1、 球系中的（具体推导见教材） 。2、的本征函数系。为了保证的厄米性，要求波函数满足周期条件（使得连续）： 磁量子数。3、的本征函数系 ， 本征值 。由数理方法知，上式为球函数方程，其解为 （2l+1）重简并。有限性要求，。由的归一化条件（归一化系数）。4、和的共同本征函数集易知 也是的本征态，称为和的共同本征态（物理意义后面再讨论）：35 力学量同时有确定值的条件 力学量的完全集前面讨论的是一个算符的问题，现在讨论多个算符之间的关系。问题：体系处于中，哪些力学量同时具有确定值，哪些不能同时具有确定值？例：动量本征态中，p确定，r不确定；中，和同时确定。两个力学量有共同的、完备的本征函数集，在中，两力学量同时具有确定值。本节讨论表明：关键是算符的对易性一、 力学量同时具有确定值的充要条件是它们的算符对易（对任意态）必要性：如果有共同本征函数集，且完备（即同时具有确定值），则 。证：充分性：如果，则它们有共同的、完备的本征函数集，因而同时有确定值。证： 设，即也是的本征态，且本征值为。若无简并，与描述同一态，只能相差一个常数，即 也是的本征态。具有共同本征态（完备集）。（对有简并的情形，请同学自学教材，我们不作要求。）例如：相互对易共同本征态。共同本征态。无共同本征态，不能同时具有确定值。无共同本征态。二、 完全确定体系的状态需要力学量的完全集一般来说，要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易（从而可以同时有确定值）的力学量，这一组完全确定体系的力学量称为力学量的完全集，其选择要满足三个条件： 力学量的个数=体系的自由度数。 力学量之间相互对易。 力学量要独立。实用上，应注意选择守恒量组成，且总可以含（证略，可参见曾谨言书）。例如：氢原子（，不计自旋，3个自由度，3个守恒量。3.6、测不准关系（不确定原理）问题：同时有确定值；一、 测不准关系是波粒二象性的反映从粒子束单缝衍射谈起波动性： 不能同时确定 。 二、 测不准关系的普遍证明 (只讲思路，详细讨论见教材)令 ，考虑积分 为实参数。 利用的厄米性，计算可得（见教材）：。上式对任意成立，故对I（）的最小值，亦即时亦成立，于是有：，记 。特例： 。三、 测不准关系的应用1、粒子轨道经典理论是量子理论的极限。经典轨道（r , p），而量子领域不可能有“轨道”。但当时，经典理论仍是相当精确的近似。2、粒子总能可以小于势能。 经典：。 量子： 无意义（因r , p 不能同时有确定值），有意义的是 并不意味着T0允许ET。3、角动量没有确定的方向。不能同时有确定值。经典公式无意义，无确定方向。4、测不准关系估计体系的基态能量。 以谐振子为例：（一维） 由的偶、奇性知，。 ， 取最小 ，代入，取极限，令 零点能。3.7 力学量随时间的变化 守恒量量子力学中力学量随时间变化的特点：经典：每时每刻都有一个确定的值。量子：量子态下，每时刻不是所有力学量都有确定值。它们只有确定的几率分布和平均值。一、力学量随时间的变化由S-方程：，代入上式，并利用的厄米性，得。定义：例：解：注意，取平均对应于经典力学 但意义有本质区别（详见教材分析）。二、守恒量及其性质 对任意态：为守恒量。 守恒条件：。一般关键看否。守恒量的性质（我们只给出结果，证明见教材，可自学）：的几率分布不随时间变化，即。 若初时刻体系不处于守恒量F的本征态此后任何时刻也不会处于F的本征态 守恒量取不确定值。若初时刻体系处于守恒量F的本征态此后任何时刻它将处于F的属于同一本征值的本征态中。可用守恒量的这个值或相应的量子数来标记这个态。该量子数称为好量子数。（实际上，力学量完全集总是从守恒量中选择）守恒量F，G有体系能量一般是简并的。三、宇称及宇称守恒（我们只给出结果和部分分析，详细证明见教材，可自学） 1、是厄米的：2、是么正的：3、的本征值为 ：偶宇称；奇宇称。 。4、也可以作用于算符算符的宇称性。5、若，则体系宇称守恒。6、若，且能量本征值无简并，则能量本征态有确定的宇称。宇称概念在物理学，特别是粒子物理学中有着重要作用。3.8 量子力学的基本假设（原理）1、 量子体系的运动状态由波函数完全描述，归一化波函数是几率幅。2、波函数遵守S-方程：。3、力学量用线性厄米算符表示。若在经典力学中（此点不必作基本假设）。确定体系状态需要选取力学量的完全集，将体系状态波函数按某力学量的本征函数系展开：，得测该力学量的值为的几率是，测该力学量的值在范围内的几率为。四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间）基矢三维 本征函数无限维任意矢展开 任意态展开 取不同坐标系 取不同表象 . .不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量，将量子力学“几何化”在矢量空间中建立它的一般形式。为此，我们将 引进量子力学的矢量空间希尔伯特空间； 给出态和力学量算符在该空间的表示； 建立各种不同表示之间的变换关系。最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”类比： 欧氏空间的矢量 坐标系中的分量 . 希氏空间的态矢 表象下的表示 .引入狄拉克符号的优点：运算简洁；勿需采用具体表象讨论。一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。1、 线性：；。2、 完备性：。3、 内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 。定义内积：复数，。归一化；正交；正交归一；连续谱的正交归一。二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号）1、 态矢符合线性空间的要求：。2、 任意态矢可用一组完备的基矢展开：。3、 态可以求内积： 以为基， 其中 。取的左矢：，有内积上式已利用了连续谱的正交归一性。三、 希尔伯特空间的算符算符 1、 算符对左矢的作用： 存在，其意义（定义）为 。2、 厄米共轭算符： ，称 ，即 。有 （自证）。若 则厄米算符。3、 矢量的外积：内积 是一个复数，而外积 是一个线性算符（并矢）。作用于（右）态矢；作用于（左）态矢。4、 取乘积的厄米共轭规则（反序）： 例：为厄米算符，试计算 解：注意到，对于复数，“*”=“+”，故 ， 。 这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。5、 投影算符： 作用于任意态矢的分量：。6、 基矢的完备性（这是非常有用的性质）： 由单位算符的定义： 知 对连续谱，有 7、 本征值方程： （分立谱）或 （连续谱）。8、 算符的自然展开式： 可见，力学量算符由它的本征值谱和本征矢完全集完全确定。4.2 态和力学量的表象表示取力学量（也可以代表一个力学量完全集）：以的正交归一本征态完备系为基矢，则称为 -表象。一、 态的表象表示-表象：基，本征值谱，有 我们以分立谱为例讨论（请自学连续谱）。任意态： ， , 在-表象中的表示。（表示态与表示态完全等价）矩阵形式： 。特别地， 体系处于的本征态：。二、 算符的表象表示-表象：由 即 ： 为在-表象的表示（“投影”）， 为在-表象的表示（“投影”）， 为在-表象的表示（“投影”）。矩阵形式：，或简写成 。4.3 量子力学公式的表象表示（我们以分立谱为例，主要讲要点和思路，具体细节可由学生自学。）一、 归一化条件： -表象： 。二、 平均值： -表象：。三、 本征值方程 矩阵形式下本征值方程的求解（重点讲解）-表象： ，记 ，即有 。写成矩阵形式：，这是关于的齐次线性方程组，具有非零解的条件是： 久期方程 即 。求解方法： 由久期方程；代入方程组；由此得本征矢。例：在（）的共同表象中，的矩阵表示为，求它的本征值和归一化本征矢。解：矩阵方程为 设 （1）令 ，有 。其久期方程为 将代入（1）式可得 ，即。由归一化条件 （取实数），。 将代入（1）式可得 。 将代入（1）式可得 。四、S-方程-表象： 。4.4 表象变换问题：A-表象B表象一、 表象变换是么正变换A- 表象：B-表象：考虑AB： 由 。 这是保证本征矢正交归一性的必然要求：同理 。A-表象中的表示：由 可见是B-表象的基在A-表象的基上的投影。二、 态矢的表象变换 任意态矢，分别按A，B表象的基展开：。考虑 ： 即 这就是由AB的变换式。利用的么正性，有 这就是由BA的变换式。三、 力学量算符的表象变换，注意到 ，有 ，于是得AB的变换式 。利用的么正性，可得 BA的变换式 。四、 量子力学在么正变换下的不变性（我们只列结果，同学们自学证明） 内积不变； 算符方程形式不变； 力学量平均值不变； 本征值不变； 算符的迹不变。矩阵迹定义为对角元之和 。五、 通过么正变换求算符的本征值在自身表象中，如在B-表象中，矩阵必为对角矩阵，其矩阵元为本征值：。所以，只要将变换到自身表象（使矩阵对角化）本征值。（由“四”知，本征值与表象无关）由“一”知，AB的变换矩阵就是的本征矢在A-表象的矩阵表示按列排成的矩阵，即：。 例：的共同表象中，的矩阵表示为 ，试将其对角化，并求其本征值。解：由前面的讨论已知，在表象（A-表象）中，（）的本征矢为 ， ， ，由此可得 。4.6 线性谐振子 粒子数表象（矩阵力学 - 代数法求解的典型例子）x-表象中： 。一、 粒子数表象中的引入新算符： 代入可得（请同学自己证明，注意是非厄米算符） ，其中 为粒子数算符（见后讨论）。有共同本征态，记为，其本征值记为n：二、的对易关系由 （请同学自证），由此有我们将看到，算符的性质由对易关系完全确定。现在我们就从对易关系出发 n。三、线性谐振子的能级： 任何矢量的模方。： 可见是的本征矢，本征值为(n-1)。同理可得：。：显然 ，否则与最小矛盾。以作用于，与 比较 。能级：属于的本征矢为。（零点能）由，无上限。本征值为n的本征矢为。四、粒子数表象用（基态 - 真空）表示：由前知，与是同一状态，无简并，只能相差一个常数：。取共轭 （取实数）。同理可得 。粒子数表象的物理意义：, 能级.另一种解释：“” 一个“粒子”；n个“粒子”。 , 使“粒子数”减少一个 - 湮灭算符 , 使“粒子数”增加一个 - 产生算符 , - 粒子数算符粒子数表象中的矩阵元： 由 得 五、在坐标表象的波函数出发点： 其中 是x-表象中的表示，是x-表象中的基态波函数。利用连续谱表象中算符的矩阵元与微分算符的关系（教材P143）：解得 （归一化后）。 同波动力学的讨论。第五章 一维定态问题的严格解（着重物理分析，不细讲运算过程）方程：5.1一维方势阱 束缚态一、阱外波函数的形式 令 ，则方程为 。满足有界条件的解为 对无限深势阱，。二、阱内波函数的形式令 ，则方程为 。有确定的宇称。三、能级用连续条件定E, 我们采用在连续的方法，这样可以自动消除待定系数。 偶宇称态的能级偶宇称态 引入参数 ，同时 联立求解,采用图解法,交点为解。由图知，至少有一个解至少有一个束缚态，偶宇称基态。 奇宇称态的能级同上方法，奇宇称态 在一定条件下才出现奇宇称态。5.2 一维方势垒 隧道效应 一、的情况 - 非束缚态易得 （无反射波）由在x=0, x=a 处连续，可得用A 表示的C和（见教材P194）。几率流密度 入射波 的几率流密度为 反射波 的几率流密度为 透射波 的几率流密度为 反射和透射系数反射系数， 透射系数 。具体结果见教材P195。 讨论：在经典力学中，粒子越过势垒而过，无反射；在量子力学中，粒子存在反射的几率，且D+R=1 - 几率守恒；能量可以取连续值，这是非束缚态粒子的特征。二、的情况不必重新计算，只须做代换 ，即 。（具体计算见教材）注意到 隧道效应。低能入射近似公式 。对非方势垒，有 。三、的情况下粒子在方势阱的运动（自学）四、量子隧道效应的实例（我们列出题目，请同学们自己查阅有关文献，如赵凯华的量子物理等） 衰变； 热核聚变； 扫描遂道显微镜纳米技术等（可自学教材，并根据教材所列的物理课题阅读有关文献，以了解量子力学的现代应用）。第六章 三维定态问题的严格解方程：6.1 氢原子与类氢原子一、定态S-方程 化二体问题为单体问题电子 ；核 二体问题仿经典力学（太阳-行星运动）可把它转化成单体问题：相对位矢 总质量 质心坐标 折合质量 质心作自由运动 电子相对于核运动（）。我们关心的是 二、粒子在库仑场中的运动 取力学量完全集，已知的共同本征函数利用 得到关于的方程。令 。（束缚态），令 ，。数学上可解此方程（见教材附录， 略讲，重点放在物理上）： 能量取分立值（否则波函数不满足有限性条件） - 玻尔半径， 缔合拉盖尔多项式（见教材）。 径向波函数是归一化的， 最终的波函数为 ，满足归一化要求： 。三、解的物理意义1、 能级：氢原子的基态能 ，电离能 。 简并度：给定 n n 个l (2l+1)个m。简并的来由（与对称性有关）：对m的简并（与m 无关），来源于球对称（几何对称）；对l的简并（与l 无关），来源于库仑场（动力学对称）。对非有心力场 ，无简并；对非库仑场，对l无简并。2、径向分布：。电子在的球壳内出现的几率为参见教材P216图 ：玻尔半径是最可几半径。3、角分布：参见教材P218图 ：“电子云”。4、电流分布：。5、氢原子的磁矩 如图，将空间分成环绕极轴的、横截面积为、半径为的环形体元：。它对磁矩的贡献是环形电流与该电流所围面积的积：。处于态的氢原子的磁矩为： 可见磁矩是量子化的。考虑到电子质量是质子质量的（电子质量），有 - 玻尔磁子。回转磁比率（“轨道”磁矩与“轨道”角动量之比）：。 第七章 定态问题的近似解7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 - 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件；要远小于为分立谱；已知或易求； 所研究的那个能级无简并。二 、零级近似方程和各级修正方程 为表征微扰程度，引入参数，按的幂次展开。方程： 设 代入方程：比较各级得： 最后令=1，求得各级 。三、 的各级近似1、一级近似 用展开。代入一级近似方程：用左乘上式，利用 得 其中在表象的矩阵元。令k=n，上式给出 令kn，则有 。问题： 可以证明 （自学教材）2、二级近似 仿照一级近似的讨论，请同学们自己完成有关推导。结果有有关波函数的二级近似见教材P245。实用中，通常计算到能量的二级近似，波函数的一级近似，这就要求微扰级数收敛得快，即要求远小于的含义。显然，如果邻近有一条或多条能级（近简并），则以上微扰不适用；对连续谱，此方法也不能用，将采用其他近似方法。7.3 简并态微扰论一、 简并带来的问题零级能量给定，对应的零级波函数不唯一（详见教材分析）。原因：与对称性有关，加上微扰对称性破坏简并全部或部分消除。二、求零级近似波函数与能级的一级近似 设 重简并， 且 正交归一。我们的任务是求解 。1、各级近似方程 将展开式 代入方程。仿7.1的讨论，有，其中 。按的幂次展开： 可得 2、求能级的一级修正 若讨论能级：。若mn， 则 ；若m=n，则 待定。记 。 取m=n，得 记 ，则有这是的齐次方程，非平庸解条件为 久期方程。由此求得的个根：。 若无重根简并完全消除，能级分裂成条，且波函数完全确定。 若有重根简并未完全消除，相应的波函数仍然不确定。2、 求零级近似波函数。4、简并微扰论的实质 以为基，构成属于的维子空间。