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文档简介

现代教育技术在新课程改革中的应用举例图一一一一一一图四一四 对于指数函数与对数函数的交点问题，教材以及很多资料的观点是它们可能没有交点（如图一），可能有一个交点（如图二、三，图二应该是公共点），可能有两个交点（如图四）。这从指、对函数图象上很容易发现其正确性。但是，实际上，指对函数可以有三个交点，下面先举一例验证之。2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）第15题：在P（1，1），Q（1，2），M（2，3）和N（，）四点中，函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点A P B Q C M D N这一题答案是D。初思之，感觉应该是P，细思之，则不可能，如果x=1，y=1，则此时底数a必为1，故不可能是P。可以求得N（，）可能在指数函数y=ax和它的反函数上，代入y=ax可知a=。下面就这一函数来研究一下，对同一底数的指数函数与对数函数的交点问题作一详细论证。指数函数y=()x与对数函数y=，因为它们互为反函数，且两个都是单调递减函数，所以它们显然有一个公共点在直线y=x上（如图三所示），另外，A（，），B（，）也同时满足这函数y=()x，与函数y=，这说明A，B必是指数函数y=()x与对数函数y=的图象的交点。这样看来，指数函数、对数函数是可以有三个交点的。本例便可以说明。但是，互为反函数的两个函数如何会出现三个公共点呢？它们是一种什么样的关系呢？这似乎又有点匪夷所思。下面不妨利用几何画板，以同一底数的指、对函数图象为例，来看一下它们有三个交点的情况，以及它们的公共点是如何变化的。 在几何画板中，任取一线段AB，度量出AB的长度a，就以a为指数函数与对数函数的底数，在几何画板中，将线段当a由a1逐渐缩小到a1时，我们可以观察到指、对函数没有交点，一个交点，两个交点，再到一个交点的过程，如上面的图象所示非常显然。让a继续缩小，大约a=0.03时，“奇迹”出现了，指、对函数的图象居然很清楚地出现了三个交点，如图五所示。这是我们始料不及的，很多资料上，甚至教材上都说过，指、对函数图象可以没有交点，可以有一个交点，可以有两个交点，但是，利用几何画板可以演示原先我们想象不到的结果，本结论就是一例。 几何画板是一个很优秀的数学教学软件，它的最大特点就是动态性，能在运动状态下保持对象间不变的几何关系，这是传统教学所无法比拟的，尤其是图象，很多结论我们用传统教学所得不到的，利用它，可是轻而易举。现代教育技术的确可以有效地弥补我们传统教学中的一些盲区。实际上，对于很多函数，我们根本无法知道其图象，甚至无法知道它的大体形状，但是，利用几何画板，可以很准确地绘出它们的图象，有利于研究函数的一些性质。开拓我们的视野，将我们现在的数学眼光引领到一个新的天地实验法。通过本例，进一步阐述了知识来源于实践这一道理，一些知识，让学生在实践中获得，我相信，比直接灌输给学生要强百倍，千倍。更为重
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