有关切点弦的问题.doc

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP垂直平分。此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线。1. 从不在椭圆对称轴上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP平分，且直线AB和OP的斜率之积为定值。2. 从不在双曲线对称轴上，也不在渐近线上的任意一点P引双曲线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP平分，且直线AB和OP的斜率之积为定值。3. 从任意一点P（不含焦点的一侧）引抛物线y22px（p0）的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被过点P且平行于抛物线对称轴的直线平分。对推论1进行证明：如图1，设P（m，n）（mn0），可以证明，切点弦AB所在的直线方程为图1代入椭圆方程1中，整理得设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点Q（x0，y0），由韦达定理得则 ，代入直线AB的方程得因为 所以 点Q在直线OP上故 直线OP平分切点弦AB又因为 所以 推论1得证。用类似的方法可以证明推论2。下面证明推论3：如图2，设P（m，n）（mn0），可以证明，切点弦AB所在的直线方程为，代入抛物线方程中，整理得图2设弦AB的中点Q（x0，y0）由韦达定理得 ，则 ，代入直线AB的方程 得所以点Q在直线yn上。推论3得证。该方程，如果两圆相交应该为公共弦方程，希望高手们能给出证明。 如果两圆相离，那该方程是什么？在那？提问者： 召唤之夜月 - 试用期 一级 最佳答案这个一次方程表示的是一条直线，这条直线是两圆的根轴。解释根轴这个概念，我们需要引入一个名词，圆的幂。 我们知道圆幂定理，就是过一个点任意引圆的割线，这个点到割线两端点的有向距离之积是一个定植，我们把这个定值就交做圆的幂。圆周上的点的幂都等于0，圆外的点的幂大于0，圆内点的幂小于0 根轴就是到两圆幂相等的点的集合。它是一条垂直于两圆连心线的直线，且它过两圆所有共切线的中点。特殊的，当两圆相交时，那么根轴就是两圆公共弦所在的直线，当两圆相切时，根轴就是两圆过切点的共切线。当两圆相离或内含时，根轴是一条与两圆都不相交的直线。 所以： 当两圆相交时候，你就可以认为这个直线的方程表示的是两圆的公共弦所在的直线。 当两圆相切（包括内切和外切）时，这个直线方程表示的就是过两圆切点的共切线。 当两圆相离时，这个直线方程表示的是过四条共切线中点的直线。 当两圆内含时，这个直线方程表示的直线有这样的性质：这条直线上的点向两圆引切线，切线长相同。 它们本质上都是圆的根轴。 切点弦方程问题1：过圆 外一点 ，作这个圆的两条切线 、 ，切点分别是 、 ，求直线 的方程（直线 称作切点弦）解：如图所示，设切点 的坐标为 ，切点 的坐标为 因为圆的方程是所以过圆上一点 所作的切线的方程为 由于 在直线 上，所以同理，根据点M在切线BM上，得表明，点 和点 都在下面的直线上因为过两点只有一条直线，所以就是直线 的方程即点 的切点弦方程为： 问题1解法的基本思想是设而不求设了点 和点 的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用它们的形式，把最终的问题解决从问题1中，我们不仅学习了切点弦方程，还学习了设而不求的解题思想下面看一个与之相关的问题问题2：设 是圆 内的一点，但不是圆心过点 任意作两条不通过圆心的弦 和 ，分别过点 、 作圆的切线相交于点 ，过点 、 作圆的切线相交于点 求直线 的方程 解：如图，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 因为圆的方程是、 是过圆外一点所作圆的切线， 、 是切点，所以切点弦 的方程为同理切点弦 的方程为因为 在直线 上，所以同理 在直线 上，所以表明点，点 和点 都在下面的直线上因为过两点只有一条直线，所以就是直线 的方程不难看出，上述两个问题的紧密联系，同样是用设而不求的思想方法，问题2还运用了问题的结论，更为有趣的是二者其实还是一个问题的两个方面，具体如下：一般地，已知圆 和平面内的任意点 ，只要 不是圆心（0，0），总可以作出对应的直线 这样得到的直线 叫做点 关于圆的极线（当 在圆外时， 也叫切点弦），点 叫作直线 的极点问题1是点 在圆外时的情况，问题2是点 在圆内时的情况，并且同时也给出了作相应极线的几何作图方法当然，