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探究在椭圆中直角PF1F2的个数与离心率的关系 -黄冲PxyF1F2O 椭圆的定义和性质是每年高考的必考内容，其考察形式是灵活多变的，如：椭圆上一点P到两焦点距离之和为，求椭圆的方程；已知椭圆方程为，为椭圆上一点，为两焦点，求 等等，这些都是高考常考查的内容，但也有些知识高考考查的很少，却有一定的数学价值如：探究在椭圆中直角PF1F2的个数与离心率的关系。要解决这个问题首先要具备以下两个公式： （） （）图1 注： 为P的纵坐标 本文的椭圆方程焦点均在轴上一、探讨的大小与P的位置关系 由（）可知当动点P的椭圆上变化时，随着的增大而增大，当P落在短轴 上时，达到最大，此时面积也达到了最大。 由图1可知,随着的增大而增大，当最大时，也达到 了最大。PF2xyF1图2O 结合上述分析: 当随着P向短轴靠近角越来越大，且P落在短轴上时，角最大 2、 探讨个数满足的条件 1.当P在短轴上时，数满足的条件（如右图2） 由椭圆的相关性质得到，即，所以，有对称性可知，椭圆上有且只有两个点P使得（有（一）分析是最大角）事实上以上叙述概括为： 椭圆上有且只有两个点P使得 PF2xyF1图3O 2.当P在短轴上时，数满足的条件(如右图3)由（一）结论可知此时是最大角，而最大角小于，显然椭圆上没有点P使得，而此时，所以，所以，事实上以上叙述可以概括为：F1F2xyOjjjjjjjP图4 椭圆上没有点P使得3.当P在短轴上时，数满足的条件(如右图4） 当P由长轴沿着椭圆图像变化到短轴时，由0变化到 钝角，有连续性，以及（一）的分析可知，在第一象限有且只 有一个点P使得，再根据椭圆的对称性像这样的 点P共有4个，而此时，离心率 事实上以上叙述可以概括为：yxPF1F2O图5椭圆上有4个点P使得3、 探究在椭圆中直角PF1F2的个数与离心率的关系 由于在PF1F2中没有指明哪个是直角，所以当 因此由图5可知，对任意的椭圆都有4个Rt 再根据（二）的分析可知直角PF1F2的个数与离心率的关系如下：在椭圆上当直角PF1F2的个数是6的时候 在椭圆上当直角PF1F2的个数是4的时候 在椭圆上当直角PF1F2
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