三角形的初步认识及全等证明.doc

三角形的初步认识1.1认识三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形” 用符号“”表示，顶点是ABC的三角形记做“ABC”读作“三角形ABC”。由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。三角形三个内角的和等于180。 由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线垂直平分线性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。(全等)1.4全等三角形能够重合的两个图形称为全等图形。能够重合的两个三角形称为全等三角形。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。“全等”可用符号“”来表示。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。1.5三角形全等的条件三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。分类专练三角形的初步认识1、如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（）根A、165B、65C、110D、552、图中三角形的个数是（）A、7B、8C、9D、103、现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）A、3B、4或5 C、6或7D、84、如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（）A、全等性B、灵活性C、稳定性D、对称性5、下列图形中具有稳定性的是（）A、菱形B、钝角三角形 C、长方形D、正方形6、（2010荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A、一个B、两个 C、三个D、四个7、两根木棒的长分别是3m和4m，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形如果第三根木棒的长为整数，则第三根木棒的取值情况有（）种A、5B、6 C、7D、88、（2002杭州）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A、19.5B、20.5 C、21.5D、25.59、三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长L的取值范围是（）A、3L7B、9L12C、10L14D、无法确定10、在具备下列条件的线段a、b、c中，一定能组成三角形的是（）A、a+bcB、abc C、a：b：c=1：2：3D、a=b=2c11、已知ABC的边长分别为a，b，c，化简|a+bc|bac|的结果是（）A、2aB、2bC、2a+3bD、2b2c12、锐角三角形中，ABC，则下列结论中错误的是（）A、A60B、B45C、C60D、B+C9013、若ABC的内角满足：2AB=60，4A+C=300，则ABC是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、无法确定14、锐角三角形的最大内角的范围和钝角三角形的最大内角的范围分别是（）A、090，90180B、6090，90180C、090，90150D、060，9018015、ABC中，三个内角的度数均为整数，且ABC，4C=7A，则A的度数为（）A、40B、48C、36D、4416、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145，则这个三角形的形状为（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形17、（2010武汉）如图，ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若DAB=20，DAC=30，则BDC的大小是（）A、100B、80C、70D、5018、（2005烟台）如图所示，一块试验田的形状是三角形（设其为ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿DCCAABBD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（）A、转过90B、转过180C、转过270D、转过36019、如图ABC中，A=96，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于点A1A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，A4BC与A4CD的平分线相交于点A5，则A5的度数为（）A、19.2B、8C、6D、320、如图，ABD，ACD的角平分线交于点P，若A=50，D=10，则P的度数为（）A、15B、20C、25D、3021、如图，AD是CAE的平分线，B=35，DAC=60，则ACD=（）A、25B、85C、60D、9522、已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（）A、90B、110C、100D、12023、如图，在ABC中，B=90，ACB、CAF的平分线所在的直线交于点H，则H的度数是（）A、30B、45C、60D、以上都有可能填空题1、三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上_根木条2、已知点G是ABC的重心，AD是中线，AG=6，那么DG=_3、观察下面两图形的形成过程，若AD=3，DB=4，则ADE和BDF面积的和为_4、如图，点G是ABC的重心，且ABC的面积为9cm2，则ABG的面积为_cm25、如图，在ABC中，点G是重心，那么=_6、若ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a1，则a的取值范围为_7、（2008沈阳）已知ABC中，A=60，ABC、ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为_度8、如图，ABC中，若A=80，O为三条角平分线的交点，则BOC=_度9、在ABC中，A=C=B，则A=_度，B=_度，这个三角形是_三角形10、如图，在ABC中，B=48，C=60，AD是ABC的一条角平分线，则ADC=_度11、如图所示，已知ABC中，A=84，点B、C、M在一条直线上，ABC和ACM两角的平分线交于点P1，P1BC和P1CM两角的平分线交于点P2，P2BC和P2CM两角的平分线交于点P3，则P3的度数是_12、如图，AD平分BAC，AE是高，B=30，C=70，则EAC=_度；EAD=_度平分线和中线1、如图，ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：AO是ABE的角平分线；BO是ABD的中线其中（）A、都正确B、都不正确C、正确不正确D、不正确，正确2、如图，AD是几个三角形的高？（）A、4B、5C、6D、73、下列说法错误的是（）A、三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点C、直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部5、如图，已知CB、CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：AE=2AC；CE=2CD；ACD=BCE；CB平分DCE，则以上结论正确的是（）A、B、C、D、6、（2006日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A、3个B、4个C、5个D、6个7、（2001荆州）已知：如图ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，SBGD=8，SAGE=3，则ABC的面积是（）A、25B、30C、35D、408、下列说法：三角形的高是线段；直角三角形只有一条高线；三角形的中线可能在三角形的外部；三角形的一个外角一定大于三角形的内角其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个填空题9、（2007资阳）如图，对面积为1的ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到A5B5C5，则其面积S5=_10、（2006威海）如图，ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过_次操作11、在ABC中，AD是中线，ABD的面积SABD=28cm2，则ABC的面积SABC=_cm212、若a、b、c是ABC的三边，且a=3cm，b=4cm，c=5cm，则ABC最大边上的高是_cm13、ABC中，AC=BC，ACB=90，D、E是AB上的两点，AD=3，BE=4，DCE=45，则ABC的面积是_14、如图中ABC三角形的面积为_15、如图，ABC的面积等于1，在图2中，在图3中，在图4中，在图n中，则从图2到图n中，共有_张图，DEF的面积小于16、（2007太原）用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的5根细木棒摆成一个三角形（允许连接，但不允许折断），在所有摆成的三角形中，面积最大的三角形的面积为_cm217、（2002常州）如图，它是由6个面积为1的小正方形组成的矩形，点A，B，C，D，E，F，G是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点，可组成_个面积为1的三角形全等三角形及其应用【知识精读】对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180得到的；平移 如图（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ACDABE，而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACDABE，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC.（2）证明线段平行例2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。5、中考点拨：例1如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证：FA例2 如图，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 题型展示：例1 如图，ABC中，C2B，12。求证：ABACCD实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角