如何用导数探讨函数图像的交点问题第四计 2.doc

每周一计第四计 用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t); （）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（）略（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，x0函数 (x)=g(x)f(x) =8x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。=2x8+ 随x变化如下表：x(0,1)1(1,3)3(3,+)(x)+0-0+(x)增极大值减极小值增x极大值= (1)=1-8+m=m-7，x极小值= (3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15当x0+时， (x) ，当x 时， (x) 要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 7m0或 m-715-6In3 或m7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3 或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。 图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：构造函数 (x)= f(x)g(x)求导 研究函数(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）画出函数(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式解不等式。解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。例2 已知函数f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f(x)-ax-5其中是的f(x)的导函数。（）对满足 的一切的值，都有g(x)0求实数x的取值范围； （）设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数yf(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。解：（）略 （）f(x)=x3+3ax-1， 当时，f(x)=x3-1 的图象与直线y=3只有一个公共点当时，令h(x)= f(x)-3= x3-3m2x-4 ，h(x) =3x2+3a=3x2-3m2h(x)随x变化如下表： （h(x)h (x)增极大减极小增h(x)极小值=h(|m|)=-2m2|m|-4|m|时函数y=h(x)的图象与x轴只有一个公共点。当x-|m|时，恒有h(x)h(-|m|)由题意得h(-|m|)0 即2m2|m|-40 解得综上，的取值范围是（分析草图见图6） 图6当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。例3 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0, h(x)是增函数；当时，h(x)0, h(x)是增函数。（见图7） 图7h(-2)=-19，h(-1)=25方程h(x)=0在区间(-2,-1),内